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高三理科数学综合测试三试题与答案


广东广雅中学 2013—2014 学年度上学期高三综合测试(3)

(2013-11-12) 理科数学试卷
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 【注意事项】 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题的答案一律做在答题卡上,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑;如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知 A ? {x | log2 x ? 1} ,函数 f ( x) ? A. ? B. (?? ,3)

1 的定义域为 B 则 A B ? ( 3? x
D. (2, ??)



C. (2,3)

2.设正项等比数列 ?an ? , ?lg an ? 成等差数列,公差 d ? lg3 ,且 ?lg an ? 的前三项和为 6 lg 3 ,则 ?an ? 的通项 为( ) B. 3
n

A. n lg 3

C. 3n

D. 3

n ?1

3.已知 x, y ? R, i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? 1 ? i ,则 (1 ? i) x? y 的值为( A. ? 4 B.4 C. ? 2i D. 2i )



4.已知直线 a、b 和平面 M,则 a // b 的一个必要不充分条件是( A. a、 b 与平面 M 成等角
2

B. a ? M ,b ? M
2 2

C. a // M ,b ? M

D. a // M ,b // M

5. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为( A.

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的交点, 2 a b
D. 2 ? 1

).

5 ?1 2

B.

2 2 ?1 2

C. 3 ? 1

6.已知△ ABC 中, ?A ? 30? , AB , BC 分别是 3 ? 2 , 3- 2 的等差中项与等比中项,则△ ABC 的 面积等于( A. ) B.

3 2

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

7. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时
1

8. 对于任意实数 x , 符号[ x ]表示 x 的整数部分, 即[ x ]是不超过 x 的最大整数, 例如[2]=2; [ 2 .1 ]=2; [ ? 2.2 ]= ? 3 , 这 个 函 数 [ x ] 叫 做 “ 取 整 函 数 ”, 它 在 数 学 本 身 和 生 产 实 践 中 有 广 泛 的 应 用 。 那 么

[log2 1] ? [log2 2] ? [log2 3] ? [log2 4] ? ? ? [log2 64] 的值为(
A.21 B.76 C. 264

) D.642

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题 全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9

?

3

0

( 9 ? x 2 ? 2 x)d x 的值等于

___. ___.

10 已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的一条渐近线与曲线 y ? x2 ? a 相切,则 a 的值为
0

11.?ABC 中, AB ? 2 2 , BC ? 5 , A ? 45 ,? B 为 ?ABC 中最大角, D 为 AC 上一点, AD ? 则 BD ? .

1 DC , 2

12.已知 a ? (?1,2), b ? (2, ?) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 ? 的取值范围是

___.

ln a ? ln x 在[1,+∞)上为减函数,则 a 的取值范围是 x 14. (几何证明选讲选做题) 如图所示,AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径,CD
13.已知函数 f ( x ) = 是圆 O 的弦, BA, DC 的延长线交于点 P , 若 PA ? 4, PC ? 5 ,则

___.

?CBD ? ______.

15.(坐标系与参数方程选做题)圆心的极坐标为 C (3 , ) ,半径为 3 的圆的极坐标方程是

?

6

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示: (1)求 ? , ? 的值; (2)设 g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ?

x 2

x ? ? ) ?1 , 0 , ] 时, 当 x ?[ 求函数 g ( x) 的值域. 2 8 2

2

17.(本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 日销售量 频数 频率 1 10 0.2 1.5 25 2 15

(Ⅰ)填充上表; (Ⅱ)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立. ①5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,? 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元) ,求 ? 的分布列.

18.(本小题满分 14 分) 如图,圆柱的高为 2 ,底面半径为 3 , AE , DF 是圆柱的两条母线, B, C 是下底面圆周上的两点,已知四边 形 ABCD 是正方形. (Ⅰ)求证: BC ? BE ; (Ⅱ)求正方形 ABCD 的边长; (Ⅲ)求直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值.

D A F

C B

E
19. (本小题满分 14 分)

(本小题满分 14 分)公比不为 1 的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3, 且a4 , a2 , a3依次成等差数列 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求和:

1 1 1 ? ? ... ? ; a1a2 a2 a3 an an?1
a2 n 1 1 1 3 ,设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: ? ? ... ? ? . 3 T1 T2 Tn 4

(3)令 bn ? 2 ? log 2

3

20. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系中,点 A(1, 0) 、 B(?1, 0) ,已知 | CA |? 2 2 , BC 的垂直平分线 l 交 AC 于 D ,当点 C 动点时, D 点的轨迹图形设为 E . (1)求 E 的标准方程; (2)点 P 为 E 上一动点,点 O 为坐标原点,设 PA 求 ? 的最大值.
2

? 1 ? ? PO ,

2

21(本小题满分14分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? k ? (1)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; (3)设正实数 a1 , a2 ,

x ?1 。 x ?1

(2)当 x ? 1 时,函数 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围;

, an 满足 a1 ? a2 ?

? an ? 1 .求证:

? ? 1 ? 1 ? ln ?1 ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ? a1 ? ? a2 ?

? 1 ? 2n 2 ? ln ?1 ? 2 ? ? . ? an ? n ? 2

2 2 2 2 2 [提示柯西不等式 ( x1 ? x2 ? ... ? xn ) ? ( y12 ? y2 ? ... ? yn ) ? ( x1 y1 ? x2 y2 ? ... ? xn yn )2 ]

4

广东广雅中学 2013—2014 学年度上学期高三综合测试(3) 参考答案
一、选择题 1 2 C B 二、填空题: 9. 3 A 4 A 5 D 6 D 7 B 8 C

9? ?9 4

10

14.

? 6

1 4

11.

5

12 (??, ?4) ? (?4,1)

13 a ? e

15. ? ? 6 cos(? ?

?
6

)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解:(1)由图象知: T ? 4(

?

? 2? ? ) ? ? ,则: ? ? ? 2 ,?????2 分 2 4 T

由 f (0) ? ?1 得: sin ? ? ?1 ,即: ? ? k? ? ∵ | ? |? ? ∴

?

? ??

?
2

2

(k ? z ) ,???????4 分



???????????????6 分

(2)由(1)知: f ( x) ? sin(2 x ? ∴ g( x) ? 2 2 f ( ) f ( ?

?
2

) ? ? cos 2 x ,???????????7 分

x 2

x ? ? ) ? 1 ? 2 2( ? cos x)[ ? cos( x ? )] ? 1 2 8 4

? 2 2 cos x[

2 (cos x ? sin x)] ? 1 ? 2cos 2 x ? 2sin x cos x ? 1 2

? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,???????????????10 分 4
当 x ? [0,

?

?
2

] 时, 2 x ?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,则 sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 4 4 4 4 2

∴ g ( x) 的值域为 [?1, 2] 。??????????????????12 分 17. (本小题满分 12 分) 解:(1 ) 求得 a ? 0.5 b ? 0.3. (2) ①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨,则 X ~B(5,0.5)
2 P( X ? 2) ? C5 ? 0.52 ? (1 ? 0.5) 3 ? 0.3125

?? 2 分 ?? 1 分 ?? 2 分 ?? 4 分

② ? 的可能取值为 4,5,6,7,8,则
5

P(? ? 4) ? 0.2 2 ? 0.04

P (? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 P (? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3
(每个 1 分)

P(? ? 6) ? 0.5 2 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37 P(? ? 8) ? 0.3 2 ? 0.09

?? 9 分

? 的分布列: ?
p 0.04 4 5 0.2 6 0.37 7 0.3 0.09 8

?? 12 分
18.(本小题满分 14 分) 解: (1)? AE 是圆柱的母线? AE ? 底面 BEFC, ?? 1 分 又 BC ? 面 BEFC ? AE ? BC ?? 2 分 ? 又? ABCD 是正方形 ? AB ? BC 又 AE ? AB ? A ? BC ? 面 ABE ?? 3 分 又 BE ? 面 ABE ? BC ? BE ?? 4 分 (2)? 四边形 AEFD 为矩形,且 ABCD 是正方形 ? EF // BC

? BC ? BE ? 四边形 EFBC 为矩形 ? BF 为圆柱下底面的直径 设正方形 ABCD 的边长为 x ,则 AD=EF=AB= x 2 2 2 2 2 在直角 ? AEB 中 AE=2,AB= x ,且 BE +AE = AB ,得 BE = x -4 2 2 2 2 2 在直角 ? BEF 中 BF=6,EF= x ,且 BE +EF = BF ,的 BE =36- x
解得 x = 2 5 ,即正方形 ABCD 的边长为 2 5 (3)解法一:如图以 F 为原点建立空间直角坐标系,

?? 1 分

?? 2 分 ?? 3 分

z
则 A( 2 5 ,0,2),B( 2 5 ,4,0),E( 2 5 ,0,0),

FA ? ( 2 5 ,0, 2), FB ? ( 2 5 ,4,0),

D A

FE ? ( 2 5 ,0,0)

?? 1 分

F x E B

C

y

设面 AEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ),则

? n ? FA ? (x ,y ,z ) ? (2 5 ,0 ,-2) ? 2 5 x - 2z ? 0 ? ? n ? FB ? (x ,y ,z ) ? (2 5 ,4 ,0) ? 2 5 x - 4y ? 0
令 x ? 1 ,则 y ?

? 3分

5 5 , z ? 5, 即 n ? (1 , , 5) 2 2

?? 4 分

设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为 ? ,则
6

sin? ? COS ? n, EF ? ?

n ? EF n ? EF

?

2 5 2 29 ? 29 5 2 5? ?1? 5 4
2 29 。 29

?? 6 分

所以直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值为

?? 7 分

解法二:如图以 E 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,2),B(4,0,0),F(0, 2 5 ,0),

z A

D y F C B x

BF ? (-4, 2 5 ,0), AF ? (0, 2 5 ,-2), EF ? (0, 2 5 ,0)
?? 1 分

E
设面 AEF 的法向量为 n ? ( x , y , z ),则

? n ? AF ? (x ,y ,z ) ? (0 ,2 5 ,-2) ? 2 5 y - 2z ? 0 ? ? n ? BF ? (x ,y ,z ) ? (-4 ,2 5 ,0) ? 2 5 y - 4x ? 0
令 y ? 1 ,则 x ?

?? 3 分

5 5 ,1 , 5 ) , z ? 5, 即 n ? ( 2 2

?? 4 分

设直线 EF 与平面 ABF 所成角的大小为 ? ,则

sin? ? COS ? n, EF ? ?

n ? EF n ? EF

?

2 5 2 29 ? 29 5 2 5? ?1? 5 4
2 29 。 29

?? 6 分

所以直线 EF 与平面 ABF 所成角的正弦值为

?? 7 分
3 2

19.解: (1)设公比为 q,则 a1 ? 3, 且a4 , a2 , a3成等差数列 ,可得 2q ? q ? q ,??2 分 即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1(舍去), 或q ? ?2 ,?????3 分,所以 an ? 3 ? (?2)n ?1 。????4 分
2

(2)设 c n ?

c a a 1 1 1 ,则 n?1 ? n n?1 ? 2 ? , a n a n ?1 cn an?1an?2 q 4
1 1 1 ? ? 为首项,公比为 的等比数列,????????6 分 4 18 a1 a 2

故数列 {cn } 是以

7

1 1 ? (1 ? n ) 1 1 1 4 = ? 2 (1 ? 1 ) = 18 ? ? ?? 1 27 4n a1a2 a2a3 an an ? 1 1? 4
(3) bn ? 2 ? log2

????????8 分

| a2 n | 3 ? 22 n ? 1 ? 2 ? log2 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ??????10 分 3 3
?????????????????????11 分

故 Tn ? n 2 ? 2n ? n(n ? 2) , 得

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ?????????????????????12 分 Tn n( n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 ? ? ? ?? T1 T2 T3 Tn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 n?2 n n?1 n?1 n n?2
1 1 1 1 3 1 1 3 ? [1 ? ? ? ]? ? ? ? 2 2 n ? 1 n ? 2 4 2( n ? 1) 2( n ? 2) 4
???????14 分

20 解: (Ⅰ) .设 D( x ,y )

l 是 BC 的垂直平分线? | DB |?| DC |
(3 分)

? | DB | ? | DA |?| AC |? 2 2 ? 2 ?| AB | ? D 点的轨迹图形 E 是 A、B 为焦点的椭圆
其中 2a ? 2 2 , c ? 1 ,? a ?

2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 1
(7 分)
2

(5 分)

? D 点的轨迹图形 E :

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)设 P( x, y), x ? ? 2 , 2 , 则 PO

?

?

? x 2 ? y 2 , (8 分) PF

2

? ( x ? 1) 2 ? y 2

(9 分)

??

PA ? 1 PO
2

2

?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 x 2 ? 2 x ? y 2 2x ? ? 1? 2 2 2 2 2 x ?y x ?y x ? y2

(10 分)

点 P( x, y) 满足

x2 x2 2x 4x ? 1? 2 ? y 2 ? 1,? y 2 ? 1 ? , (11 分) ? ? 1 ? 2 2 2 x x ?2 ?1 2

(12 分)

当 x ? 0 时, ? ? 1 当 x ? 0 时,设 t ? ?x ,则 t ? (0, 2 , ? ? 1 ?

?

4t ? 1? t ?2
2

4 2 t? t

(13 分)

因为 t ?

2 ? 2 2 ,所以 ? ? 1 ? 2 ,当且仅当 t ? 2 时,即 x ? ? 2 时, ? 取得最大值1 ? 2 . (14 分) t
8

21【解析】 (1) F ( x) ? ln x ? k ?
2

x ?1 1 2 x 2 ? 2(1 ? k ) x ? 1 ,…… 1 分 F ( x) ? ? k ? ? x ?1 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
2 2

由 x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4(1 ? k ) ? 4 ? 4(k ? 2k ) ,

①当 ? ? 0 即 k ? ?0, 2? 时, F ?( x) ? 0 恒成立,则 F ( x ) 在 (0, ??) 单调递增;…2 分 ②当 k ? 0 时, F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,则 F ( x ) 在 (0, ??) 单调递增; …3 分
2 ③当 k ? 2 时,方程 x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 的两正根为 k ? 1 ? k 2 ? 2k , k ? 1 ? k 2 ? 2k

则 F ( x ) 在 (0, k ? 1 ? k 2 ? 2k ) 单 调 递 增 , (k ?1? k 2 ? 2k , k ?1? k 2 ? 2k ) 单 调 递 减 ,

(k ? 1 ? k 2 ? 2k , ??) 单调递增.
综 上 , 当 k ? 2 时 , 只 有 单 调 递 增 区 间 ; 当 k ? 2 时 , 单 调 递 增 区 间 为 (0, k ? 1 ? k 2 ? 2k ) ,

(k ? 1 ? k 2 ? 2k , ??) ;单调递减区间为 (k ?1? k 2 ? 2k , k ?1? k 2 ? 2k ) . …… 5 分 (2)即 x ? 1 时, F ( x) ? 0 恒成立.当 k ? 2 时, F ( x ) 在 (0, ??) 单调递增, ∴当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 满足条件. …7 分
当 k ? 2 时, F ( x ) 在 (k ?1? k 2 ? 2k , k ?1? k 2 ? 2k ) 单调递减,则 F ( x ) 在 (1, k ? 1 ? k 2 ? 2k ) 单调递减, 此时 F ( x) ? F (1) ? 0 不满足条件,故实数 k 的取值范围为 ? ?? , 2? . (3)由(2)知, ln x ? 2 ? …… 9 分

x ?1 1 在 (1, ??) 恒成立,令 x ? 1 ? 2 , x ?1 an



1 a2 1 2 2 , …… 10 分 ln(1 ? 2 ) ? 2 ? n ? ? 2 1 an 2 a ? 1 2 a ? 1 n n 2? 2 an

1 1 1 ? ? ? ). 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1 i ?1 i 1 1 1 又( ? ? ? ) ?(2a1 ? 1) ? (2a2 ? 1) ? 2a1 ? 1 2a2 ? 1 2an ? 1


? ln(1 ? a

n

1

2

) ? 2(

…… 11 分

? (2an ? 1)? ? n2 ,
……13 分 ……14 分

∴ 2(
n

1 1 ? ? 2a1 ? 1 2a2 ? 1

?

2n 2 )? 2an ? 1 n ? 2 1



1 2n2 ∴ ? ln(1 ? 2 ) ? . ai n?2 i ?1

[来源:学§科§网]

9


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