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2008年全国高中数学联合竞赛加试


2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) = A.0

5 ? 4x + x2 在 ( ?∞, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C.2 D.3





2.设 A =

[?2, 4) , B = {x x 2 ? ax ? 4 ≤ 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3)





3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各 3 3
( )

局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ξ 的期望 Eξ 为 A.

241 670 266 274 B. C. D. 81 81 81 243 4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体的体
积之和为 A. 764 cm3 或 586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3 ( ) D. 586 cm3

? x + y + z = 0, 的有理数解 ( x, y , z ) 的个数为 5.方程组 ? xyz + z = 0, ? ? xy + yz + xz + y = 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4





6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 A. (0, +∞) B. (0,

sin Acot C + cos A 的取值范围是( sin B cot C + cos B
D. (



5 +1 5 ?1 5 + 1 C. ( ) , ) 2 2 2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

5 ?1 , +∞) 2

7.设 f ( x) = ax + b ,其中 a, b 为实数, f1 ( x ) = f ( x) , f n +1 ( x) = f ( f n ( x)) , n = 1, 2,3,L ,若

f 7 ( x) = 128 x + 381 ,则 a + b =

. .

1 8.设 f ( x) = cos 2 x ? 2a(1 + cos x) 的最小值为 ? ,则 a = 2

9. 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 将 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法
1

共有

种.

10.设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn + an =

n ?1 , n = 1, 2,L ,则通项 a n = n( n + 1)



11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) = 2008 ,且对任意 x ∈ R ,满足

f ( x + 2) ? f ( x) ≤ 3 ? 2 x , f ( x + 6) ? f ( x) ≥ 63 ? 2 x ,则 f ( 2008) =



12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则 该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) =| sin x | 的图像与直线 y = kx ( k > 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最 大值为 α ,求证: .

cos α 1+ α 2 . = sin α + sin 3α 4α

14.解不等式 log 2 ( x12 + 3x10 + 5 x8 + 3 x 6 + 1) < 1 + log 2 ( x 4 + 1) .

15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 = 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆

( x ? 1)2 + y 2 = 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值.

2

题 15

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)
一、 (本题满分 50 分) 如 题 一 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD , ∠B + ∠D < 180o , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令

f ( P ) = PA ? BC + PD ? CA + PC ? AB .
(Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆;

AE 3 BC 1 满足: , (Ⅱ) E 是 ?ABC 外接圆 O 的 ? 上一点, 设 AB = 3 ? 1 ,∠ECB = ∠ECA , = AB 2 EC 2
又 DA, DC 是 ? O 的切线, AC = 2 ,求 f ( P ) 的最小值.

一题图

二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x ) 的周期且 0 < T < 1 .证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 是 f ( x ) 的周期; p (n = 1, 2, ???) ,

(Ⅱ) T 为无理数, 若 则存在各项均为无理数的数列 {an } 满足 1 > an > an +1 > 0 且每个 an

(n = 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.

3

三、 (本题满分 50 分) 设 ak > 0 , k = 1, 2,L , 2008 .证明:当且仅当 ∑ ak > 1 时,存在数列 { xn } 满足以下条件:
k =1 2008

(ⅰ) 0 = x0 < xn < xn +1 , n = 1, 2,3, L ; (ⅱ) lim xn 存在;
n →∞

(ⅲ) xn ? xn ?1 = ∑ ak xn + k ? ∑ ak +1 xn + k , n = 1, 2,3,L .
k =1 k =0

2008

2007

4

2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各题 的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档 次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) = A.0

5 ? 4x + x2 在 ( ?∞, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C.2 D.3

( C )

[解] 当 x < 2 时, 2 ? x > 0 ,因此 f ( x) =

1 + (4 ? 4 x + x 2 ) 1 1 = + (2 ? x) ≥ 2 ? ? (2 ? x ) 2? x 2? x 2? x

= 2 ,当且仅当 1 = 2 ? x 时上式取等号.而此方程有解 x = 1∈ (?∞, 2) ,因此 f ( x) 在 ( ?∞, 2) 上
2? x
的最小值为 2. 2.设 A = [?2, 4) , B = {x x 2 ? ax ? 4 ≤ 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3) ( D )

[解] 因 x 2 ? ax ? 4 = 0 有两个实根

x1 =

a a2 a a2 ? 4+ , x2 = + 4 + , 2 4 2 4

故 B ? A 等价于 x1 ≥ ?2 且 x2 < 4 ,即

a a2 a a2 ? 4+ ≥ ?2 且 + 4 + <4, 2 4 2 4
解之得 0 ≤ a < 3 . 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为

2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各 3 3
( B ) D.

局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ξ 的期望 Eξ 为 A.

241 81

B.

266 81

C.

274 81

670 243
5

[解法一] 依题意知, ξ 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

2 1 5 ( ) 2 + ( )2 = . 3 3 9
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮 比赛是否停止没有影响.从而有

5 P (ξ = 2) = , 9

4 5 20 , P (ξ = 4) = ( )( ) = 9 9 81 4 16 P (ξ = 6) = ( ) 2 = , 9 81
5 20 16 266 故 Eξ = 2 × + 4 × + 6 × = . 9 81 81 81
[解法二] 依题意知, ξ 的所有可能值为 2,4,6. 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得

P (ξ = 2) = P ( A1 A2 ) + P( A1 A2 ) =

5 , 9

P (ξ = 4) = P( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , = 2[( )3 ( ) + ( )3 ( )] = 3 3 3 3 81 P (ξ = 6) = P ( A1 A2 A3 A4 ) + P ( A1 A2 A3 A4 ) + P ( A1 A2 A3 A4 ) + P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 16 = 4( ) 2 ( )2 = , 3 3 81 5 20 16 266 故 Eξ = 2 × + 4 × + 6 × = . 9 81 81 81
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体的体 积之和为 A. 764 cm3 或 586 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3 B. 764 cm3 D. 586 cm3 ( A )

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 a, b, c ,则有 6 a 2 + b 2 + c 2 = 564 , a 2 + b 2 + c 2 = 94 ,不妨设

(

)

1 ≤ a ≤ b ≤ c < 10 ,从而 3c ≥ a + b + c = 94 , c > 31 .故 6 ≤ c < 10 . c 只能取 9,8,7,6.
2 2 2 2 2

6

若 c = 9 ,则 a 2 + b 2 = 94 ? 92 = 13 ,易知 a = 2 , b = 3 ,得一组解 ( a, b, c ) = (2, 3, 9) . 若 c = 8 ,则 a 2 + b 2 = 94 ? 64 = 30 , b ≤ 5 .但 2b ≥ 30 , b ≥ 4 ,从而 b = 4 或 5.若 b = 5 ,
2

则 a = 5 无解,若 b = 4 ,则 a = 14 无解.此时无解.
2 2

若 c = 7 ,则 a 2 + b 2 = 94 ? 49 = 45 ,有唯一解 a = 3 , b = 6 . 若 c = 6 , a 2 + b 2 = 94 ? 36 = 58 , 则 此时 2b ≥ a + b = 58 , ≥ 29 . b ≥ 6 , b ≤ c = 6 , b 故 但
2 2 2 2

故 b = 6 ,此时 a = 58 ? 36 = 22 无解.
2

?a = 2, ?a = 3, ? ? 综上,共有两组解 ?b = 3, 或 ?b = 6, ?c = 9 ?c = 7. ? ?
体积为 V1 = 2 + 3 + 9 = 764 cm3 或 V2 = 3 + 6 + 7 = 586 cm3.
3 3 3

3

3

3

? x + y + z = 0, 5.方程组 ? xyz + z = 0, 的有理数解 ( x, y , z ) 的个数为 ? ? ? xy + yz + xz + y = 0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

( B )

? x + y = 0, ? x = 0, ? x = ?1, [解] 若 z = 0 ,则 ? 解得 ? 或? ? xy + y = 0. ? y = 0 ? y = 1.
若 z ≠ 0 ,则由 xyz + z = 0 得 xy = ?1 . 由 x + y + z = 0 得 z = ?x ? y . ① ② ③

将②代入 xy + yz + xz + y = 0 得 x 2 + y 2 + xy ? y = 0 . 由①得 x = ?

1 ,代入③化简得 ( y ? 1)( y 3 ? y ? 1) = 0 . y

易知 y 3 ? y ? 1 = 0 无有理数根,故 y = 1 ,由①得 x = ?1 ,由②得 z = 0 ,与 z ≠ 0 矛盾,故该

? x = 0, ? x = ?1, 方程组共有两组有理数解 ? y = 0, 或 ? y = 1, ? ? ? z = 0 ? z = 0. ? ?
6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C + cos A 的取值范围是 sin B cot C + cos B
( C )

A. (0, +∞)

B. (0,

5 +1 ) 2
7

5 ?1 5 + 1 5 ?1 D. ( , ) , +∞) 2 2 2 [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b = aq, c = aq 2 ,而
C. (

sin A cot C + cos A sin A cos C + cos A sin C = sin B cot C + cos B sin B cos C + cos B sin C
= sin( A + C ) sin(π ? B ) sin B b = = = =q. sin( B + C ) sin(π ? A) sin A a

因此,只需求 q 的取值范围.

因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且只需

a + b > c 且 b + c > a .即有不等式组

?a + aq > aq 2 , ?q 2 ? q ? 1 < 0, ? ? 即? 2 ? 2 ?aq + aq > a ?q + q ? 1 > 0. ? ?

?1 ? 5 5 +1 <q< , ? ? 2 2 解得 ? ? q > 5 ? 1 或q < ? 5 + 1 . ? ? 2 2
从而

5 ?1 5 +1 5 ?1 5 + 1 <q< ,因此所求的取值范围是 ( , ). 2 2 2 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 f ( x) = ax + b ,其中 a, b 为实数, f1 ( x ) = f ( x) , f n +1 ( x) = f ( f n ( x)) , n = 1, 2,3,L ,若

f 7 ( x) = 128 x + 381 ,则 a + b =

5

.

[解] 由题意知 f n ( x) = a n x + (a n ?1 + a n ? 2 + L + a + 1)b

= an x +

an ?1 ?b , a ?1 a7 ? 1 ? b = 381 ,因此 a = 2 , b = 3 , a + b = 5 . a ?1

由 f 7 ( x) = 128 x + 381 得 a 7 = 128 ,

1 8.设 f ( x ) = cos 2 x ? 2a (1 + cos x ) 的最小值为 ? ,则 a = 2
[解] f ( x) = 2 cos 2 x ? 1 ? 2a ? 2a cos x

?2 + 3



a 1 = 2(cos x ? ) 2 ? a 2 ? 2a ? 1 , 2 2
(1) a > 2 时, f ( x) 当 cos x = 1 时取最小值 1 ? 4a ;
8

(2) a < ?2 时, f ( x) 当 cos x = ?1 时取最小值 1; (3) ?2 ≤ a ≤ 2 时, f ( x) 当 cos x =

a 1 时取最小值 ? a 2 ? 2a ? 1 . 2 2

1 又 a > 2 或 a < ?2 时, f ( x) 的最小值不能为 ? , 2

1 1 故 ? a 2 ? 2a ? 1 = ? ,解得 a = ?2 + 3 , a = ?2 ? 3 (舍去). 2 2
9. 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 将 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法 共有 222 种. [解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如

| ???? | ?L ? | ?? |
表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相 当于 24 + 2 = 26 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入 “|”,故有 C2 = 253 种. 23 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x2 , x3 ,则每校至少有一个名额的分法数为不定 方程

x1 + x2 + x3 = 24 .
的正整数解的个数,即方程 x1 + x2 + x3 = 21 的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合:
21 21 2 H3 = C23 = C23 = 253 .

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10.设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn + an = [解] an +1 = S n +1 ? Sn =

n ?1 , n = 1, 2,L ,则通项 a n = 1 ? 1 . n( n + 1) 2n n(n + 1)

n n ?1 ? an +1 ? + an , ( n + 1)(n + 2) n( n + 1)

9



2 a n+1 = =

n+2?2 1 1 ? + + an (n + 1)(n + 2) n + 1 n(n + 1)
?2 1 , + an + (n + 1)(n + 2) n( n + 1) 1 1 . ) = an + ( n + 1)( n + 2) n(n + 1)

由此得 2 ( a n +1 + 令 bn = an +

1 1 1 , ( a1 = 0 ), b1 = a1 + = 2 2 n( n + 1)

1 1 1 1 有 bn +1 = bn ,故 bn = n ,所以 a n = n ? . 2 2 n( n + 1) 2
11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) = 2008 ,且对任意 x ∈ R ,满足

f ( x + 2) ? f ( x) ≤ 3 ? 2 x , f ( x + 6) ? f ( x) ≥ 63 ? 2 x ,则 f ( 2008) =
[解法一] 由题设条件知

22008 + 2007



f ( x + 2) ? f ( x) = ?( f ( x + 4) ? f ( x + 2)) ? ( f ( x + 6) ? f ( x + 4)) + ( f ( x + 6) ? f ( x)) ≥ ?3 ? 2 x + 2 ? 3 ? 2 x + 4 + 63 ? 2 x = 3 ? 2 x ,
因此有 f ( x + 2) ? f ( x) = 3 ? 2 x ,故

f (2008) = f (2008) ? f (2006) + f (2006) ? f (2004) + L + f (2) ? f (0) + f (0) = 3 ? (22006 + 22004 + L + 22 + 1) + f (0)

= 3?

41003+1 ? 1 + f (0) 4 ?1

= 2 2008 + 2007 .
[解法二] 令 g ( x ) = f ( x) ? 2 x ,则

g ( x + 2) ? g ( x) = f ( x + 2) ? f ( x) ? 2 x + 2 + 2 x ≤ 3 ? 2 x ? 3 ? 2 x = 0 , g ( x + 6) ? g ( x) = f ( x + 6) ? f ( x) ? 2 x + 6 + 2 x ≥ 63 ? 2 x ? 63 ? 2 x = 0 ,
即 g ( x + 2) ≤ g ( x ), g ( x + 6) ≥ g ( x) , 故 g ( x) ≤ g ( x + 6) ≤ g ( x + 4) ≤ g ( x + 2) ≤ g ( x) , 得 g ( x) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) = g (2008) + 22008 = g (0) + 22008 = 22008 + 2007 . 12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则

10

该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

72 3



[解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A 1 B1C1 //平面 ABC , 与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体 P ? A 1 B1C1 的中心, PO ⊥ 面A1 B1C1 ,垂足 D 为

A 1 B1C1 的中心.
1 因 VP ? A B C = S ?A B C ? PD 1 1 1 3 111

= 4 ? VO ? A1B1C1

1 = 4 ? ? S ?A1B1C1 ? OD , 3
故 PD = 4OD = 4r ,从而 PO = PD ? OD = 4r ? r = 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P ,连接 OP ,则 1 1

PP = PO 2 ? OP 2 = (3r ) 2 ? r 2 = 2 2r . 1 1
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时 的情况, 易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正 三角形,记为 P EF ,如答 12 图 2.记正四面体 1 的棱长为 a ,过 P 作 PM ⊥ PA 于 M . 1 1 因 ∠MPP = 1 答 12 图 1

3 π , 有 PM = PP ? cos MPP = 2 2r ? = 6r , 故 小 三 角 形 的 边 长 1 1 6 2

P E = PA ? 2 PM = a ? 2 6r . 1
小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 中阴影部分) 2

S?PAB ? S ?P1EF =

3 2 2 ( a ? (a ? 2 6r ) 2 ) = 3 2ar ? 6 3r . 4

又 r = 1 , a = 4 6 ,所以

S ?PAB ? S ?P1EF = 24 3 ? 6 3 = 18 3 .

答 12 图 2

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) =| sin x | 的图像与直线 y = kx ( k > 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最 大值为 α ,求证:
11

cos α 1+ α 2 . = sin α + sin 3α 4α
[证]

f ( x) 的 图 象 与 直 线 y = kx

( k > 0) 的三个交点如答 13 图所示,且
在 (π ,

3π 内 相 切 , 其 切 点 为 ) 2 3π . ) 2
…5 分

A(α , ? sin α ) , α ∈ (π ,

答 13 图

3 由于 f ′( x) = ? cos x , x ∈ (π , π ) ,所以 ? cos α = ? sin α ,即 α = tan α . 2 α
因此

…10 分

cos α cos α = sin α + sin 3α 2sin 2α cos α = = = =
14.解不等式

1 4sin α cos α cos 2 α + sin 2 α 4sin α cos α 1 + tan 2 α 4 tan α 1+ α 2 . 4α

…15 分

…20 分

log 2 ( x12 + 3x10 + 5 x8 + 3 x 6 + 1) < 1 + log 2 ( x 4 + 1) .
[解法一] 由 1 + log 2 ( x 4 + 1) = log 2 (2 x 4 + 2) ,且 log 2 y 在 (0, +∞) 上为增函数,故原不等式等价于

x12 + 3x10 + 5 x8 + 3x 6 + 1 > 2 x 4 + 2 .
即 分组分解

x12 + 3x10 + 5 x8 + 3 x 6 ? 2 x 4 ? 1 > 0 . x12 + x10 ? x8 +2 x10 + 2 x8 ? 2 x 6 +4 x8 + 4 x 6 ? 4 x 4 + x6 + x 4 ? x 2 + x4 + x2 ? 1 > 0 ,

…5 分

12

( x8 + 2 x 6 + 4 x 4 + x 2 + 1)( x 4 + x 2 ? 1) > 0 ,
所以

…10 分

x4 + x2 ? 1 > 0 ,

( x2 ?
所以 x 2 >

?1 ? 5 2 ?1 + 5 )( x ? )>0. 2 2

…15 分

?1 + 5 ?1 + 5 ?1 + 5 ,即 x < ? 或x> . 2 2 2

故原不等式解集为 ( ?∞, ?

5 ?1 )U( 2

5 ?1 , +∞) . 2

…20 分

[解法二] 由 1 + log 2 ( x 4 + 1) = log 2 (2 x 4 + 2) ,且 log 2 y 在 (0, +∞) 上为增函数,故原不等式等价于

x12 + 3 x10 + 5 x8 + 3 x 6 + 1 > 2 x 4 + 2 .


…5 分

2 1 + 6 < x 6 + 3x 4 + 3 x 2 + 1 + 2 x 2 + 2 = ( x 2 + 1)3 + 2( x 2 + 1) , 2 x x ( 1 3 1 ) + 2( 2 ) < ( x 2 + 1) 3 + 2( x 2 + 1) , x2 x
…10 分

令 g (t ) = t 3 + 2t ,则不等式为

g(

1 ) < g ( x 2 + 1) , 2 x

显然 g (t ) = t 3 + 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 < x2 + 1, x2
即 ( x 2 )2 + x 2 ? 1 > 0 ,解得 x 2 > 故原不等式解集为 ( ?∞, ?

…15 分 ( x2 < ?

5 ?1 2

5 +1 舍去), 2
…20 分

5 ?1 )U( 2

5 ?1 , +∞) . 2

13

15. 如题 15 图, 是抛物线 y 2 = 2 x 上的动点, B,C 在 y 轴上, ( x ? 1)2 + y 2 = 1 内切于 ?PBC , 点 圆 P 求 ?PBC 面积的最小值. [解] 设 P ( x0 , y0 ), B (0, b), C (0, c) ,不妨设 b > c . 直线 PB 的方程: y ? b =

y0 ? b , x x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y + x0b = 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b + x0b
2 ( y0 ? b) 2 + x0

=1 ,

…5 分

2 2 故 ( y0 ? b) 2 + x0 = ( y0 ? b) 2 + 2 x0b( y0 ? b) + x0 b 2 ,

易知 x0 > 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b 2 + 2 y0b ? x0 = 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c 2 + 2 y0 c ? x0 = 0 . 所以 b + c = 题 15 图 …10 分

? x0 ?2 y0 , bc = ,则 x0 ? 2 x0 ? 2
2 2 4 x0 + 4 y0 ? 8 x0 . ( x0 ? 2) 2

(b ? c ) 2 =

2 因 P ( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 = 2 x0 ,则 2 2 x0 4 x0 , . b?c = 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2)

(b ? c ) 2 =

…15 分

所以 S ?PBC =

x 1 4 (b ? c) ? x0 = 0 ? x0 = ( x0 ? 2) + +4 2 x0 ? 2 x0 ? 2

≥ 2 4 + 4 = 8.
当 ( x0 ? 2) 2 = 4 时,上式取等号,此时 x0 = 4, y0 = ±2 2 . 因此 S ?PBC 的最小值为 8. …20 分

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 试题参考答案及评分标准
一、 (本题满分 50 分)
14

如 题 一 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD , ∠B + ∠D < 180o , P 是 平 面 上 的 动 点 , 令

f ( P ) = PA ? BC + PD ? CA + PC ? AB .
(Ⅰ)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P,A,B,C 四点共圆;

AE 3 BC 1 (Ⅱ) E 是 ?ABC 外接圆 O 的 ? 上一点, 设 满足: , AB = 3 ? 1 ,∠ECB = ∠ECA , = AB 2 EC 2
又 DA, DC 是 ? O 的切线, AC = 2 ,求 f ( P ) 的最小值.

一题图 [解法一] (Ⅰ)如答一图 1,由托勒密不等式,对平面上的任意点 P ,有

PA ? BC + PC ? AB ≥ PB ? AC .
因此 f ( P ) = PA ? BC + PC ? AB + PD ? CA

≥ PB ? CA + PD ? CA = ( PB + PD ) ? CA .
因为上面不等式当且仅当 P, A, B, C 顺次共圆时取等号,因此当且仅 当 P 在 ?ABC 的外接圆且在 ? 上时, AC

f ( P ) = ( PB + PD ) ? CA .

…10 分

答一图 1

又因 PB + PD ≥ BD , 此不等式当且仅当 B , P , D 共线且 P 在 BD 上时取等号. 因此当且仅当 P 为

?ABC 的外接圆与 BD 的交点时, f ( P ) 取最小值 f ( P ) min = AC ? BD .
故当 f ( P ) 达最小值时, P, A, B, C 四点共圆. (Ⅱ) ∠ECB = α , ∠ECA = 2α , 记 则 由正弦定理有 即 3(3sin α ? 4sin 3 α ) = 4sin α cos α ,所以 …20 分

AE sin 2α 3 , 从而 3 sin 3α = 2sin 2α , = = AB sin 3α 2

3 3 ? 4 3(1 ? cos 2 α ) ? 4 cos α = 0 ,
整理得 4 3 cos 2 α ? 4 cos α ? 3 = 0 , 解得 cos α = …30 分

3 1 (舍去) 或 cos α = ? , 2 2 3

故 α = 30o , ∠ACE = 60o .
15

sin ∠EAC ? 30 BC 由已知 = 3 ?1 = sin ∠EAC EC

(

0

) , 有 sin(∠EAC ? 30 ) = (
o

3 ? 1) sin ∠EAC , 即

3 1 2? 3 1 sin ∠EAC ? cos ∠EAC = ( 3 ? 1) sin ∠EAC , 整 理 得 sin ∠EAC = cos ∠EAC , 故 2 2 2 2

tan ∠EAC =

1 o = 2 + 3 ,可得 ∠EAC = 75 , 2? 3

…40 分

从而 ∠E = 45o ,∠DAC = ∠DCA = ∠E = 45o ,?ADC 为等腰直角三角形. AC = 2 , CD = 1 . 因 则 又 ?ABC 也是等腰直角三角形,故 BC = 2 , BD 2 = 1 + 2 ? 2 ?1? 2 cos135o = 5 , BD = 5 . 故 f ( P) min = BD ? AC = 5 ? 2 = 10 . [解法二] (Ⅰ) 如答一图 2, 连接 BD 交 ?ABC 的外接圆 O …50 分

于 P0 点(因为 D 在 ? O 外,故 P0 在 BD 上) . 过 A, C , D 分 别 作 P0 A, P0C , P0 D 的 垂 线 , 两 两 相 交 得 易知 P0 在 ?ACD 内, 从而在 ?A1 B1C1 内, ?ABC 之 记 ?A1 B1C1 , 三内角分别为 x, y,z ,则 ∠AP0C = 180° ? y = z + x ,又因

B1C1 ⊥ P0 A , B1 A1 ⊥ P0C ,得 ∠B1 = y ,同理有 ∠A1 = x ,
∠C1 = z ,
所以 ?A1 B1C1 ∽ ?ABC . …10 分 答一图 2

设 B1C1 = λ BC , C1 A1 = λCA , A1 B1 = λ AB ,则对平面上任意点 M ,有

λ f ( P0 ) = λ ( P0 A ? BC + P0 D ? CA + P0C ? AB)
= P0 A ? B1C1 + P0 D ? C1 A1 + P0C ? A1 B1

= 2S ?A1B1C1 ≤ MA ? B1C1 + MD ? C1 A1 + MC ? A1 B1
= λ ( MA ? BC + MD ? CA + MC ? AB ) = λ f (M ) ,
从而

f ( P0 ) ≤ f ( M ) .

由 M 点的任意性,知 P0 点是使 f ( P ) 达最小值的点. 由点 P0 在 ? O 上,故 P0 , A, B, C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( P ) 的最小值 ,
16

…20 分

f ( P0 ) =

2

λ

S ?A1B1C1

= 2λ S?ABC ,
记 ∠ECB = α ,则 ∠ECA = 2α ,由正弦定理有

AE sin 2α 3 ,从而 3 sin 3α = 2sin 2α ,即 = = AB sin 3α 2

3(3sin α ? 4sin 3 α ) = 4sin α cos α ,所以
3 3 ? 4 3(1 ? cos 2 α ) ? 4 cos α = 0 ,
整理得 4 3 cos 2 α ? 4 cos α ? 3 = 0 , 解得 cos α = …30 分

3 1 (舍去) 或 cos α = ? , 2 2 3

故 α = 30o , ∠ACE = 60o .

sin ∠EAC ? 30 BC 由 已 知 = 3 ?1 = sin ∠EAC EC

(

0

)

, 有 sin(∠EAC ? 30o ) = ( 3 ? 1) sin ∠EAC , 即

3 1 2? 3 1 sin ∠EAC ? cos ∠EAC = ( 3 ? 1) sin ∠EAC , 整 理 得 sin ∠EAC = cos ∠EAC , 故 2 2 2 2

tan ∠EAC =

1 o = 2 + 3 ,可得 ∠EAC = 75 , 2? 3

…40 分

所以 ∠E = 45° ,?ABC 为等腰直角三角形, AC = 2 ,S ?ABC = 1 ,因为 ∠AB1C = 45° ,B1 点在 ? O 上,∠AB1 B = 90° ,所以 B1 BDC1 为矩形, B1C1 = BD = 1 + 2 ? 2 ?1? 2 cos135° = 5 ,故 λ = 所以 f ( P) min = 2 ? [解法三]

5, 2

5 ?1 = 10 . 2

…50 分

(Ⅰ)引进复平面,仍用 A, B, C 等代表 A, B, C 所对应的复数.

由三角形不等式,对于复数 z1 , z2 ,有

z1 + z2 ≥ z1 + z2 ,
当且仅当 z1 与 z2 (复向量)同向时取等号. 有 所以

uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r r r PA ? BC + PC ? AB ≥ PA ? BC + PC ? AB ,

( A ? P)(C ? B) + (C ? P)( B ? A) ≥ ( A ? P)(C ? B) + (C ? P)( B ? A)
(1)

17

= ?P ? C ? A ? B + C ? B + P ? A uuu uuur r = ( B ? P )(C ? A) = PB ? AC ,
从而

uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r PA ? BC + PC ? AB + PD ? CA uuu uuur uuu uuur r r ≥ PB ? AC + PD ? AC uuu uuu uuur r r = ( PB + PD ) ? AC uuu uuur r ≥ BD ? AC .
(2) …10 分

(1)式取等号的条件是 复数 ( A ? P )(C ? B ) 与 (C ? P )( B ? A) 同向,故存在实数 λ > 0 ,使得

( A ? P )(C ? B ) = λ (C ? P )( B ? A) ,

A? P B?A , =λ C?P C?B A? P B? A ) = arg( ), C?P C?B uuu r uuu r uuu r uuu r 向量 PC 旋转到 PA 所成的角等于 BC 旋转到 AB 所成的角,
所以

arg(

从而 P, A, B, C 四点共圆. (2)式取等号的条件显然为 B , P , D 共线且 P 在 BD 上. 故当 f ( P ) 达最小值时 P 点在 ?ABC 之外接圆上, P , A, B , C 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( P ) min = BD ? AC . 以下同解法一. 二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x ) 的周期且 0 < T < 1 .证明: (Ⅰ)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使 …20 分

1 是 f ( x ) 的周期; p (n = 1, 2, ???) ,

(Ⅱ) T 为无理数, 若 则存在各项均为无理数的数列 {an } 满足 1 > an > an +1 > 0 且每个 an

(n = 1, 2, ???) 都是 f ( x) 的周期.
n 且 ( m , n ) = 1 ,从而存在整数 a, b ,使 m
18

[证] (Ⅰ)若 T 是有理数,则存在正整数 m, n 使得 T = 得

ma + nb = 1 .
于是

1 ma + nb = = a + bT = a ?1 + b ? T m m
是 f ( x ) 的周期. 又因 0 < T < 1 ,从而 m ≥ 2 .设 p 是 m 的素因子,则 m = pm′ , m′ ∈N? ,从而 …10 分

1 1 = m′ ? p m
是 f ( x ) 的周期. (Ⅱ)若 T 是无理数,令 …20 分

?1? a1 = 1 ? ? ? T , ?T ?
则 0 < a1 < 1 ,且 a1 是无理数,令

?1? a2 = 1 ? ? ? a1 , ? a1 ?
……

?1? an +1 = 1 ? ? ? an , ? an ?
……. 由数学归纳法易知 an 均为无理数且 0 < an < 1 .又 …30 分

?1? 1 ?1? ? ? ? < 1 ,故 1 < an + ? ? an ,即 an ? an ? ? an ?
…40 分

?1? an +1 = 1 ? ? ? an < an .因此 {an } 是递减数列. ? an ?

1 最后证:每个 an 是 f ( x) 的周期.事实上,因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期,故 a1 = 1 ? ? ? T 亦是 ?T ? ? ?

f ( x) 的周期.假设 ak 是 f ( x) 的周期,则 ak +1 = 1 ? ? 1 ? ak 也是 f ( x) 的周期.由数学归纳法, ? ?
? ak ?
已证得 an 均是 f ( x ) 的周期. 三、 (本题满分 50 分) 设 ak > 0 , k = 1, 2,L , 2008 .证明:当且仅当 ∑ ak > 1 时,存在数列 { xn } 满足以下条件:
k =1
2008

…50 分

19

(ⅰ) 0 = x0 < xn < xn +1 , n = 1, 2,3,L ; (ⅱ) lim xn 存在;
n →∞

(ⅲ) xn ? xn ?1 = ∑ ak xn + k ? ∑ ak +1 xn + k , n = 1, 2,3,L .
k =1 k =0

2008

2007

[证] 必要性:假设存在 { xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(iii) , , .注意到(ⅲ)中式子可化为
* xn ? xn ?1 = ∑ ak ( xn + k ? xn + k ?1 ) , n ∈ N , k =1 2008

其中 x0 = 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 = 0 得

xn = a1 ( xn +1 ? x1 ) + a2 ( xn + 2 ? x2 ) + L + a2008 ( xn + 2008 ? x2008 ) .
由(ⅱ)可设 b = lim xn ,将上式取极限得
n →∞

…10 分

b = a1 (b ? x1 ) + a2 (b ? x2 ) + L + a2008 (b ? x2008 ) = b ? ∑ ak ? ( a1 x1 + a2 x2 + L + a2008 x2008 )
k =1 2008

< b ? ∑ ak ,
k =1

2008

因此 ∑ ak > 1 .
k =1

2008

…20 分
2008 k =1

充分性:假设 ∑ ak > 1 .定义多项式函数如下:

f ( s ) = ?1 + ∑ ak s k , s ∈ [0,1] ,
k =1

2008

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且

f (0) = ?1 < 0 , f (1) = ?1 + ∑ ak > 0 .
k =1

2008

因此方程 f ( s ) = 0 在[0,1]内有唯一的根 s = s0 ,且 0 < s0 < 1 ,即 f ( s0 ) = 0 .
n

…30 分

k ,且 下取数列 { xn } 为 xn = ∑ s0 , n = 1, 2,L ,则明显地 { xn } 满足题设条件(ⅰ) k =1

k xn = ∑ s0 = k =1

n

n s0 ? s0 +1 . 1 ? s0

20

n 因 0 < s0 < 1 ,故 lim s0 +1 = 0 ,因此 lim xn = lim s0 ? s0 n →∞ n →∞ n →∞ 1 ? s 0

n +1

=

s0 ,即 { xn } 的极限存在,满足 1 ? s0
…40 分

(ⅱ) .
k 最后验证 { xn } 满足(ⅲ) ,因 f ( s0 ) = 0 ,即 ∑ ak s0 = 1 ,从而 k =1

2008

n k n n xn ? xn ?1 = s0 = ( ∑ ak s0 ) s0 = ∑ ak s0 + k = ∑ ak ( xn + k ? xn + k ?1 ) . k =1 k =1 k =1

2008

2008

2008

综上,存在数列 { xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ) , , .

…50 分

21


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