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北京市海淀区2014年高三二模数学理科试题


北京市海淀区 2014 年高三二模数学(理科)参考答案 2014.5
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 0 ? x ? 1 {或 (0,1) } 10. 5 11.1 12.2 13. 2 2

14.6,5050{本题第一空 3 分,第二空 2 分}

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解: (Ⅰ)由正弦定理可得

a b ? sin A sin B

----------------------------2 分

因为 a ? 2 7 sin A, b ? 21 所以 sin B ?

b sin A 21sin A 3 ? ? a 2 2 7 sin A

---------------------------5 分

在锐角 ?ABC 中, B ? 60? (Ⅱ)由余弦定理可得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B 又因为 a ? 3c

---------------------------7 分 ----------------------------9 分

所以 21 ? 9c2 ? c2 ? 3c2 ,即 c 2 ? 3 -------------------------------11 分 解得 c ? 3 -------------------------------12 分 经检验,由 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 ?1 ? ? 0 可得 A ? 90? ,不符合题意, 2bc 2 7

所以 c ? 3 舍去.--------------------13 分 16.解: (Ⅰ)因为 C1F / / 平面 AEG 又 C1F ? 平面 ACC1 A1 , 平面 ACC1 A1 ? 平面 AEG ? AG ,
G C1 z A1 B1 F

x C E y B

A

所以 C1F / / AG .

---------------------------------3 分

因为 F 为 AA1 中点,且侧面 ACC1 A1 为平行四边形 所以 G 为 CC1 中点,所以 (Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABC , 所以 AA1 ? AB , AA1 ? AC , 又 AB ? AC , 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? 2 ,则由 AB ? AC ? AA 1 可得 ----------------------------------5 分

CG 1 ? .------------------------4 分 CC1 2

C (2,0,0), B(0,2,0), C1 (2,0,2), A1 (0,0,2) -----------------------------6 分
因为 E , G 分别是 BC, CC1 的中点, 所以 E (1,1,0), G (2,0,1) . -----------------------------7 分

??? ? ???? EG ? CA1 ? (1, ?1,1) ? (?2,0,2) ? 0 .--------------------------------8 分
所以 EG ? CA 1, 所以 EG ? AC 1 . --------------------------------9 分

??? ?

????

(Ⅲ)设平面 AEG 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ??? ? ? ? n ? AE ? 0, ? x ? y ? 0, 即? --------------------------10 分 ? ???? 2 x ? z ? 0. n ? AG ? 0, ? ? ? 令 x ? 1 ,则 y ? ?1, z ? ?2 ,所以 n ? (1, ?1, ?2) .--------------------------11 分 由已知可得平面 A1 AG 的法向量 m ? (0,1,0) -------------------------------11 分 所以 cos ? n, m ??

n?m 6 --------------------------------13 分 ?? | n |?| m | 6

由题意知二面角 A1 ? AG ? E 为钝角, 所以二面角 A1 ? AG ? E 的余弦值为 ? 16.解: (Ⅰ)设 A 车在星期 i 出车的事件为 Ai , B 车在星期 i 出车的事件为 Bi , i ? 1, 2,3, 4,5 由已知可得 P( Ai ) ? 0.6, P( Bi ) ? 0.5

6 .--------------------------------14 分 6

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为 C ,-------------------------------1 分 因为 A, B 两车是否出车相互独立,且事件 A 1B 1, A 1B 1 互斥 ----------------2 分 所以 P(C) ? P( A 1B 1?A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1B 1 ) ? P( A 1 ) P( B 1 ) ? P( A 1 ) P( B1 )

? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 --------------------------4 分 ? 0.5 所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为 0.5 . --------------------------5 分 {答题与设事件都没有扣 1 分,有一个不扣分}
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3 ----------------------------6 分

P( X ? 0) ? P( A1 B1 ) P( A2 ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.08 P( X ? 1) ? P(C)P( A2 ) ? P( A1 B1 )P( A2 ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.32 P( X ? 2) ? P( A1B1 )P( A2 ) ? P(C)P( A2 ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.42
P( X ? 3) ? P( A1B1 ) P( A2 ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.18 ----------------------------10 分
所以 X 的的分布列为 0 X 0.08 P

1 0.32

2 0.42

3 0.18

--------------11 分 E ( X ) ? 0 ? 0.08 ? 1? 0.32 ? 2 ? 0.42 ? 3 ? 0.18 ? 1.7 -------------------------------13 分 18.解: (Ⅰ)当 a ?

π π 时, f ( x) ? ( x ? )sin x ? cos x, x ? (0, ? ) 2 2
--------------------------------1 分 --------------------------------------2 分

π f '( x) ? ( x ? )cos x 2 π 由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 f ( x), f '( x) 的情况如下

x
x? π 2 cos x f '( x ) f ( x)

π (0, ) 2

π 2
0 0 0

π ( , π) 2

?

?
? ?

?
?
?

? --------------------------------------------------4 分
---------------------------------------------------5 分

因为 f (0) ? 1 , f ( π) ? ?1 , 所以函数 f ( x) 的值域为 ( ?1,1) . (Ⅱ) f '( x) ? ( x ? a)cos x ,

①当

π ? a ? π 时, f ( x), f '( x) 的情况如下 2 π π π x (0, ) ( , a) 2 2 2 ? ? x?a ? cos x ? 0 ? f '( x ) ? 0 f ( x) ? ? π 2

a
0 0

( a , π)

?
? ?

? -------------------------------------------------9 分

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , a) ,单调减区间为 (0, ) 和 ( a, π) ②当 a ? π 时, f ( x), f '( x) 的情况如下

π 2

x
x ?a
cos x f '( x ) f ( x)

π (0, ) 2 ?

π 2
0 0

?
?
?

π ( , π) 2 ? ?

?

? ------------------------------------------------13 分 π π 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( , π) ,单调减区间为 (0, ) . 2 2 19.解:
(Ⅰ)由已知可设椭圆 G 的方程为: 由e ?

x2 y2 ? ? 1( a ? 1) .-------------------------------1 分 a2 1

a2 ? 1 1 2 ? ,-----------------------------------------------------2 分 ,可得 e 2 ? a2 2 2 解得 a 2 ? 2 , ----------------------------------------------3 分 2 2 x y ? 1. 所以椭圆的标准方程为 ? ------------------------------------------4 分 2 1 (Ⅱ)法一:
设 C ( x0 , y0 ), 且 x0 ? 0 ,则 D(? x0 , y0 ) . 因为 A(0,1), B(0, ?1) , 所以直线 AC 的方程为 y ? ----------------------------------------5 分

y0 ? 1 x ?1. x0

----------------------------------------6 分

令 y ? 0 ,得 xM ?

? x0 ? x0 ,0) . ------------------------------------7 分 ,所以 M ( y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1 ? x0 x ? 1 ,求得 N ( ,0) .-----------------------8 分 y0 ? 1 ? x0

同理直线 BD 的方程为 y ?

???? ? ???? x ? x0 AM ? ( 0 , ?1), AN ? ( , ?1), 1 ? y0 1 ? y0

-----------------------------------------9 分

???? ? ???? ? x0 2 所以 AM ? AN ? ? 1 , --------------------------------------10 分 1 ? y0 2
由 C ( x0 , y0 ) 在椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 上,所以 x0 2 ? 2(1 ? y0 2 ) ,-------------------11 分 2
-----------------------------13 分

???? ? ???? 所以 AM ? AN ? ?1 ? 0 ,

所以 ?MAN ? 90? , 所以,以线段 MN 为直径的圆不过点 A .------------------------------14 分 法二:因为 C , D 关于 y 轴对称,且 B 在 y 轴上 所以 ?CBA ? ?DBA . ------------------------------------------5 分 因为 N 在 x 轴上,又 A(0,1), B(0, ?1) 关于 x 轴对称 所以 ?NAB ? ?NBA ? ?CBA , 所以 BC / / AN , 所以 ?NAC ? 180? ? ?ACB , ------------------------------------------6 分 -------------------------------------------7 分 ------------------------------------------8 分

设 C ( x0 , y0 ), 且 x0 ? 0 ,则 x0 2 ? 2(1 ? y0 2 ) . ----------------------------------------9 分 因为 CA ? CB ? ( x0 , y0 ? 1)( x0 , y0 ? 1) ? x02 ? ( y02 ? 1) ? 所以 ?ACB ? 90? , 所以 ?NAC ? 90? , 所以,以线段 MN 为直径的圆不过点 A .

??? ? ??? ?

3 2 x0 ? 0 ,----------------11 分 2

-----------------------------------12 分 ----------------------------------13 分 -------------------------------14 分

法三:设直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 ,则 M (? ,0) , ---------------------------------5 分

1 k

? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 化简得到 x2 ? 2(kx ? 1)2 ? 2 ? 0 , ? y ? kx ? 1, ?
所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ?

?4k , -----------------------------6 分 2k 2 ? 1

?4k ?2k 2 ? 1 ? 1 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ?4 k ?2 k 2 ? 1 , ), 所以 C ( 2 2k ? 1 2k 2 ? 1
所以 y2 ? kx2 ? 1 ? k 因为 C , D 关于 y 轴对称,所以 D (

----------------------------7 分

4k ?2 k 2 ? 1 , ) .----------------------------8 分 2 2k ? 1 2k 2 ? 1

?2k 2 ? 1 ?1 2 1 所以直线 BD 的方程为 y ? 2k ? 1 x ? 1 ,即 y ? x ? 1 .------------------10 分 4k 2k 2k 2 ? 1 令 y ? 0 ,得到 x ? 2k ,所以 N (2k ,0) . --------------------11 分 ???? ? ???? 1 ----------------------12 分 AM ? AN ? (? , ?1) ? (2k , ?1) ? ?1 ? 0 , k 所以 ?MAN ? 90? , ----------------------------------13 分 所以,以线段 MN 为直径的圆恒过 (0, 2) 和 (0, ?2) 两点.--------------------------14 分 ???? ???? {法 4 :转化为文科题做,考查向量 AC ? AN 的取值}
20.解: (Ⅰ) d1 ? 10 , d 2 ? 7 , d 2014 ? 2 ---------------------------3 分 (Ⅱ)法一: ①当 d ? 2 时,则 (a, b, c) ? (a, a ? 1, a ? 2) 所以 f1 (a, a ? 1, a ? 2) ? (a ? 1, a ? 2, a) , d1 ? a ? 2 ? a ? 2 , 由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数 a ? 2 变为最小数 a ,最小数 a 和次 小数 a ? 1 分别变为次小数 a ? 1 和最大数 a ? 2 ,所以数组的极差不会改变. 所以,当 d ? 2 时, dn ? d (n ? 1,2,3,?) 恒成立. ②当 d ? 3 时,则 f1 (a, b, c) ? (a ? 1, b ? 1, c ? 2) 所以 d1 ? b ? 1 ? (a ? 1) ? b ? a ? c ? a ? d 或 d1 ? c ? 2 ? (a ? 1) ? d ? 3 所以总有 d1 ? d . 综上讨论,满足 dn ? d (n ? 1,2,3,?) 的 d 的取值仅能是 2.---------------------8 分 法二: 因为 a ? b ? c ,所以数组 ( a, b, c) 的极差 d ? c ? a ? 2 所以 f1 (a, b, c) ? (a ? 1, b ? 1, c ? 2) , 若 c ? 2 为最大数,则 d1 ? c ? 2 ? (a ? 1) ? c ? a ? 3 ? d 若 b ? 1 ? c ? 2 ? a ? 1 ,则 d1 ? (b ? 1) ? (a ? 1) ? b ? a ? c ? a ? d 若 b ? 1 ? a ? 1 ? c ? 2 ,则 d1 ? (b ? 1) ? (c ? 2) ? b ? c ? 3 , 当 b ? c ? 3 ? d 时,可得 b ? c ? 3 ? 2 ,即 b ? 1 ? c 由 b ? c 可得 b ? 1 ? c 所以 b ? 1 ? c 将 c ? b ? 1 代入 b ? c ? 3 ? c ? a 得 b ? a ? 1

所以当 (a, b, c) ? (a, a ? 1, a ? 2) 时, dn ? 2 ( n ? 1, 2,3,? ) 由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数 a ? 2 变为最小数 a ,最小数 a 和次小 数 a ? 1 分别变为次小数 a ? 1 和最大数 a ? 2 ,所以数组的极差不会改变. 所以满足 dn ? d (n ? 1,2,3,?) 的 d 的取值仅能是 2. (Ⅲ)因为 a , b, c 是以 4 为公比的正整数等比数列的三项, 所以 a , b, c 是形如 m ? 4k (其中 m ? N* )的数,
1 k ?1 k ?1 又因为 4k ? (3 ? 1)k ? 3k ? Ck 3 ? ? ? Ck 3 ?1

---------------------8 分

所以 a , b, c 中每两个数的差都是 3 的倍数. 所以 ( a, b, c) 的极差 d0 是 3 的倍数.------------------------------------------------9 分 法 1:设 fi (a, b, c) ? (ai , bi , ci ) ,不妨设 a ? b ? c , 依据操作 f 的规则,当在三元数组 fi (a, b, c) ( i ? 1, 2,3,? , x , x ? N )中,总满足 ci 是唯一最大数, ai 是最小数时,一定有 a ? x ? b ? x ? c ? 2 x ,解得 x ? 所以,当 i ? 2,3,?,

c ?b . 3

c ?b ? 1 时, di ? ci ? ai ? (ci ?1 ? 2) ? (ai ?1 ? 1) ? di ?1 ? 3 . 3

f c ?b (a, b, c) ? (
3

3a ? c ? b c ? 2b c ? 2b , , ) , d c ?b ? b ? a 3 3 3 3

c ?b c ?b c ?b , ? 1,?, ? y ,y ? N ) 3 3 3 3a ? c ? b c ? 2b 中,总满足 ci ? bi 是最大数, ai 是最小数时,一定有 ? 2y ? ? y ,解得 3 3 b?a . y? 3 c ?b c ?b c?a 所以, 当i ? , ? 1,?, ? 1 时,di ? ci ? ai ? (ci ?1 ? 1) ? (ai ?1 ? 2) ? di ?1 ? 3 . 3 3 3
依据操作 f 的规则, 当在三元数组 fi (a, b, c) (i ?

f c ?a (a, b, c) ? (
3

a?b?c a?b?c a?b?c , , ) , d c?a ? 0 3 3 3 3

所以存在 n ?

c?a ,满足 f n (a, b, c) 的极差 dn ? 0 .--------------------------------13 分 3

法 2:设 fi (a, b, c) ? (ai , bi , ci ) ,则 ①当 (ai , bi , ci ) 中有唯一最大数时,不妨设 ai ? bi ? ci ,则

ai ?1 ? ai ? 1, bi ?1 ? bi ? 1, ci ?1 ? ci ? 2 ,

所以 bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai , ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3, ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi ? 3 所以, 若 bi ? ai , ci ? ai , ci ? bi 是 3 的倍数, 则 bi ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? bi ?1 是 3 的倍数. 所以 bi ? 3 ? ci ,则 d i ? 3 , ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi ? 3 ? 0 , 所以 ai ?1 ? bi ?1 ? ci ?1 所以 di ?1 ? ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3 ? di ? 3 -------------------------------------------11 分 ②当 (ai , bi , ci ) 中的最大数有两个时,不妨设 ai ? bi ? ci ,则

ai ?1 ? ai ? 2, bi ?1 ? bi ? 1, ci ?1 ? ci ? 1,
所以 bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3, ci ?1 ? ai ?1 ? ci ? ai ? 3, ci ?1 ? bi ?1 ? ci ? bi , 所以, 若 bi ? ai , ci ? ai , ci ? bi 是 3 的倍数, 则 bi ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? ai ?1 , ci ?1 ? bi ?1 是 3 的倍数. 所以 ai ? 3 ? bi ,则 d i ? 3 , bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3 ? 0 所以 di ?1 ? bi ?1 ? ai ?1 ? bi ? ai ? 3 ? di ? 3 . 所以当 d i ? 3 时,数列 {di } 是公差为 3 的等差数列.------------------------------12 分 当 d i ? 3 时,由上述分析可得 di ?1 ? 0 ,此时 ai ?1 ? bi ?1 ? ci ?1 ? 所以存在 n ?

a?b?c 3

d ,满足 f n (a, b, c) 的极差 dn ? 0 .----------------------------------13 分 3


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