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高二数学下册期中教学质量检测试题3


江苏省扬州中学 09-10 学年高二下学期期中考试 数学 (文科)
一、填空题: (每题 5 分,共 70 分) 1.集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,则 A ? N ? ___________ 2.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为: x ,8,9,10,11。已知这组数据 的平均数为 10,则其方差为 3.给出一个算法: Read x If

x?0
f ?x ? ? 4 x

Then

Else
f ?x ? ? 2 x
End If Pr i n t

f ?x ?

根据以上算法,可求得 f ? ?1? ? f ? 2 ? ? 4. “ x ? (0,1) ”是“ x ? ?0,1? ”的___________条件 (填: “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要”或“既不充分又不必要” ) 5 . 设 全 集 U ? {1,2,3,4,5} , 若 A ? B ? {2} , (CU A) ? B ? {4} ,

(CU A) ? (CU B) ? {1,5} ,则 A=_____ 2an 6 .数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? ,试猜想这个数列的一个正确的通项公式: 2 ? an
_____________
2 7.已知: f ( x) ? x ? 2 x ? 1 , g ( x) ? kx ? b (k ? 0) ,且 f ( g (0)) ? ?1 , g ( f (0)) ? 2 , 则实数 k 的值为:___________

8.设 f ( x), g ( x) 是实数集 R 上的奇函数, {x | f ( x) ? 0} ? {x | 4 ? x ? 10} ,

{x | g ( x) ? 0} ? {x | 2 ? x ? 5} , 则 集 合 {x | f ( x) g ( x) ? 0} =
___________ 9.函数 y ? 1 ? ax 在区间 ?? ?,1? 上是单调递减函数,则 a 的取值范围是_________ 10.若函数 y ?

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2

11. 已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 , 则实数 m 的 取值范围为___________。 12. ? a ? 2? x ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是_______
2
2 13.当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范

围是_________

14.设 x, y, z ? (0,1) ,且 x ? y ? z ? 2 ,设 u ? xy ? yz ? zx ,则 u 的最大值为________ 二、解答题(15、16、 17 题各 14 分;18、19、20 题各 16 分) 15.已知集合 A 为不等式 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集,B= x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,
2

?

?

(1)求解集合 A; (2)若 A ? B,求 a 的取值范围。

16.已知函数 f ( x )=x 2+ax+b (1)若对任意的实数 x 都有 f (1+x)=f (1-x) 成立,求实数 a 的值; (2)若 f (x)为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f (x)在[ 1,+∞)内递增,求实数 a 的范围。

17.已知 f ( x ) ?

x 1? x

(1)画出 f ( x) 的草图; (2)由图象指出 f ( x) 的单调区间; (3)设 a ? 0, b ? 0, c ? 0, a ? b ? c 证明: f (a) ? f (b) ? f (c)

18.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 上,N 在 AD 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=4 米, P N AD=3 米,设 AN 的长为 x 米(x >3) 。 (1) 要使矩形 AMPN 的面积大于 54 平方米,则 AN 的 C D 长应在什么范围内? (2) 求当 AM、AN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. A B

M

19 . 对 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 若 存 在 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 , 使 得

1 1? A B ? ? (其中 A,B 为常数) ,则称 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 为“可分 ? ? ? ? ? f ( x) a ? x ? x1 x ? x2 ?
解函数”。 (1)试判断 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 是否为“可分解函数”,若是,求出 A,B 的值;若不是,说明 理由; (2)用反证法证明: f ( x) ? x 2 ? x ? 1 不是“可分解函数”; (3)若 f ( x) ? ax2 ? ax ? 4(a ? 0) 是“可分解函数”,则求 a 的取值范围,并写出 A,B 关于 a 的相应的表达式。

20.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N ,点 (n, S n ) 在函数 f ( x) ? x2 ? x 的图象上.
*

(1)求 a1,a2,a3 值,并求 an 的表达式; (2)将数列 {an } 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ) , ( a2 , a3 ) , ( a4 , a5 , , ( a7 , a8 , a9 , a10 ) ; ( a11 ) , ( a12 , a13 ) ,( a14 , a15 , a16 ) , ( a17 , a18 , a19 , a20 ) ; a6 ) ( a21 ) ,?,分别计算各个括号内所有项之和,并设由这些和按原来括号的前后顺序构成的 数列为 {bn } ,求 b5 ? b100 的值; (3)设 An 为数列 ?
*

? an ? 1 ? 3 对 ? 的前 n 项积,是否存在实数 a ,使得不等式 An an ? 1 ? a ? 2a ? an ?

一切 n ? N 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

命题、校对:唐一良 王思亮

参考答案
一、填空题: (每题 5 分,共 70 分) 1. {1,2} 2. 2 3. 0 4.充分不必要 6. a n ? 5. A ? {2,3} 9. ?0,1? 14. 10. 2

2 n ?1

7. -2 或-4

8. (4,5) ? (?5, ?4) 13. a ? ?

11. ?

1 2 ?m? ) 2 3

12. (1, 2]

1 2

4 3

二、解答题(15、16、 17 题各 14 分;18、19、20 题各 16 分) 15.已知集合 A 为不等式 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集,B= x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,
2

?

?

(1)求解集合 A; (2)若 A ? B,求 a 的取值范围。 解: (1) ?x | 2 ? x ? 3? (2)方程 x ? 4 x ? 3a ? 0 的两根为 x1 ? a, x2 ? 3a 。于是,
2 2

①当 a ? 0 时,B= x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 = ?x | a ? x ? 3a?。

?

?

? ?

A ? B,

?a ? 2 ? ?3a ? 3

?

1 ? a ? 2;

②当 a =0 时,B= ? ,不可能有 A ? B; ③当 a ? 0 时,B= ?x | 3a ? x ? a?。

? A ? B,
?3a ? 2 ?? ?a ? 3
此不等式组无解。

综合得, 1 ? a ? 2。 16.已知函数 f ( x )=x 2+ax+b (1)若对任意的实数 x 都有 f (1+x)=f (1-x) 成立,求实数 a 的值; (2)若 f (x)为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f (x)在[ 1,+∞)内递增,求实数 a 的范围。 解: (1)a= -2 (2)a=0 (3)a≥-2 17.已知 f ( x ) ?

x 1? x

(1)画出 f ( x) 的草图;

(2)由图象指出 f ( x) 的单调区间; (3)设 a ? 0, b ? 0, c ? 0, a ? b ? c 解: (1) f ( x) ? 证明: f (a) ? f (b) ? f (c)

x x ?1?1 1 ? ? 1? 1? x 1? x x ?1
y

1

-1

O

x

(2)递增区间: (-∞,-1)和(-1,+∞) (3)证明:函数 f ( x) 在区间(0,+∞)上递增,

f (a) ? f (b) ?
或用分析法

a b a b a?b c ? ? ? ? ? ? f (c ) 1? a 1? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? c

18.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 上,N 在 AD 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=4 米,AD=3 米,设 AN 的长为 x 米(x >3) 。 (1) 要使矩形 AMPN 的面积大于 54 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2) 求当 AM、AN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小面积. N C P

D

A 解: (1)设 AN 的长为 x 米(x >3) ∵

B

M

4x 4 x2 |DN| |DC| ? ,∴|AM|= ∴SAMPN=|AN|?|AM|= ( x ? 3) x?3 x?3 |AN| |AM|

由 SAMPN > 54 得

4 x2 > 54 , x?3

∵x >3,∴(2x-9) (x-9)> 0 ∴3 ? x ?

9 或 x?9 2

即 AN 长的取值范围是 (3, ) ? (9,+?)

9 2

(2)令 y=

4 x2 , 令t ? x ?3 x?3
2

? t ? 0? 则 x ? t ? 3

4 ? t ? 3? ? 9 ? ?y ? ? 4 ? t ? ? 6 ? ? 4 2 9 ? 6 =48 t ? t ?

?

?

当且仅当 t ?

9 ? t ? 0 ? 即 t ? 3 时取等号。 t
2

此时 AN ? 6, AM ? 8 ,最小面积为 48 m . 或用“ ? ”法也可以。 19 . 对 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 若 存 在 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 , 使 得

1 1? A B ? 2 ? (其中 A,B 为常数) ,则称 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 为“可分 ? ? ? ? ? f ( x) a ? x ? x1 x ? x2 ?
解函数”。 (1)试判断 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 是否为“可分解函数”,若是,求出 A,B 的值;若不是,说明 理由; (2)用反证法证明: f ( x) ? x 2 ? x ? 1 不是“可分解函数”; (3)若 f ( x) ? ax2 ? ax ? 4(a ? 0) 是“可分解函数”,则求 a 的取值范围,并写出 A,B 关于 a 的相应的表达式。

1 1 ?1 1 ? ? ? ,所以 A= -1,B=1 f ( x) ( x ? 2)(x ? 1) x ? (?2) x ? (?1) ( 2 ) 假 设 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 是 “ 可 分 解 函 数 ” , 即 存 在 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 , 使 得
答案: (1)因为

1 1 1? A B ? ? = 2 ? ? ? ? ? f ( x) a ? x ? x1 x ? x2 ? x ? x ? 1 1 1 ? ( A ? B) x ? ( Ax2 ? Bx1 ) ? ? 即 ? 2 = 2 ,比较得: ? ? a ? x ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ? x ? x ? 1

?A? B ? 0 ? ? Ax2 ? Bx1 ? ?1 方程组 ? ? x1 ? x 2 ? ?1 ? ? x1 x 2 ? 1
命题成立。
2

① ② ③ ④

,但联立方程③④无解,故方程组无解,所以假设不真,原

(3)因为 f ( x) ? ax ? ax ? 4(a ? 0) 是“可分解函数”,所以

1 1? A B ? ? ? ? ? ? f ( x) a ? x ? x x ? x 1 2 ? ?

1 1 ? ( A ? B) x ? ( Ax2 ? Bx1 ) ? 1 ? ? = 2 ? ? a ? x ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ? a x 2 ? x ? 4 a 4 16 2 ?0 所以 x ? x ? ? 0 有两个不同的实根,所以 ? ? 1 ? a a 解得: a ? 16 或 a ? 0
=

4 ? 0 有两个不同的实根为 x1, 2 ? , a 2 16 16 ?1? 1? ?1? 1? ① ?A? B ? 0 a a 且 x1 ? < x2 ? 代入 ? 解得 2 2 ② ? Ax2 ? Bx1 ? ?1
此时方程 x ? x ?
2

?1? 1?

16 a

? a A?? ? ? a ? 16 ? a ?B? ? a ? 16 ? * 20. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N ,点 (n, S n ) 在函数 f ( x) ? x2 ? x 的图象上.
(1)求 a1,a2,a3 值,并求 an 的表达式; (2)将数列 {an } 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ) , ( a2 , a3 ) , ( a4 , a5 , , ( a7 , a8 , a9 , a10 ) ; ( a11 ) , ( a12 , a13 ) ,( a14 , a15 , a16 ) , ( a17 , a18 , a19 , a20 ) ; a6 ) ( a21 ) ,?,分别计算各个括号内所有项之和,并设由这些和按原来括号的前后顺序构成的 数列为 {bn } ,求 b5 ? b100 的值; (3)设 An 为数列 ?
*

? an ? 1 ? 3 对 ? 的前 n 项积,是否存在实数 a ,使得不等式 An an ? 1 ? a ? 2a ? an ?

一切 n ? N 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解: (1)? 点 (n, S n ) 在函数 f ( x) ? x2 ? x 上, S n ? n 2 ? n . 所以 a1=S1=2,a2= S2- S1=4,a3= S3- S2=6 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n 2 ? n ? [(n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2n (2)因为 an ? 2n( n ? N ) ,所以数列 ?an ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2) ,
*

检验:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 满足 an ? 2n .?an ? 2n(n ? N ? ) .

(4,6) , (8,10,12) , (14,16,18,20) ; (22) , (24,26) , (28,30,32) , (34,36, 38,40) ; (42) ,?. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号, 故 b100 是第 25 组中第 4 个括号内各数之和. 由分组规律知, 由各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数 列是等差数列,且公差为 20. 同理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所 有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列, 且公差均为 20. 故各组第 4 个括号中各数之和 构成等差数列,且公差为 80. 注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68, 所以 b100 ? 68 ? 24 ? 80 ? 1988 .又 b5 =22,所以 b5 ? b100 =2010. (3)因为

? 1 ?? an ? 1 1 1? ? 1? ? 1 ? ,故 An ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? , an an ? a1 ?? a2 ? ? an ? ? 1 ?? 1? ? 1? 所以 An an ? 1 ? ?1 ? ??1 ? ? ??1 ? ? 2n ? 1 . a a a ? 1 ?? 2 ? n ? ? 3 * 又 An an ? 1 ? a ? 对一切 n ? N 都成立,即 2a ? 1 ?? 1? ? 1? 3 * 对一切 n ? N 都成立 ?1 ? ??1 ? ? ??1 ? ? 2n ? 1 ? a ? 2a ? a1 ?? a2 ? ? an ?

设 g ( n) ? ? 1 ?

? ?

3 1 ?? 1? ? 1? ??1 ? ? ??1 ? ? 2n ? 1 ,则只需 [ g (n)]max ? a ? 2a 即可. a1 ?? a2 ? ? an ?

由于

4 n 2 ? 8n ? 3 g (n ? 1) ? 1 ? 2 n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1, ? ?1 ? ? ? ? ? g ( n) 4 n 2 ? 8n ? 4 ? an?1 ? 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1

所以 g (n ? 1) ? g (n) ,故 g (n) 是单调递减,于是 [ g (n)]max ? g (1) ? 令

3 2

(a ? 3)(2a ? 3) 3 3 3 ? 0 ,解得 ? ? a ? ,即 ? a ? 0 ,或 a ? 3 . a 2 2a 2 * 综上所述,使得所给不等式对一切 n ? N 都成立的实数 a 存在, a 的取值范围是 3 (? , 0) ? ( 3, ??) . 2


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