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黑龙江省哈尔滨一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年黑龙江省哈尔滨一中高一(上)期中数学试卷
一.选择题(每道题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 A={x∈N|﹣4<x﹣1<4,且 x≠1}的真子集的个数为() A.32 B.31 C.16 D.15. 2. (5 分)下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是() A.y=( )
2

B.y=

C.y=

D.y=

3. (5 分)下列关系式中正确的是() A. B.

C.

D.

4. (5 分)设函数 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,f(x)=2 ﹣3,则 f(﹣2)等于() A.1 B. C . ﹣1 D.

x

5. (5 分)函数 y=

() B. 是偶函数,它在 R 上是减函数 D.是偶函数,它在 R 上是增函数

A.是奇函数,它在 R 上是减函数 C. 是奇函数,它在 R 上是增函数
x

6. (5 分)已知函数 f(x)=a (0<a<1) ,对于下列命题: ①若 x>0,则 0<f(x)<1;②若 x<1,则 f(x)>a;③若 f(x1)>f(x2) ,则 x1<x2 其中正确的命题() A.有 3 个 B. 有 2 个 C. 有 1 个 D.不存在 7. (5 分)函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣2,+∞)上递减,则实数 a 的取值范围是 () A.(﹣∞,﹣3] B. [﹣3,0] C.[﹣3,0) D.[﹣2,0] 8. (5 分)函数 f(x)=ax +bx+1(x∈R) ,若 f(﹣m)=2,则 f(m)的值为() A.3 B. 0 C . ﹣1 D.﹣2 9. (5 分)方程 2 +x =3 的实数解的个数为() A.2 B. 3 C. 1
﹣x

2

3

2

D.4

10. (5 分)已知函数 f(x)=x+x ,x1,x2,x3∈R,x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,那么 f (x1)+f(x2)+f(x3)的值() A.一定大于 0 B.一定小于 0 C.等于 0 D.正负都有可能

3

11. (5 分)函数 y=

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分) 设奇函数 ( f x) 在 (0, +∞) 上为增函数, 且( f 1) =0, 则不等式 的解集为() A.(﹣1,0)∪(1,+∞) 1)∪(1,+∞) D.

B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) (﹣1,0)∪(0,1)

C. (﹣∞, ﹣

二.填空题(每道题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= 的值域为.

14. (5 分)求

的单调递增区间为.

15. (5 分)设函数 f(x)=

,则满足 f(x)= 的 x 的值为.

16. (5 分)对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定义函 数 f(x)=x﹣[x],则下列命题中正确的是(填题号) ①函数 f(x)的最大值为 1; ②函数 f(x)的最小值为 0; ③函数 ④函数 f(x)是增函数. 有无数个零点;

三.解答题(共 70 分) 17. (10 分)不用计算器求下列各式的值.

(1)

(2)log3

+lg25+lg4.

18. (12 分)已知集合 A={x|x +x﹣2≤0},B={x|2<x+1≤4},设集合 C={x|x +bx+c>0},且满 足(A∪B)∩C=?, (A∪B)∪C=R,求实数 b,c 的值. 19. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2 (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≤ .
x+1

2

2

20. (12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值;并判定函数 f(x)单调性(不必证明) . 2 2 (2)若对于任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=2 +2
x ax+b

,且 f(1)= ,f(2)=



(1)求 a、b; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)试判断函数在(﹣∞,0]上的单调性,并证明. 22. (12 分)定义在 R 上的函数 y=f(x) ,f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、 b∈R,有 f(a+b)=f(a)?f(b) . (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; 2 (4)若 f(x)?f(2x﹣x )>1,求 x 的取值范围.

2014-2015 学年黑龙江省哈尔滨一中高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每道题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 A={x∈N|﹣4<x﹣1<4,且 x≠1}的真子集的个数为()

A.32

B.31

C.16

D.15.

考点: 子集与真子集. 专题: 集合. n 分析: 利用含有 n 个元素的集合的真子集的个数为 2 ﹣1 即可得出. 4 解答: 解: 集合 A={x∈N|﹣4<x﹣1<4, 且 x≠1}={0, 2, 3, 4}的真子集的个数为 2 ﹣1=15. 故选:D. 点评: 本题考查了含有 n 个元素的集合的真子集的个数为 2 ﹣1,属于基础题. 2. (5 分)下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是() A.y=( )
2 n

B.y=

C.y=

D.y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 证明题. 分析: 逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系, 只有这三者完全相同时,两个函数才是同一个函数. 解答: 解:选项 A 中的函数的定义域与已知函数不同,故排除选项 A; 选项 B 中的函数与已知函数具有相同的定义域、 值域和对应关系,故是同一个函数, 故选项 B 满足条件; 选项 C 中的函数与已知函数的值域不同,故不是同一个函数,故排除选项 C; 选项 D 中的函数与已知函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除选项 D; 故选 B. 点评: 本题考查函数的三要素:定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域、值域、 对应关系完全相同时,才是同一个函数. 3. (5 分)下列关系式中正确的是() A. B.

C.

D.

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 应用题. 分析: 根据 y= 在(0,+∞)上是增函数 及 y= 在(0,+∞)上是减函数这两

个结论,即可得到答案. 解答: 解:由于 y= 在(0,+∞)上是增函数,故 .

由于 y=

在(0,+∞)上是减函数,故

,故有

, 故选 D. 点评: 本题考查指数函数和幂函数的单调性,利用了 y= y= 在(0,+∞)上是减函数这两个结论.
x

在(0,+∞)上是增函数 及

4. (5 分)设函数 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,f(x)=2 ﹣3,则 f(﹣2)等于() A.1 B. C . ﹣1 D.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. x 分析: 由题意可得:f(﹣2)=f(2) ,又因为当 x>0 时,f(x)=2 ﹣3,进而得到答案. 解答: 解:由题意可得:函数 f(x)是 R 上的偶函数, 所以 f(﹣2)=f(2) , x 又因为当 x>0 时,f(x)=2 ﹣3, 所以 f(﹣2)=f(2)=4﹣3=1. 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,本题解题的关键是利用函数的对称性,本题是一个基 础题.

5. (5 分)函数 y=

() B. 是偶函数,它在 R 上是减函数 D.是偶函数,它在 R 上是增函数

A.是奇函数,它在 R 上是减函数 C. 是奇函数,它在 R 上是增函数

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 求出函数的定义域为 R,再计算 f(﹣x) ,与 f(x)比较,即可得到奇偶性,再由指 数函数的单调性,结合单调性的性质,即可得到所求的单调性. 解答: 解:函数的定义域为 R,f(﹣x)= 则 f(x)为奇函数, e 在 R 上递增,e 则 C 正确. 故选 C.
x
﹣x

=﹣f(x) ,

在 R 上递减,则函数 y 在 R 上递增,

点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断,注意运用定义和常见函数的单调性,考查 运算能力,属于基础题. 6. (5 分)已知函数 f(x)=a (0<a<1) ,对于下列命题: ①若 x>0,则 0<f(x)<1;②若 x<1,则 f(x)>a;③若 f(x1)>f(x2) ,则 x1<x2 其中正确的命题() A.有 3 个 B. 有 2 个 C. 有 1 个 D.不存在 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 利用指数式 f(x)=a (0<a<1)单调递减的性质,对①、②、③三个选项逐一分 析判断即可得到答案. 解答: 解:∵0<a<1, x ∴f(x)=a (0<a<1)为减函数, x 0 对于①,若 x>0,则 0<f(x)=a <a =1,故①正确; x 1 对于②,若 x<1,则 a >a ,即 f(x)>a,故②正确; 对于③,若 f(x1)>f(x2) ,即 > ,则 x1<x2,故③正确;
x

故选:A. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查指数函数的单调性,基本知识的考查. 7. (5 分)函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣2,+∞)上递减,则实数 a 的取值范围是 () A.(﹣∞,﹣3] B.[﹣3,0] C.[﹣3,0) D.[﹣2,0] 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于函数解析式的二次项系数 a 不确定,故要分 a=0,a>0 和 a<0 时,三种情况结 合二次函数和一次函数的图象和性质进行分析,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣6x+1, ∵﹣6<0,故 f(x)在 R 上单调递减 满足在区间[﹣2,+∞)上递减, 当 a>0 时,二次函数在对称轴右侧递增,不可能在区间[﹣2,+∞)上递减, 当 a<0 时,二次函数在对称轴右侧递减, 2 若函数 f(x)=ax +2(a﹣3)x+1 在区间[﹣2,+∞)上递减, 仅须 ,解得﹣3≤a<0
2

综上满足条件的实数 a 的取值范围是[﹣3,0] 故选 B 点评: 本题考查的知识点是一次函数的图象和性质,二次函数的图象和性质,其中易忽略 a=0 时的情况,而错解为 C 8. (5 分)函数 f(x)=ax +bx+1(x∈R) ,若 f(﹣m)=2,则 f(m)的值为() A.3 B. 0 C . ﹣1 D.﹣2
3

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 3 3 3 分析: 由已知得 ( f ﹣m) =﹣am ﹣bm+1=2, 从而 am +bm=﹣1, 由此求出 ( f m) =am +bm+1= ﹣1+1=0. 3 解答: 解:∵函数 f(x)=ax +bx+1(x∈R) ,f(﹣m)=2, 3 ∴f(﹣m)=﹣am ﹣bm+1=2, 3 解得 am +bm=﹣1, 3 ∴f(m)=am +bm+1=﹣1+1=0. 故选:B. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 9. (5 分)方程 2 +x =3 的实数解的个数为() A.2 B. 3 C. 1 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 数形结合;转化思想. 分析: 利用 方程 2 +x =3 的实数解的个数就等于函数 y=2 数. 解答: 解:如图:考查函数 y=2 这两个函数的图象有两个交点,
﹣x ﹣x ﹣x ﹣x

2

D.4

2

﹣x

与 y=3﹣x 的图象交点的个

2

与 y=3﹣x 的图象特征知,

2

故方程 2 +x =3 的实数解的个数为 2, 故选 A.

2

点评: 本题考查方程根的个数判断方法,体现了等价转化的数学思想. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x+x ,x1,x2,x3∈R,x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0,那么 f (x1)+f(x2)+f(x3)的值() A.一定大于 0 B.一定小于 0 C.等于 0 D.正负都有可能 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 探究型.
3

分析: 由题意函数 f(x)=x+x 是奇函数也是增函数,故可由此性质对 f(x1)+f(x2)+f (x3)的值进行探究,选出正确选项 3 解答: 解:由题意函数 f(x)=x+x 是奇函数也是增函数 又 x1,x2,x3∈R,x1+x2<0,x2+x3<0,x3+x1<0 ∴x1<﹣x2,x2<﹣x3,x3<﹣x1, 故有 f(x1)<f(﹣x2)=﹣f(x2) ,f(x2)<f(﹣x3)=﹣f(x3) ,f(x3)<f(x1)=﹣f(x1) , 三式相加得 f(x1)+f(x2)+f(x3)<﹣[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即 f(x1)+f(x2)+f(x3) <0 故选 B 点评: 本题考查奇偶性与单调性的综合, 解题的关键是利用函数的性质构造出 f (x1) +f (x2) +f(x3)<﹣[f(x1)+f(x2)+f(x3)],从而证得 f(x1)+f(x2)+f(x3)<0,本题考查了 推理判断的能力,观察的能力,是一个比较抽象的题,

3

11. (5 分)函数 y=

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据 x 与零的关系对解析式进行化简, 并用分段函数表示, 根据 a 的范围和指数函 数的图形选出答案. 解答: 解:当 x>0 时,y= 当 x<0 时,y=
x

=a ,因为 0<a<1,所以函数为减函数,

x

=﹣a ,因为 0<a<1,所以函数为增函数,

只有 D 符合, 故选:D 点评: 本题考查函数的图象,函数是高中数学的主干知识,是高考的重点和热点,属于基 础题.

12. (5 分) 设奇函数 ( f x) 在 (0, +∞) 上为增函数, 且( f 1) =0, 则不等式 的解集为() A.(﹣1,0)∪(1,+∞) 1)∪(1,+∞) D. 考点: 奇函数. 专题: 压轴题. 分析: 首先利用奇函数定义与 得出 x 与 f(x)异号,

B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) (﹣1,0)∪(0,1)

C. (﹣∞, ﹣

然后由奇函数定义求出 f(﹣1)=﹣f(1)=0, 最后结合 f(x)的单调性解出答案. 解答: 解:由奇函数 f(x)可知 ,即 x 与 f(x)异号,

而 f(1)=0,则 f(﹣1)=﹣f(1)=0, 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,则奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数, 当 x>0 时,f(x)<0=f(1) ; 当 x<0 时,f(x)>0=f(﹣1) , 所以 0<x<1 或﹣1<x<0. 故选 D. 点评: 本题综合考查奇函数定义与它的单调性. 二.填空题(每道题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= 的值域为(﹣∞,﹣1]∪(1,+∞) .

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=x ,则 t≥0,且 t≠1,原函数变形为 y= 象,纵坐标的范围即为函数的值域. 解答: 解:函数 f(x)= 令 t=x ,则 t≥0,且 t≠1, 原函数为 y= =1+ ,画此函数的图象如下图:
2 2

=1+

,画此函数的图象,观察图



观察图象,纵坐标的范围即为函数的值域: 值域为: (﹣∞,﹣1]∪(1,+∞) 点评: 本题主要考查求函数值域的方法,换元法是常用的方法,结合图象求解函数的定义 域及值域的关键:观察图象,函数图象的横、纵坐标的范围即为函数的定义域和值域.

14. (5 分)求

的单调递增区间为[1,+∞) .

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=﹣x +2x+5,则 y= 可得结论. 解答: 解:令 t=﹣x +2x+5=﹣(x﹣1) +6,则 y=
2 2 2

,本题即求函数 t 的减区间,再利用二次函数的性质

,故本题即求函数 t 的减区间.

再利用二次函数的性质可得函数 t 的减区间为[1,+∞) , 故答案为:[1,+∞) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题.

15. (5 分)设函数 f(x)=

,则满足 f(x)= 的 x 的值为 .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由已知中函数 f(x)=

,分 x<1 时和当 x≥1 时两种情况,讨论满足 f

(x)= 的 x 的值,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:当 x<1 时,由 f(x)=2 = ,解得 x=2(舍去) , 当 x≥1 时,由 f(x)= = ,解得 x= ,
﹣x

综上所述,满足 f(x)= 的 x 的值为 , 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是函数的值,分段函数,分段函数分类讨论,是解答此类问题的 一般方法. 16. (5 分)对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定义函 数 f(x)=x﹣[x],则下列命题中正确的是②③(填题号) ①函数 f(x)的最大值为 1; ②函数 f(x)的最小值为 0;

③函数 ④函数 f(x)是增函数.

有无数个零点;

考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 本题考查的是取整函数问题.在解答时要先充分理解[x]的含义,从而可知针对于选 项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可,注意反例的应用. 解答: 解:∵函数 f(x)=x﹣[x], ∴函数 f(x)的最大值小于 1,故①不正确; 函数 f(x)的最小值为 0,故②正确; 函数每隔一个单位重复一次,所以函数 有无数个零点,故③正确;

函数 f(x)有增有减,故④不正确. 故答案为:②③. 点评: 本题考查的是分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题.在解答的过程当中充 分体现了分类讨论的思想、特值的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会反思. 三.解答题(共 70 分) 17. (10 分)不用计算器求下列各式的值. (1)

(2)log3

+lg25+lg4.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数的运算性质(a ) =a ;a
n m n mn
﹣m

=

;a =1,计算可得答案;

0

(2)利用对数的运算性质 logam =nlogam;lgm+lgn=lgmn,计算可得答案. 解答: 解: (1)原式= ﹣1= ; (2)原式= log327﹣1+2lg5+2lg2= ﹣1+2= . 点评: 本题考查了指数的运算性质与对数的运算性质,计算要细心. 18. (12 分)已知集合 A={x|x +x﹣2≤0},B={x|2<x+1≤4},设集合 C={x|x +bx+c>0},且满 足(A∪B)∩C=?, (A∪B)∪C=R,求实数 b,c 的值. 考点: 交、并、补集的混合运算.
2 2

﹣1﹣

+

= ﹣1﹣

+ =

专题: 计算题. 分析: 由题意求出 A∪B,利用(A∪B)∩C=?, (A∪B)∪C=R,推出 C={x|x>3 或 x< ﹣2},然后解出实数 b,c 的值. 解答: 解:因为 A={x|﹣2≤x≤1},B={x|1<x≤3}, 所以 A∪B={x|﹣2≤x≤3}, 又因为(A∪B)∩C=?, (A∪B)∪C=R, 所以 C={x|x>3 或 x<﹣2}, 则不等式 x +bx+c>0 的解集为{x|x>3 或 x<﹣2}, 2 即方程 x +bx+c=0 的两根分别为﹣2 和 3, 则 b=﹣(3﹣2)=﹣1,c=3×(﹣2)=﹣6. 点评: 本题是基础题,考查集合的基本运算,交集、并集、补集的理解,考查计算能力, 送分题. 19. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2 (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≤ .
x+1 2

考点: 指、对数不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)首先,当 x=0 时,f(0)=0,然后,设 x<0,则﹣x>0,然后,借助于函数为 奇函数,进行求解即可. (2)根据(1)中函数的解析式,分当 x>0 时,当 x=0 时和当 x<0 时三种情况,讨论不等 式 f(x)≤ 成立的 x 的取值范围,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以,当 x=0 时,f(0)=0, 设 x<0,则﹣x>0, ∴f(﹣x)=2 , ∵f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣2
﹣x+1 ﹣x+1







(2)当 x>0 时,2

x+1

>2 恒成立,不满足不等式 f(x)≤ .

当 x=0 时,f(x)=0,满足不等式 f(x)≤ . 当 x<0 时,﹣2
﹣x+1

<﹣2 恒成立,满足不等式 f(x)≤ .

综上所述,不等式 f(x)≤ 的解集为: (﹣∞,0]

点评: 本题重点考查了函数的奇偶性与函数的解析式相结合知识点,涉及到指数的运算性 质,属于中档题,难度中等.

20. (12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=

是奇函数.

(1)求 a,b 的值;并判定函数 f(x)单调性(不必证明) . (2)若对于任意的 t∈R,不等式 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意知 f(0)=0 求出 b,再由奇函数的定义求出 b; (2)利用奇函数的性质转化为一元二次不等式,借助与一元二次函数的关系进行判断. 解答: 解:∵定义域为 R 的函数 f(x)= 是奇函数,
2 2







化简,得

解得, ∴a 的值是 2,b 的值是 1. ∴f(x)是 R 上的减函数; 2 2 2 2 (3)由 f(t ﹣2t)+f(2t ﹣k)<0,得 f(t ﹣2t)<﹣f(2t ﹣k) , 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴f(t ﹣2t)<f(k﹣2t ) , 2 2 由(2)知,f(x)是减函数,∴原问题转化为 t ﹣2t>k﹣2t , 2 即 3t ﹣2t﹣k>0 对任意 t∈R 恒成立, ∴△=4+12k<0,解得 k<﹣ , 所以实数 k 的取值范围是:k<﹣ , 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题,定义是解决单调性问题的基 本方法,而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决.

21. (12 分)已知函数 f(x)=2 +2

x

ax+b

,且 f(1)= ,f(2)=



(1)求 a、b; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)试判断函数在(﹣∞,0]上的单调性,并证明. 考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性 的判断. 分析: (1)已知条件代入得到关于 a,b 的方程组,两式相除可得 a,把 a 代入其中一式可 得 b; (2)首先判断函数的定义域是否关于原点对称,然后判断 f(﹣x)与 f(x)的关系; (3)利用的单调性定义来证明:设元,作差,变形,判号,下结论.

解答: 解: (1)由已知得:
x
﹣x

,解得


﹣x ﹣(﹣x

(2)由(1)知:f(x)=2 +2 .任取 x∈R,则 f(﹣x)=2 +2 为偶函数. (3)函数 f(x)在(﹣∞,0]上为减函数. 证明:设 x1、x2∈(﹣∞,0],且 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=( )﹣( )=(

)=f(x) ,所以 f(x)

)+(



=

∵x1<x2<0,∴0<



<1,∴

>0, ,∴



<0, ,∴

﹣1<0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , ∴函数 f(x)在(﹣∞,0]上为减函数. 点评: 本题考查了待定系数法求函数解析式,函数的奇偶性、单调性等,注意单调性证明 变形要彻底,奇偶性的证明首先判断函数的定义域是否关开原点对称. 22. (12 分)定义在 R 上的函数 y=f(x) ,f(0)≠0,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、 b∈R,有 f(a+b)=f(a)?f(b) . (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; 2 (4)若 f(x)?f(2x﹣x )>1,求 x 的取值范围. 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)利用赋值法解决,令 x=y=0 即得; (2)利用条件:“当 x>0 时,f(x)>1”,只须证明当 x≤0 时,f(x)>0 即可;

(3)利用单调函数的定义证明,设 x1<x2,将 f(x2)写成 f[(x2﹣x1)+x1]的形式后展开, 结合(2)的结论即可证得; (4)由 f(x)?f(2x﹣x )>f(0)得 f(3x﹣x )>f(0) .结合 f(x)的单调性去掉符号“f” 后,转化成一元二次不等式解决即可. 2 解答: (1)证明:令 a=b=0,则 f(0)=f (0) . 又 f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)证明:当 x≤0 时,﹣x>0, ∴f(0)=f(x)?f(﹣x)=1. ∴f(﹣x)= >0.又 x>0 时 f(x)≥1>0,
2 2

∴x∈R 时,恒有 f(x)>0. (3)证明:设 x1<x2,则 x2﹣x1>0. ∴f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)?f(x1) . ∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1. 又 f(x1)>0,∴f(x2﹣x1)?f(x1)>f(x1) . ∴f(x2)>f(x1) .∴f(x)是 R 上的增函数. 2 (4)解:由 f(x)?f(2x﹣x )>1, 2 f(0)=1 得 f(3x﹣x )>f(0) . 又 f(x)是 R 上的增函数, 2 ∴3x﹣x >0, ∴0<x<3. 点评: 本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明.解本题的关键是灵活 应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]”是证明单调性的关键,这里体现了 向条件化归的策略.


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