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2013高三数学二轮专题一第1讲集合与常用逻辑用语


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高考真题感悟

第1讲

第1讲
【高考真题感悟】

集合与常用逻辑用语

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(2012· 北京)已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+ 1)(x-3)>0},则 A

∩B= A.(-∞,-1) C.
? 2 ? ?- ,3? ? 3 ?

(
? 2? ?-1,- ? 3? ?

)

B.

D.(3,+∞)

高考真题感悟

第1讲

解析

利用解不等式的方法求出集合 A,B,再求 A∩B.

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? ? ? ? 2 ? 2 ?x?x>- ?. ∵3x+2>0,∴x>-3.∴A= 3 ? ? ? ? ?

又∵(x+1)(x-3)>0,∴x>3 或 x<-1. ∴B={x|x<-1 或 x>3}.
? ? ? 2 ?x?x>- ∴A∩B= 3 ? ? ? ? ? ?∩{x|x<-1 ? ?

或 x>3}={x|x>3}.

答案

D

高考真题感悟

第1讲

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考题分析

“集合”是一个重要的知识点, 是高考的必考

内容.本小题重点考查了集合的表示方法、集合的基本运 算以及简单不等式的求解. 体现了以集合为背景对一次不 等式、二次不等式的求解能力的考查.
易错提醒 (1)对“集合”以及“交集”的概念理解不透. (2)对两个不等式的解集表示有误.

主干知识梳理

第1讲

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1.集合的基本概念 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)子集、真子集、空集、集合相等的概念. 2.集合的基本运算 (1)交集:A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. (2)并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. (3)补集:?UA={x|x∈U,且 x A}.

主干知识梳理
3.运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.

第1讲

本 (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. 讲 栏 (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 目 开 4.四种命题及其关系 关

(1)命题的定义 可以判断真假的语句叫做命题,可以写成“若 p,则 q”的形 式,其中 p 是条件,q 是结论. (2)四种命题间的关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

主干知识梳理
5.充分条件与必要条件

第1讲

(1)充要条件:若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要 条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件;

本 (2)充要条件与集合:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 讲 栏 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B. 目 开 6.简单的逻辑联结词 关

(1)逻辑联结词“且”,“或”,“非” 用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一 个新命题,记作“p∧q”; 用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一 个新命题,记作“p∨q”; 对一个命题 p 全盘否定, 就得到一个新命题, 记作“綈 p”.

主干知识梳理

第1讲

(2)命题 p∧q,p∨q 及綈 p 真假可以用下表来判定.

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p 真

q 真

p∧q 真

p∨q 真

綈p 假

真 假 假

假 真 假

假 假 假

真 真 假

假 真 真

主干知识梳理

第1讲

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7. 全称量词与存在量词 (1)全称命题 p:?x∈M,p(x). 它的否定綈 p:?x0∈M,綈 p(x0). (2)特称命题 p:?x0∈M,p(x0). 它的否定綈 p:?x∈M,綈 p(x).

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第1讲

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题型一

集合间的关系及运算问题

【例 1】 设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x||x 1 - |< 2,为虚数单位, i x∈R}, M∩N 为 则 ( ) i A.(0,1) C.[0,1) B.(0,1] D.[0,1]

(1)“集合的代表元素”是解决集合问题的关键问 题之一.(2)分别写出 M、N 的最简形式.

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解析

第1讲

对于 M,由二倍角公式得 y=|cos2x-sin2x|=|cos 2x|, ? 1? 1 故 0≤y≤1.对于 N, 因为 x- =x+i, ?x- i ?< 2, x2+1 由 得 i ? ? < 2,所以-1<x<1,故 M∩N=[0,1),故答案为 C.
答案 C

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本题需要注意两个问题:一是两个集合的含义; 二是要注意集合 N 中的不等式是一个复数模的实数不等式, 不要根据实数的绝对值求解.高考一般是以集合的形式与表 示不等式的解集、 函数的定义域、 函数的值域等来考查集合, 在解题时要特别注意集合的含义.

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第1讲

已知集合 A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0, a∈A},则满足 A∩B=B 的实数 a 的值为 A.1
解析

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( D )

B.2 或 3

C.1 或 3

D.1 或 2

当 a=1 时,B={x∈R|x2-x+1=0}=?,满足 A∩B=B;

当 a=2 时,B={x∈R|x2-2x+1=0}={1},这时 A∩B={1}= B,满足条件;
当 a=3 时,B={x∈R|x
2

?3- ? -3x+1=0}=? ? 2 ?

? 5 3+ 5? ?,这时 , 2 ? ?

A∩B=?,不满足 A∩B=B.

故满足 A∩B=B 的实数 a 的值为 1 或 2,选 D.

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题型二 【例 2】

四种命题与充要条件 (1)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 ( )

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a2+b2+c2≥3”的否命题是 A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3

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第1讲

(2)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对 称”是“y=f(x)是奇函数”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(1)从“否命题”的形式入手,但要注意“否命 题”与“命题的否定”的区别. (2)结合函数图形与性质,从充要条件的判定方法入手.

(

)

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第1讲

解析

(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后

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组成的命题,所以选择 A.

(2)由判定充要条件方法之一——定义法知,由“y=f(x)是奇 函数”可以推出“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”,反过来, 逆推不成立,所以选 B.
答案
(2)B

(1)A

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第1讲

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据 原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题, 解这 类试题时要注意对于一些关键词的否定, 如本题中等于的 否定是不等于, 而不是单纯的大于、 也不是单纯的小于. 进 行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假, 这里要 注意断定一个命题为真需要进行证明, 断定一个命题为假 只要举一个反例即可.

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第1讲

1 (1)(2012· 津)设 x∈R,则“x> ”是“2x2 +x- 天 2 1>0”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( A )

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(2)(2012· 南昌模拟)给出以下三个命题: ①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; ③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程有 实数根. 其中原命题、 逆命题、 否命题、 逆否命题全都是真命题的是( B ) A.① B.② C.③ D.②③

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题型三 “逻辑联结词”的应用问题

第1讲

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【例 3】 (2012· 山东)设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周 π π 期为 ; 命题 q: 函数 y=cos x 的图象关于直线 x= 对称. 则 2 2 下列判断正确的是 A.p 为真 C.p∧q 为假 B.綈 q 为假 D.p∨q 为真 ( )

本题可以根据有关的数学知识判断 p、q 的真假, 再将 p、q 否定并判断真假,最后,验证答案哪个为真.

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第1讲

解析 利用含逻辑联结词命题的真值表求解. p 是假命题,q 是假命题,因此只有 C 正确.

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答案

C
对含有逻辑联结词的命题的真假判断: 一是要抓住

题目中给出的基本命题的真假判断准则,这需要有其他数学 知识作基础;二是要抓住含有逻辑联结词的命题的真假判断 准则.

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第1讲

已知命题 p:若 xy≠15,则 x≠5 或 y≠3;命题 q: A、B 是锐角三角形的两内角,则 sin A>cos B,则下列命题中 为真命题的是 A.(綈 p)∧q C.p∧(綈 q) B.p∧q D.(綈 p)∨(綈 q) ( )

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第1讲

解析

“若 xy≠15,则 x≠5 或 y≠3”的逆否命题为“若 x=

5 且 y=3,则 xy=15”,逆否命题显然正确,

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所以命题 p 为真命题. π 又 A+B>2 π ∴A>2-B, ?π ? ∴sin A>sin?2-B?,即 sin A>cos B, ? ?
所以命题 q 为真命题.故 p∧q 为真命题.
答案 B

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题型四 【例 4】 量词及含有量词的命题的否定 写出下列命题的否定,并判断其真假.

第1讲

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(1)有些素数是奇数; (2)不论 m 取任何实数,方程 x2+2x-m=0 都有实数根.
解 (1)是特称命题, 其否定为所有的素数都不是奇数; 假命题. (2)是全称命题,其否定为存在实数 m,使得方程 x2+2x-m=0 没有实数根;真命题.

全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区 别,全称命题的否定是将全称量词改为存在量词,并把结论否 定;特称命题的否定是将存在量词改为全称量词,并把结论否 定;而命题的否定是直接否定其结论.

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第1讲

(2012· 北京)已知 f(x)=m(x-2m)· (x+m+3), g(x) =2x-2,若同时满足条件:①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则 m 的取值范围是______.

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解析 将①转化为 g(x)<0 的解集的补集是 f(x)<0 解集的子集 求解;
②转化为 f(x)>0 的解集与(-∞,-4)的交集非空.
①中,若 g(x)=2x-2<0,则 x<1. 又∵?x∈R,g(x)<0 或 f(x)<0, ∴[1,+∞)是 f(x)<0 的解集的子集.
又由 f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0 知, m 不可能大于或等于 0,因此 m<0.

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第1讲

当 m<0 时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0.
当 2m=-m-3,即 m=-1 时, f(x)<0 的解集为{x|x≠-1},满足条件.

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当 2m>-m-3,即-1<m<0 时, f(x)<0 的解集为{x|x>2m 或 x<-m-3}. 1 依题意 2m<1,即 m<2,∴-1<m<0. 当 2m<-m-3,即 m<-1 时,
f(x)<0 的解集为{x|x<2m 或 x>-m-3}.
依题意-m-3<1,即 m>-4,∴-4<m<-1. 因此满足①的 m 的取值范围是-4<m<0.

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②中,∵当 x∈(-∞,-4)时,g(x)=2x-2<0,

第1讲

∴问题转化为?x∈(-∞,-4),f(x)>0, 即 f(x)>0 的解集与(-∞,-4)的交集非空. 又 m<0,则(x-2m)(x+m+3)<0. 由①的解法知,当-1<m<0 时,2m>-m-3, 即-m-3<-4,∴m>1,此时无解. 当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2 恒小于或等于 0,此时无解. 当 m<-1 时,2m<-m-3, 即 2m<-4,∴m<-2. 综合①②可知满足条件的 m 的取值范围是-4<m<-2. 答案 -4<m<-2

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第1讲

本 1.熟练运用数形结合思想,利用 Venn 图、数轴、函数的图象 讲 来帮助分析和理解有关集合之间的关系,进行集合的运算, 栏 目 训练自己的形象思维能力,从而进一步提高自己的抽象思维 开 关

与形象思维能力.

2. 注意利用分类讨论的思想来解决集合之间的关系和含有参数 的问题,如在 A?B 的条件下,须考虑 A=?和 A≠?两种情 况,要时刻注意对空集的讨论.

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第1讲

3.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根 据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用 集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以 否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化 方法. 4. 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的, 这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确, 再根据逻 辑联结词的含义进行判断.

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第1讲

1 本 1.若集合 A={x|log4x≤ },B={x||x+1|≥2},则(?RA)∩B 等于 2 讲 ( A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-3]∪(2,+∞) C.(-∞,-3)∪[2,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) )

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名师押题我来做
押题依据

第1讲

“集合”是一个最基础的数学知识点, 也是一个重

要的数学知识点, 是每套高考试题中必考的知识点. 重点考查 集合的表示法、 元素的性质特征以及集合的基本运算等. 本题 重点考查了集合的基本运算, 同时体现了集合与不等式, 难度 不大,但重点突出,故押此题.
押题级别 ★★★★★
?x>0, ? 1 1 解析 由 log4x≤2,得? 即 0<x≤2,故 A={x|0<x≤2}, ?x≤4 2 =2 ?

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由补集的定义, 可知?RA={x|x≤0 或 x>2};

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第1讲

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由|x+1|≥2,得 x+1≤-2 或 x+1≥2, 解得 x≤-3 或 x≥1,

所以 B={x|x≤-3 或 x≥1}. 所以(?RA)∩B={x|x≤-3 或 x>2}.故选 B.
答案 B

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第1讲

2.下列命题是假命题的是________.(填序号) ①命题“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若 x2-3x+2=0,则 x=1”; π ②若 0<x< ,且 xsin x<1,则 xsin2x<1; 2 ③对于命题 p: ?x∈R, 使得 x2+x+1<0, 则綈 p: ?x∈R, 均有 x2+x+1≥0; 3 ④“x>2”是“ -1≤0”的充要条件; x+1 ⑤若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题.

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押题依据

第1讲

常用逻辑用语,是重要的数学基础知识,是高考

考查的热点.本题以填空的形式考查了命题、充要条件、量 词及简单的逻辑联结词. 题目难度适中, 体现了对基础知识、 重点知识的考查,故押此题.

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押题级别 ★★★★
解析 ①根据命题的四种形式,可知命题:“若 p,则 q”的 逆否命题是“若綈 q,则綈 p”,故该命题正确; π ②因为 0<x<2,所以 0<sin x<1,则 xsin2x<xsin x,所以有 xsin2x<xsin x<1,故该命题正确;

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第1讲

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③特称命题的否定是全称命题,故命题正确; 3 3 ④解不等式 -1≤0,得 x<-1 或 x≥2,所以“ - x+1 x+1
1≤0”的充分必要条件是“x<-1 或 x≥2”, 而“x>2”是其 充分不必要条件,该命题不正确.

⑤p∧q 为假命题时,只要 p、q 中至少有一个为假命题即可, 不一定 p、q 均为假命题.
答案 ④⑤


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