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1.2.1充分条件与必要条件


回顾 四种命题之间的相互关系 若 p,则 q 互 否 原命题 互 逆 逆命题 互 否 若 q ,则 p 互为 逆否 若-p,则-q 互 否命题 逆 逆否命题 若-q,则-p 引例 把下列命题写成“若p,则q”的形式, 并写出它的逆命题,判断它们的真假. (1)正数的平方是正数. “若p,则q”:若m﹥0,则m2﹥0 . (真) 即:m﹥0 m2﹥0 逆命题:若m2 ﹥ 0,则m﹥0. (假) 即:m2﹥0 m﹥0. (2)面积相等的两个三角形全等. “若p,则q”:若两个三角形面积相等, (假) 则这两个三角形全等. (真) 逆命题:若两个三角形全等, 则这两个三角形面积相等. “若p,则q”为真,则记作 p q q “若p,则q”为假,则记作 p 什么是充分条件?什么是必要条件? 若 p?q 则称: p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 定义 充分条件和必要条件: 如果已知p ? q, 则p 是q 的充 但q ? p, 则 p 分条件,q 是p 的必要条件 如果已知p ? q, 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要 不充分条件. 练习一 说出下列各组命题中,p 是q 的什么 条件?q 是 p 的什么条件? (1)p: x=y , q: x =y 2 2 解:因为 x=y 即 p x2 =y2, 且x2 =y2 q, 而q p x=y 所以p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件. (2) p: (a-2)(a-3)=0, q: a=3 因为:p q, ? 而q ? p 所以p是q 的必要不充分条件,q是 p 的充分不必要条件. b (3)p:a < b , q: <1 a 因为: p ? q 且q ? p 所以p是q 的既不充分也不必要的条 件,q是p 的既不充分也不必要的条件. 练习二 填空 1.“x2 +(y-2)2 =0 ”是“x(y-2)=0”的 充分不必要 条件. ∈ 2.已知下列四个命题 (1)p:a ∈ Q ,q: a (2)p: x2-1>0, R. q: x -1>0. (3)p: a = 2, q: a2 = 4. (4)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等 有 其中p是q的充分不必要条件的 (1)(3) . 思考题 1 设p: 5x-1 >4 ,q: 2x2-3x+1 (1) p是q的什么条件? ( 2) p是 分析: 所以 q的什么条件? >0 , 则 1 3 p: x>1或x< ? q: x>1或x< 2 5 p是q的真子集, q是 p的真子集. 即:p ? q 且 q ? p 故p是q 的充分不必要条件, p是 q 的必要不充分条件. 例题 例1 判断p 是q 的什么条件. 充分不必要条件 p:x是6的倍数;q:x是2的倍数. p:x是2的倍数;q:x是6的倍数. 必要不充分条件 p:x是4的倍数;q:x是6的倍数. 既不充分也不必要条件 例2 判断p是q 的什么条件. p : x = 3, q : x = 9 充分不必要条件 p : x = 9, q : x = 3 必要不充分条件 p : xy > 0, q : x > 0且y > 0 必要不充分条件 2 2 p : x ? A, q : x ? A B 必要不充分条件 例3 判断p是q的什么条件. 1 1 p : xy > 0且x > y , q : < 充分不必要条件 x y

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