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双曲线的定义及其标准方程1.ppt


复习:

1.椭圆的定义: ? P | P F1 ? P F2 ? 2 a , 2 a ? F1 F2 ?
2.椭圆的标准方程:
(1) x a
2 2

?

y b

2 2

?1

(2)

y

>
2 2

?

x

2 2

?1

a b 2 2 2 ( a ? b ? 0, c ? a ? b )
x
2

3.椭圆

?

y

2

m

n

? 1( m ? 0 , n ? 0 ) 的焦点位

置怎样判定?

问题引入

平面内到两个不同定点F1,F2的距离之差等于定 长2a的点的轨迹是什么图形呢?
(1)2a<F1F2时: (2)2a=F1F2时: (3)2a>F1F2时: 曲线 射线 无轨迹

双曲线的定义及其标准方程 (1)

学习新知

1.双曲线的定义: 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值 等于常数2a(2a<F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.

?P |

P F1 ? P F 2 ? 2 a , 2 a ? F1 F 2 ?

两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点, 两个焦点F1,F2之间的距离叫做焦距.

设双曲线两个焦点为F1,F2,它们之间的距 离为2c,双曲线上任意一点到的F1,F2距离 之差的绝对值为2a(2a<2c).
y
P

以双曲线两个焦点为 F1,F2所在的直线为x轴, 线段F1F2的垂直平分 F 0 线为y轴建立平面直角 坐标系. 则F1,F2的坐标分别是(-c,0),(c,0)
1

F2

x

设P(x,y)是双曲线上任意一点,

则|PF1-PF2|=2a

y

P

1.中心在原点,焦点在x轴 上的双曲线的方程是:
x a
2 2

?

y b

2 2

?1
a ? 0, b ? 0, b ? c ? a
2 2 2

F1

0

F2

x

其中: 2.中心在原点,焦点在y轴 上的双曲线的方程是:
y a
2 2

y
F2

?

x b

2 2

?1
2 2 2

0
P
F1

x

其中: a ? 0, b ? 0, b ? c ? a

中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的方 程叫做标准方程.
(1) x a
2 2

?

y b

2 2

?1

(2)

y

2 2

?

x

2 2

?1

a b 2 2 2 ( a ? 0, b ? 0, c ? a ? b )

(1)双曲线的标准方程有两种形式; (2) 双曲线
x
2

?

y

2

? 1( m n ? 0 ) 的焦点所在

m

n

的坐标轴?

数学应用 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)c=4,过点(-5,2),焦点在x轴上; 2 2 x y ? ? 1 有相同的焦点,且 (2)与双曲线 16 4 过点P (3 2 , 2) 的双曲线.
x
2

(3)与椭圆

?

y

2

点P ( ? 2 2 , 2 ) 的双曲线. (4)过点 P (3,
15 4 ) 和Q (? 16 3 , 5) .

16

4

? 1 有相同的焦点,且过

2.求下列的双曲线的焦点坐标.
(1) x
2

?
2

y

2

?1
2

(2)

y

2

?

x

2

?1

9

5

9

16

(3)9 x ? 6 y ? 5 4

3.已知方程

x

2

9?m

?

y

2

m ?3

?1

(1)若它表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m 的取值范围是_________. (2)它能表示椭圆吗?

4.已知方程

x

2

9?m

?

y

2

m ?3

? 1 表示双曲线,

则实数m的取值范围是_______.

小 结
1. 双曲线的概念,焦点,焦距; 2. 双曲线的标准方程;
(1) x a
2 2

?

y b

2 2

?1

(2)

y

2 2

?

x

2 2

?1

a b 2 2 2 ( a ? 0, b ? 0, c ? a ? b )

3.简单应用;

作业:
1. P37 习题1; 4;

2. 推导焦点在y轴上的双曲线的标准方程;


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