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高中数学 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用同步


第2课时

分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用

【课标要求】
1.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实

际问题.
2.会根据实际问题合理分类或分步. 【核心扫描】 1.应用两个计数原理解决实际问题.(重点) 2.合理分类或分步.(难点)

3.涂色问题中的讨论

.(易混点)

自学导引
1.两个原理的综合应用 在许多问题中,既要对完成方法进行分类,分类后又要考 虑某种方法的分步,这样就需要对分类加法计数原理和分 步乘法计数原理相结合使用. 2.图示两个原理综合应用 由A到B算完成一件事,如图

完成由A到B这件事共有:m1×m2×m3+m4×m5×m6种方法.

综合应用两个原理计数的关键是什么? 想一想: 提示 关键是搞清问题中是先分类还是先分步,而且分类 中还可能涉及分步,分步中还可能涉及分类.

名师点睛
1.两个原理综合运用的理解 (1)认真审题,弄清题目要做什么事情,怎样才能完成这件 事情,完成这件事情有哪些办法. (2)明确完成这件事情是分成几类办法,还是分成几个步 骤,还是既要分类又要分步,并且要明确分类或分步的标 准是什么. (3)对于较复杂的问题,按照完成这件事所必须的步骤,该 分类就分类,该分步就分步,或者是先分类 ,或者是先分

步,也可能是分类与分步交叉进行.总之,目标应该明
确,就是如何完成这件事,只要是完成这件事所必须的, 就要逐步去完成.

2.解决基本计数原理问题所用的思想方法及技巧 (1)建模法:建立数学模型,将排列组合问题转化为数学问 题,是计数方法中的基本方法(这在下节将重点学习).
(2)枚举法:利用枚举法(如树状图)可以把问题分析的更直 观、清楚,便于发现规律,从而形成恰当的分类或分步的 设计思想,用枚举法解题时要做到不重不漏.

题型一 种植问题
从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分 【例1】 别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有

多少种不同的种植方法.
[思路探索] 首先将完成这件事的过程分步,然后再找出每一 步中的方法有多少种,求其积.要注意各步之间的相互联 系,都完成后,才算完成这件事.



若黄瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6种不同种植方

法.同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有 3×2×1 = 6
种.故不同的种植方法共有6×3=18种.

规律方法

分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别是一

个与分类有关,一个与分步有关.在综合运用这两个计数原理 时,既要会合理分类,又能合理分步,一般情况是先分类后分 步.分类加法计数原理中无论是哪一类方法中的哪一种方法都

能单独完成这件事;分步乘法计数原理的每一个步骤都依次完
成后整个工作才算完成.

【训练1】将5种不同农作物种植在如下图所示的5块试验田里(5种

农作物必须都选),每块试验田只能种植一种农作物,则不
同的种植方法共有________种.

解析 第1步,在①号试验田里有5种不同的种植方法;第2

步,在②号试验田里有4种不同的种植方法;第3步,在③
号试验田里有3种不同的种植方法;第4步,在④号试验田 里有2种不同的种植方法;第5步,在⑤号试验田里有1种不 同的种植方法.根据分步乘法计数原理,共有 5×4×3×2×1=120种不同的种植方法. 答案 120种

题型二 涂色问题
一个区域只涂一种颜色,相邻区域的颜色不能相同,共有多少 种不同的涂色方案?

【例2】 如图,用5种不同颜色给A、B、C、D四个区域涂色,规定

[思路探索]

解答本题可按序号顺序依次涂色,在区域多处相邻

时,应注意适时分类讨论.

解 法一

分四步:

第一步:先涂A区域,有5种不同选法.
第二步:涂B区域,有4种不同选法. 第三步:涂C区域,与A、B均相邻,有3种不同选法. 第四步:涂D区域,与B、C均相邻,有3种不同选法. 根据分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180(种)不同涂 色方案.

法二 根据题意,可分类求解,

第一类:用3种颜色涂色,有5×4×3=60(种)不同涂法.
第二类:用4种颜色涂色,有5×4×3×2=120(种)不同涂 法. 根据分类加法计数原理,共有60+120=180(种)不同涂色 方案.

规律方法 涂色问题的一般思路: (1)为便于分析问题,应先给区域标上相应序号; (2)按涂色的顺序分步或按颜色恰当选取情况分类; (3)利用两个原理计数. 特别注意:倒数第二块区域的涂色会对最后一块区域产生

影响.

【训练2】用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个

区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,
那么共有多少种不同的涂色方法? 1 2 3 4

解 完成该件事可分步进行:

涂区域1,有5种颜色可选;
涂区域2,有4种颜色可选; 涂区域3和区域4可先分类:若区域3的颜色与2相同, 则区域4有4种颜色可选; 若区域3的颜色与2不同,则区域3有3种颜色可选,此 时区域4有3种颜色可选. 所以共有5×4×(1×4+3×3)=260种涂色方法.

题型三 简单的选择问题
【例3】(12分)某校学生会由高一年级5人,高二年级6人,高三 年级4人组成.(1)选其中一人为学生会主席,有多少种不 同的选法? (2)若每年级选1人为校学生会常委成员,有多少种不同的 选法?

(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活
动,有多少种不同的选法?

审题指导 第 (1) 问属于分类的问题,用分类加法计数原理求

解;第(2)问属于分步的问题,用分步乘法计数原理求解;第 (3)
问是综合类问题,要先分类再分步. 【解题流程】

[规范解答] (1) 分三类:第一类:从高一年级选一人,有 5 种选

择;第二类:从高二年级选一人,有6种选择;第三类:从高三
年级选一人,有 4 种选择.由分类加法计数原理,共有 5 + 6 + 4 =15(种)选法. (4分)

(2)分三步完成:第一步:从高一年级选一人,有5种选择; 第二步:从高二年级选一人,有6种选择;第三步:从高 三年级选一人,有4种选择.由分步乘法计数原理,共有 5×6×4=120(种)选法. (8分)

(3)分三类:高一、高二各一人,共有5×6=30(种)选法;

高一、高三各一人,共有5×4=20(种)选法;高二、高三
各一人,共有6×4=24(种)选法;由分类加法计数原理, 共有30+20+24=74(种)选法. (12分)

【题后反思】(1)使用两个原理解题的本质

(2)两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法有

【训练3】 有一项活动,需在3名老师、8名男同学和5名女同
学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2) 若需老师、男生、女生各一人参加,有多少种不同选 法?

(3)若需一名老师、一名学生参加,有多少种不同选法?



(1)有三类选人的选法:

3名老师中选一人,有3种方法;
8名男生中选一人,有8种方法; 5名女生中选一人,有5种方法. 由分类加法计数原理,共有3+8+5=16(种). (2)分三步选人: 第一步:选老师,有3种选法. 第二步:选男生,有8种选法.

第三步:选女生,有5种选法.
由分步乘法计数原理,共有3×8×5=120种选法.

(3)可分两类,每一类又分两步.

第一类:选一名老师、一名男生,有3×8=24种选法.
第二类:选一名老师、一名女生,共有3×5=15种选法. 由分类加法计数原理,共有24+15=39(种)选法.

误区警示
四位偶数?

忽略限制条件而致错

【示例】用0到6这7个数字,可以能组成多少个没有重复数字的

[错解一]分4步进行:第1步,排个位,在0,2,4,6中选一个有4种方 法;第 2步,排十位,有6 种方法;第 3步,排百位有 5 种方法; 第4步,排千位有4种方法,共有方法种数4×6×5×4=480. [错解二] 考虑到首位不能排数字 0 ,分 4 步进行:第 1 步,排千 位,在 1,2,3,4,5,6 中选 1 个,有 6 种方法;第 2 步,排个位,在 0,2,4,6中选1个,有4种方法;第3步,排十位,在余下的5个数字 中选1个,有5种方法;第4步,排百位,在余下的4个数字中选1 个,有4种方法,共有6×4×5×4=480种方法.

本例中受限元素为“ 0” ,受限位置为 “ 首位 ” 和

“ 个位 ” ,在这里,先分类,再分步.这样在计数时才能做到
“ 不重不漏 ” ;但当分类较多时,可用间接法先求出总数,然 后减去不符合条件的方法数或是重复计数的数.这种解法是常 用方法.

[正解] 分两类:第1类,首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个),

则末位数字可取0,2,4,6中任一个,而百位数字不能取与这两个数
字重复的数字,十位则不能取与这三个数字重复的数字,故共 有3×4×5×4=240种取法; 第 2 类,首位取 2,4,6 中某个偶数数字,如 2 时,则末位只能取 0,4,6 中任一个,百位又不能取与上述重复的数字,十位不能取 与这三个数字重复的数字,故共有3×3×5×4=180种取法. 故共有240+180=420个无重复数字的四位偶数.

解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件

是隐藏的,要善于挖掘,排数时,要注意特殊元素、特殊位置
优先的原则.


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