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2015周测1-函数的性质


高三数学定时检测(1) (满分 100 分)
一、选择题(每小题 8 分,共 64 分) 1.下列有关命题的说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C. 命题“ ? x∈R, 使得 x2+x+1<0”的否定是: “ ? x∈R, 均有 x2+x+

1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为真命题 2. 给定函数① y ? x ,② y ? log 1( x ? 1) ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区
2
1 2

间(0,1)上单调递减的函数序号是( A.①② B.②③ C.③④ 3.若函数 f ( x) ? A.
1 2

) D.①④ )

x 为奇函数,则 a=( (2 x ? 1)( x ? a)

B.

2 3

C.

3 4

D.1 )

4. 已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且,f (a) ? f (b) , 则 a ? b 的取值范围是 ( A. (1, ??) B. [1, ??) C. (2, ??) D. [2, ??)

5.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ) B.(-2,2) D.(2,+∞)

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ?x ? 和偶函数 g ?x ? 满足 f ?x? ? g ?x? ? a x ? a ? x ? 2

?a ? 0, 且a ? 1? ,若 g ?2? ? a ,则 f ?2? ? (
A.



15 17 C. D. a 2 4 4 7.已知 p:|x-a|<4;q:(x-2)· (3-x)>0,若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为( )

2

B.

A.a<-1 或 a>6

B.a≤-1 或 a≥6 C.-1≤a≤6 D.-1<a<6
1

8. 已知 f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x3 ? x , 则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( (A)6 1 2 (B)7 3 4 (C)8 5 (D)9 6 7 8 )

二、解答题(满分 36 分) 9.(本小题满分 18 分) 已知命题 p: ? x∈[1,2],x2-a≥0. 命题 q: ? x0∈R, 2 使得 x0 +(a-1)x0+1<0. 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

2

ex 10. (满分 18 分) 设 f ? x ? ? ,其中 a 为正实数. 1 ? ax 2

(Ⅰ)(满分 10 分)当 a ?

4 时,求 f ( x) 的极值点; 3

(Ⅱ)(满分 8 分)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范 围。

3

选做题(20 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? .⑴当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;⑵若函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上的最小值是 , 求 a 的值.
3 2

a x

4

高三数学定时检测(1)答案
1 D 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 B 二、解答题 9.解 ∵?x∈[1,2],x2-a≥0 恒成立, 即 a≤x2 恒成立,∴a≤1. 即 p:a≤1,∴ ?p :a>1. 2 又?x0∈R,使得 x0 +(a-1)x0+1<0. 2 ∴Δ=(a-1) -4>0,∴a>3 或 a<-1, 即 q:a>3 或 a<-1,∴ ?q :-1≤a≤3. 又 p 或 q 为真,p 且 q 为假,∴p 真 q 假或 p 假 q 真. 当 p 真 q 假时,{a|a≤1}∩{a|-1≤a≤3}={a|-1≤a≤1}. 当 p 假 q 真时,{a|a>1}∩{a|a<-1 或 a>3}={a|a>3}. 综上所述,a 的取值范围为{a|-1≤a≤1}∪{a|a>3}. 10. (本小题满分 18 分) 解:对 f ( x) 求导得 f ?( x) ? e x (I)当 a ? 综合① ,可知

1 ? ax2 ? ax . (1 ? ax2 ) 2



4 3 1 ,若 f ?( x) ? 0, 则4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0, 解得 x1 ? , x 2 ? . 3 2 2 1 2 0 1 3 ( , ) 2 2 - 3 2 0 3 ( , ?) 2 +

x
f ?( x) f ( x)

1 (?? , ) 2 +



极大值



极小值



所以, x1 ?

3 1 是极小值点, x 2 ? 是极大值点. 2 2

(II) 若 f ( x) 为 R 上的单调函数, 则 f ?( x) 在 R 上不变号, 结合① 与条件 a>0, 知 ax2 ? 2ax ? 1 ? 0
5

在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a 2 ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0, 由此并结合 a ? 0 ,知
0 ? a ? 1. 选做题(20 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ? .⑴当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;⑵若函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上的最小值是 , 求 a 的值.
a 1 a x?a ? 2 x x x2 x ⑴∵ a ? 0 ,∴ f ? ? x ? ? 0 故函数在其定义域 ? 0 , ? ? ? 上是单调递增的.
3 2

a x

解:函数 f ( x) ? ln x ? 的定义域为 ? 0 , ? ? ? , f '( x) ? ?

⑵在 ?1 , e? 上,分如下情况讨论: ①当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,其最小值为 f (1) ? a ? 1 ,这与函数
3 2 ②当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 单调递增,其最小值为 f (1) ? 1 ,同样与最小值

在 ?1 , e? 上的最小值是 相矛盾;
3 2

是 相矛盾; ③当 1 ? a ? e 时,函数 f ( x) 在 ?1 , a ? 上有 f ? ? x ? ? 0 ,单调递减,在 ? a , e? 上有
f '? (x ) ? 0,单调递增,所以函数 f ( x) 满足最小值为 f (a) ? ln a ? 1 ,由 ln a ? 1 ?

3 , 2

得a ? e . ④当 a ? e 时,函数 f ? x ? 在 ?1 , e ? 上有 f ? ? x ? ? 0 ,单调递减,其最小值为 f (e) ? 2 , 还与最小值是 相矛盾; ⑤当 a ? e 时,显然函数 f ? x ? 在 ?1 , e? 上单调递减,其最小值为 f (e) ? 1 ? ? 2 , 仍与最小值是 相矛盾;综上所述, a 的值为 e .
3 2
a e

3 2

6

班级 密 封 线

姓名 内 不

考号 要 答 题

题号 得分



9

10

11

总分

7

8


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