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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第3讲 平 面 向 量选择、填空题型


第三讲
考点

平 面 向 量?选择、填空题型?
考情

1.对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法 平面向量的概念及线 则及其几何意义以及两个向量共线的条件,或以向量为载 性运算 体求参数的值,如2013年辽宁T3等. 2.对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重 平面向量基本定理及 以下两点: 坐标表示

(1)以平面向量的基本定理为基石,利用一组基底表 示相关向量;(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题,如 平面向量的数量积 2013年山东T 等. 15 3.数量积的运算是每年必考的内容,主要涉及:(1)向 量数量积的运算;(2)求向量的模;(3)求向量的夹角,如 平面向量的应用 2013年浙江T17等.

??? ? 1.(2013· 辽宁高考)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 AB
同方向的单位向量为
?3 4? A.?5,-5? ? ? ? 3 4? C.?-5,5? ? ? ?4 3? B.?5,-5? ? ? ? 4 3? D.?-5,5? ? ?

(

)

??? ? ??? ? 解析:由已知,得 AB =(3,-4),所以| AB |=5,因此与 ??? ? ? 4? 1 ??? ?3 AB 同方向的单位向量是5 AB =?5,-5?.
? ?

答案:A

2.(2013· 湖北高考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1), ? ??? ??? ? D(3,4),则向量 AB 在 CD 方向上的投影为 ( ) 3 15 3 2 3 15 B. 2 C.- 2 D.- 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析: AB =(2,1), CD =(5,5),向量 AB =(2,1)在 CD = ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? AB · ? ??? CD? = (5,5)上的投影为| AB |cos〈 AB , CD 〉=| AB |· ? ??? | AB || CD | ??? ??? ? ? CD AB · ??? = 15 =3 2. ? 2 5 2 | CD | 3 2 A. 2

答案:A

3.(2013· 浙江高考)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ π |x| ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为6,则|b|的最大值等于 ________.

|x| 解析:因为 |b| = |x| = 2 2 x +y + 3xy

|x| 2 = ?xe1+ye2? 1 = ? y ?2 ?y? 1+?x? + 3?x? ? ? ? ?

|x| = 2 2 x +y +2xy?e1·2? e 1
?y ? ?x+ ?

3?2 1 ? + 2? 4 ?

≤2,

y 3 |x| 当且仅当x=- 2 时取得等号,故|b|的最大值为2.

答案:2

??? ? ??? ? 4.(2013· 山东高考)已知向量 AB 与 AC 的夹角为120° ,且 ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? | AB |=3,| AC |=2.若 AP =λ AB + AC ,且 AP ⊥ BC ,则

实数λ的值为________. ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? BC 解析: BC = AC - AB ,由于 AP ⊥ BC ,所以 AP · =0, ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ??? ??? ? ? AC 即(λ AB + AC )·AC - AB )=-λ AB + AC +(λ-1) AB · (
? 1? 7 =-9λ+4+(λ-1)×3×2×?-2?=0,解得λ=12. ? ?

7 答案:12

5.(2013· 江苏高考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,
??? ? ??? ? ??? ? 1 2 AD= 2 AB,BE= 3 BC.若 DE =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2为实

数),则λ1+λ2的值为________.
? ??? ? ??? ??? 1 ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? 2 解析: DE = DB + BE = 2 AB + 3 ( BA + AC )=- 6 AB + 3 ??? ? 1 2 1 AC ,所以λ1=- ,λ2= ,即λ1+λ2= . 6 3 2

1 答案:2

1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯 一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理: 如果 e1, 2 是同一平面内的两个不 e 共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实 数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底.

2.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a∥b?a=λb(λ≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的三个性质 x2+y2. ??? ? (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |= (1)若a=(x,y),则|a|= a· a= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cos θ= x1x2+y1y2 a· b 2 |a||b|= x2+y2 x2+y2. 1 1 2

平面向量的概念及线性运算
[例1] (1)(2013· 广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a

的分解,有如下四个命题: ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; ②给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc; ③给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+ μc; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b和单位向量c,使a=λb+μc.

上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则 真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

(2)(2013· 合肥模拟)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD, ??? ? ???? ? ???? M,N分别为CD,BC的中点,若 AB =λ AM +μ AN ,则λ+μ= ________.

[自主解答] 时,易知④错.

(1)显然①②正确;对于③,当μ<|a|sin?a,b?时,不

存在符合题意的单位向量c和实数λ,③错;对于④,当λ=μ=1,|a|>2

? ? ???? ??? ??? ???? ??? ??? 1 ??? 3 ??? ? ? ? ? ? (2)依题意得 AM = AB + BC + CM = AB + BC - 4 AB = 4 AB + ??? ???? ??? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ???? BC , AN = AB + BN = AB + 2 BC ;又 AB =λ AM +μ AN ,于是有 ? ? ? ??? ? ? 1 ??? ? ?3 ? ??? ? ? ? μ? ??? ?3 ??? ? ??? ? ??? AB =λ ?4 AB + BC ? +μ ? AB +2 BC ? = ?4λ+μ? AB + ?λ+2? BC ;又 ? ? ? ? ? ? ? ?

?3λ+μ=1, ? ??? ??? ? ?4 AB 与 BC 不共线,因此有 ? μ ?λ+ =0, ? 2
4 以λ+μ=-λ=5.

4 由此解得λ=- 5 ,μ=-2λ,所

[答案]

(1)B

4 (2)5

——————————规律· 总结————————————
平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意 向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共 点时,才能得出三点共线. ??? ? ??? ? ??? ? (3) OA =λ OB +μ OC (λ,μ 为实数),若 A、B、C 三点 共线,则 λ+μ=1.

——————————————————————

1.在矩形ABCD中,AB=1,AD= 3,P为矩形内一点,且AP

? ??? ? ??? ? 3 ??? = 2 .若 AP =λ AB +μ AD (λ,μ∈R),则λ+ 3μ的最大值
为 3 A.2 6 B. 2 3+ 3 C. 4 ( 6+3 2 D. 4 )

??? 2 ? ??? ? ??? 2 ? 3? 2 2 ? 解析:据已知| AP | =(λ AB +μ AD ) ? ? ? =λ +3μ2, ? 2 ? ? ?
3 整理变形可得(λ+ 3μ) -2 3λμ=4,由均值不等式,可
2

得(λ+ 3μ)

2

?λ+ -2? ? 2 ?

3μ?2 3 6 ? ? ≤4,解得λ+ 3μ≤ 2 . ?

答案: B

2.在△ABC 中,∠A=60° ,∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D,已
? ??? 1 ??? ? ??? ? 知 AB=3,且 AD =3 AC +λ AB (λ∈R),则 AD 的长为(

)

A.1 C.2 3

B. 3 D.3

解析:如图所示,因为 B,D,C 三点共线, 1 2 所以 λ+3=1,即 λ=3.

??? 2 ??? ? ? 在 AB 上取一点 E 使 AE =3 AB ,在 AC 上取
? ? ??? 1 ??? ? ??? 1 ??? 2 ??? ??? ??? ? ? ? ? 一点 F 使 AF =3 AC ,由 AD =3 AC +3 AB = AF + AE ,可

知四边形 AEDF 为平行四边形, 又∠BAD=∠CAD=30° 所 , ??? 2 ??? ? ? 以?AEDF 为菱形.因为 AE =3 AB ,AB=3,所以菱形的边 AD DF 长 为 2. 在 △ ADF 中 , sin 120° sin 30° 所 以 AD = sin = , DF 120°sin 30° · =2 3. 答案:C

平面向量的数量积
[例 2] (1)(2013· 济南模拟)△ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? O,且 3 OA +4 OB +5 OC =0,则 OC · 的值为 ( ) AB 1 A.-5 6 6 C.-5 D.5 ???? ? ???? ???? ? ???? (2)(2013· 重庆高考)在平面上, AB1 ⊥ AB2 ,| OB1 |=| OB2 |=1, 1 B.5

??? ???? ???? ? ??? 1 ? ??? ? ? AP = AB1 + AB2 .若| OP |< ,则| OA |的取值范围是 2
? A.?0, ? ?

(
? D.? ? ? ? 7 ? , 2? 2 ?

)

5? ? 2? ?

? B.? ? ?

5 7? ? ,2? 2 ?

? C.? ? ?

? 5 ? , 2? 2 ?

(3)(2013· 浙江高考)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B ??? ??? ???? ???? ? ? 1 PC =4AB,且对于边AB上任一点P,恒有 PB · ≥ P0 B · 0C ,则 P ( A.∠ABC=90° C.AB=AC B.∠BAC=90° )

[自主解答]

D.AC=BC ??? ? ??? 2 ? ??? ? ??? ? (1)由已知得 4 OB =-3 OA -5 OC ?|4 OB | =

??? ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 3 OA -5 OC ) ,即 16=34+30 OA · ,解得 OA · =- ; OC OC (-3 5
??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? 4 OC 同理 3 OA =-4 OB -5 OC ,两边平方得 OB · =- 5 ,因此 ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 1 OB OC · = OC ·OB - OA )= OC · - OC · =- . OA ( AB 5

??? ? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? (2)∵ AB 1⊥ AB 2,∴ AB 1· 2=( OB 1- OA )·OB 2- OA )= ( AB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ??? 2 ? OB 1· 2- OB 1· - OA · 2+ OA =0,∴ OB 1· 2- OB OB OB OA ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ? OB 1· - OA · 2=- OA . OB OA ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∵ AP = AB 1+ AB 2,∴ OP - OA = OB 1- OA + OB 2- ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ,∴ OP = OB 1+ OB 2- OA . ??? ? ??? ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? OB ∵| OB 1|=| OB 2|=1,∴ OP =1+1+ OA +2( OB 1· 2- ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ? ??? 2 ? ??? 2 ? OB 1· - OB 2· )=2+ OA +2(- OA )=2- OA . OA OA ??? 1 ? ??? 2 1 ? ??? 2 1 ? ∵| OP |<2,∴0≤| OP |<4,∴0≤2- OA <4,

? ??? ? ? 7 ? 7 ??? 2 ? ∴4< OA ≤2,即| OA |∈? , 2?. ? ? 2 ?

(3)设AB=4,以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴 建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).又P0是边AB上一定

??? ? 1 点,P0B= 4 AB,所以P0(1,0).设C(a,b),P(x,0),∴ PB =(2- ??? ? ???? ???? x,0), PC =(a-x,b).∴ P0 B =(1,0), P0C =(a-1, ??? ??? ???? ???? ? ? PC b). PB · ≥ P0 B · 0C 恒成立?(2-x)· (a-x)≥a-1恒成立,即 P
x2-(2+a)x+a+1≥0恒成立.∴Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0恒 成立.∴a=0.即点C在线段AB的中垂线上,∴AC=BC.

[答案]

(1)A

(2)D

(3)D

互动探究
? ??? ??? ??? ? ? 在本例(1)中,若 OA + OB + CO =0,则∠BAC的大小是多少?

? ??? ??? ? ??? ? 解:由已知可得 OA + OB = OC ,由向量加法的平行四边形法

则可知四边形OACB是四条边均为外接圆半径R的平行四边 形,故△OAC为等边三角形,∠OAC=2∠BAC=60° ,所以∠ BAC=30° .

—————————规律· 总结——————————

解决数量积运算应注意三点 (1)a· b=0 未必有 a=0 或 b=0. (2)|a· b|≤|a|· |b|. (3)a· c)与(a· c 不一定相等. (b· b)·
————————————————————————

??? ? 3.如图所示,P 为△AOB 所在平面内一点,向量 OA ??? ? =a, OB =b,且 P 在线段 AB 的垂直平分线上, ??? ? 向量 OP =c.若|a|=3,|b|=2,则 c· (a-b)的值为

( A.5 B.3 5 C.2

) 3 D.2

??? ??? ??? ? ? ? 解析:设AB中点为D,c= OP = OD + DP ,所以c· (a-b)

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? =( OD + DP )· = OD · + DP · = OD · = 2 (a+ BA BA BA BA

1 2 5 2 b)· (a-b)=2(|a| -|b| )=2.

答案:C

??? 4.设G为△ABC的重心,若△ABC所在平面内一点P满足 PA + ??? ? ??? ??? ? |??? | AP 2 BP +2 CP =0,则 ? 的值等于________. | AG | ??? ??? ? 解析:取BC的中点D,由已知 PA +2 BP + ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ? 2 CP =0得 PA=2( PB + PC )=4 PD ,说明P,
A,D三点共线,即点P在BC边中线的延长线

??? ??? ? ??? ? 4 上,且| PA |=4| PD |.如图所示,故| AP |= 3 ??? ? ??? ? 2 ??? ??? ? ? | AP | 4 3 ? AG |= | AD |,因此 ??? = × =2. | AD |,| 3 | AG | 3 2 答案:2

5.向量a,b,c,d满足:|a|=1,|b|= 2 ,b在a方向上的投影为 1 (b-c)=0,|d-c|=1,则|d|的最大值为________. 2,(a-c)·
b· a 1 解析:由投影公式可得 |a| =b· 2 ,∴|b+a|2=|a|2+|b|2+2a· a= b=4, 1 |b+a|=2.由(a-c)· (b-c)=a· b-c· (a+b)+c =0,整理得 2 +|c|2=
2

1 |c|· |a+b|· θ≤2|c|(θ=〈c,a+b〉),解不等式 2 +|c|2-2|c|≤0,得 cos 2 2 |c|≤1+ 2 ,即|c|的最大值为1+ 2 .又|d-c|=1,即d终点的轨迹是以 2 c的终点为圆心、1为半径的圆,故|d|的最大值为|c|max+1=2+ 2 .
2 答案:2+ 2

平面向量的综合应用
(1)(2013· 安徽高考)在平面直角坐标系中,O 是坐标原 ??? ? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? OB 点, 两定点 A, 满足| OA |=| OB |= OA · =2, B 则点集{P| OP =λ OA ??? ? +μ OB ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( ) [例 3] A.2 2 B.2 3 C.4 2 D.4 3

(2)已知点R(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上, ???? ???? ??? ???? ? 点M(x,y)在直线PQ上,且2 PM +3 MQ =0, RP · =0,则 PM 4x+2y-3的最小值为 A.-4 B.-3 C.3 ( D.4 )

??? ??? ??? ? ??? ? ? ? π OB [自主解答] (1)由| OA |=| OB |= OA · =2,可得∠AOB= 3 ,
又A,B是两定点,可设A( 3,1),B(0,2),P(x,y), 3 ? λ= 3 x, ? ??? ? ??? ? ??? ? ?x= 3λ, ? 由 OP =λ OA +μ OB ,可得? ?? ?y=λ+2μ ? ?μ=y- 3x. ? 2 6 因为|λ|+|μ|≤1,所以
? ? ?

3 ? ? 3 x?



?y ? - ?2

3 ? ? 6 x?

≤1,当

?x≥0, ? ?3y- 3x≥0 ?3y+ 3x≤6 ?

1 ,时,由可行域可得S0= 2 ×2× 3= 3,所以由对

称性可知点P所表示的区域面积S=4S0=4 3.

???? ???? ??? ???? ? ? ?x ? y? (2)由2 PM +3 MQ =0,得P ?0,-2? ,Q ?3,0? .由 RP · PM
? ? ? ? ? y? ? 3y? ? =0,得 ?3,-2? ·x, 2 ? =0,即y2=4x,所以4x+2y-3=y2+ ? ? ? ?

2y-3=(y+1)2-4,因此,当y=-1时,4x+2y-3取得最小 值,最小值为-4.
[答案] (1)D (2)A

——————————规律· 总结————————————
两类平面向量综合问题的解决方法 (1)用向量解决平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标 系将问题坐标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题. (2)在平面向量与平面解析几何的综合问题中,应先根据平面 向量知识把向量表述的解析几何问题的几何意义弄明白,再根据 这个几何意义用代数的方法研究解决.
————————————————————————

α· β 6.对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α?β=β·.若两个非 β 零的平面向量 a,b 满足 a 与 b 的夹角 b?a
? ? 都在集合? ? ? ? ? n? ?n∈Z?中,则 a?b= 2? ? ? ?π π? θ∈?4,2?,且 ? ?

a?b 和 )

(

5 A.2 C.1

3 B.2 1 D.2

a· |a||b|cos θ |a| b 解析:根据新定义,得 a?b=b·= |b|2 =|b|cos θ,b?a b b· |a||b|cos θ |b| a = a·= |a|2 = |a| cos θ.又因为 a?b 和 b?a 都在集合 a
? ? ? ? ? ? ? n? n1 n2 ?n∈Z?中, a?b= , 设 n 那么(a?b)· (b 2? 2 b?a= 2 (n1, 2∈Z), ? ?
2

?π π? n1n2 ?a)=cos θ= 4 ,又 θ∈?4,2?,所以 0<n1n2<2,所以 n1, ? ?

n1 1 n2 的值均为 1,故 a?b= 2 =2.

答案:D

7.关于实数x的方程ax2+bx+c=0,其中a,b,c都是非零平 面向量,且a,b不共线,则该方程的解的情况是 A.至多有一个解 C.至多有两个解 B.至少有一个解 D.可能有无数个解 ( )

解析:由已知,关于x的方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都是 非零平面向量)可化为c=-x2a-xb,因为a,b不共线且为非 零平面向量,由平面向量基本定理,可知存在唯一实数对 (m,n),使得c=ma+nb,

?-x2=m, ? 所以? ?-x=n, ?

?x2=-m, ? 即? ?x=-n, ?

,整理得m=-n2.

显然,当n≠0且m=-n2时,方程组有唯一一组解,即原 方程有一个解;当n=0或m≠-n2时,方程组无解,即原 方程无解. 综上,该方程至多有一个解.

答案:A

课题10 [典例]

向量几何意义的应用

(2013· 湖南高考)已知a,b是单位向量,a· b=0. ( )

若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是 A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1]

B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2]

[考题揭秘]

本题主要考查向量的坐标运算、向量模的几何

含义与向量模的最值求解,意在考查考生的转化能力、数形结合 思想的运用能力. [审题过程] -b|=1. 第二步:审结论.求|c|的取值范围. 第三步:建联系.由于 a 和 b 是互相垂直的单位向量,故可 建立坐标系,运用向量的坐标运算求解.又因为已知|c-a-b|= |c-(a+b)|=1,故可考虑向量模的几何意义. 第一步:审条件.|a|=|b|=1,a· b=0 以及|c-a

[规范解答]

由a,b为单位向量且a· b=

0,可设a=(1,0),b=(0,1),则a+b=(1,1). 由|c-a-b|=1,得|c-(a+b)|=1.……① ??? ? 设 OC =c=(x,y),则(x-1)2+(y-1)2=1. 故C在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上,………………② ??? ? 所以|c|=| OC |∈[ 2-1, 2+1].………………………③ 即|c|的取值范围为[ 2-1, 2+1].……………………④

[答案]

A

[模型归纳] 运用向量的几何意义解决问题的模型示意图如下:

[变式训练]
1.若a,b,c均为单位向量,且a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a +b-c|的最大值为 A. 2-1 B.1 C. 2 ( D.2 )

解析:设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则x2+y2=1,a-c=(1 -x,-y),b-c=(-x,1-y),则(a-c)· (b-c)=(1-x)(-x)+ (-y)(1-y)=x2+y2-x-y=1-x-y≤0,即x+y≥1.又a+b-c =(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2 = ?x-1?2+?y-1?2. ①

AB 法一:如图,c=(x,y)对应点在 ? 上,而①式的几何意义为点P到 ? 上点的距离,其最大值为1. AB

法二:|a+b-c| = ?x-1?2+?y-1?2 = x2+y2-2x-2y+2 = 3+2?-x-y?= 3-2?x+y?, 由x+y≥1,∴|a+b-c|≤ 3-2=1,最大值为1.

答案:B

2.已知向量a,b的夹角为60° ,且|a|=2|b|,则向量a与向量a+ 2b的夹角为 A.30° B.150° ( )

C.120° D.60° ??? ? ??? ? ??? ? 解析:由向量的几何意义可知,若 OA =a, OB =b, OC =2b, ??? ? 则 OD =a+2b,∠AOC=60° .如图,由平行四边形法则,可知四
边形OADC为菱形,所以向量a与向量a+2b的夹角为30° .

答案:A

预测演练提能


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