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高等数学-第七版-课件-9-11 多元函数微分学的应用习题课


第十一讲 多元函数微分学的应用习题课

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

1. 一元向量值函数 以三维向量为例 1) 概念
2) 图形 3) 极限 4) 连续 5) 导数

r ? f (t ) ? ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )) t ? D
终端曲线为一空间曲线

? lim f ( t ) ? ? lim f ( t ), lim f ( t ), lim f ( t ) ? t ?t 1 t ?t 2 t ?t 3 ? t ? t0 0 0 ? 0 ?
t ? t0

lim f (t ) ? ? f1 (t0 ), f 2 (t0 ), f 3 (t0 )?

f ?(t0 ) ? ( f1?(t0 ), f 2?(t 0 ), f 3?(t 0 ))

导向量 f ?( t 0 ) 的几何意义 向量值函数 r ? f ( t ), t ? D 的终端曲线 Γ 在点M处的 一个切向量,其指向与t 的增长方向一致.

2. 空间曲线的切线与法平面
1) 参数式情况.

? : x ? ? ( t ), y ? ? ( t ), z ? ? ( t )

切向量 T
特例

? ( ? ?(t0 ) , ? ? (t0 ) , ? ? (t0 )) ? : y ? ? ( x ), z ? ? ( x )

切向量 T ? ( 1, ? ? ( x0 ) , ? ? ( x0 ))

F ( x, y , z ) ? 0 ? 2) 一般式情况. ? : ? ?G ( x, y, z ) ? 0
? ? i ? 切向量 T ? ? F x ? ? Gx ? ? j Fy Gy

? k ? ? Fz ? ? Gz ? ? ( x 0 , y0 , z 0 )

3. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 .

法向量 n ? ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )) 2) 显式情况.
法向量

n ? (? f x , ? f y ,1)

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

1. 方向导数

u ? f ( x, y, z )
?f ?l

? l ? (cos ? ,cos ? ,cos ? )

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? ) ( x0 , y0 , z0 ) ? lim t ?0? t
? ?u ? ?u ?u ? ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? ?y ?z ? ?x ?
单侧极限 分子: 射线l方向上两点的函数值之差
分母: 射线l方向上两点的距离
( x0 , y0 , z0 )

?注

2. 梯度

u ? f ( x, y, z )
?注 梯度是一个向量

? ?u ?u ?u ? grad u ? ? , , ? ? ?x ?y ?z ?

方向: 方向导数取得最大值的方向 大小: 方向导数的最大值 几何意义 与曲线的一个法向量方向一致,

由数值低的等值面指向数值高的等值面

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

?定理1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数,且在该点取得极值 , 则有:

f x? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y? ( x0 , y0 ) ? 0.

?定理2 设函数z=f (x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有一阶和二阶连

? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y ? ( x0 , y0 ) ? 0 续偏导数,又 f x 令 A ? f x x ( x0 , y0 ) , B ? f x y ( x0 , y0 ) , C ? f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当AC-B2>0时,具有极值 2) 当AC-B2<0时,没有极值 A<0 时取极大值;

A>0 时取极小值.

3) 当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论.

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

?例1 求椭球面 x 2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 1 上平行于平面 x ? y ? 2 z ? 0 的切平面方程. ?例2 在曲面 z ? xy 上求一点,使这点处的法线垂直于平面

x ? 3 y ? z ? 9 ? 0并写出这法线的方程.
?例3 试证曲面 x ? y ? z ? a (a ? 0)上任何点处的切平面 在各坐标轴上的截距之和等于a. ?例4 证明螺旋线 x ? a cos t , y ? a sin t , z ? bt上任一点处的切 线与oz轴交成定角. ?例5 证明曲面 F ( nx ? lz, ny ? mz ) ? 0上任一点的切平面平行 于直线 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 3 . l m n

?例6 证明曲面F ( x ? my , z ? ny ) ? 0 的所有切平面恒与 定直线平行.
? y ? 的平面都相交于一点. ?例7 使证所有切于曲面 z ? xf ? ? ? x?

?例8 试证锥面 z ? x 2 ? y 2 ? 3 的所有切平面都通过锥面 顶点.

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

2 2 2 ?例9 求由方程 x ? y ? z ? xz ? yz ? 2 x ? 2 y ? 2z ? 0

所确定的隐函数z=z(x,y)的极值.
2 2 ?例10 求函数 z ? x ? y ? xy 在区域 x ? y ? 1 上的

最大值和最小值.
2 2 3 2 2 ?例11 求函数z ? 3 x ? 3 y ? x 在区域 x ? y ? 16上的

最大值和最小值. ?例12 求函数 u ? sin x ? sin y ? sin( x ? y ) 在区域

x ? 0, y ? 0, x ? y ? 2? 上的最大值.

?例13 求点(a,b,c)到平面 Ax ? By ? Cz ? D ? 0的距离. ?例14 求内接于半径为a的球,且有最大体积的长方体. ?例15 在曲面 a x ? b y ? c z ? 1 (a ? 0, b ? 0, c ? 0) 上作切平面,使切平面与三坐标面围成的四面体体积最大 求切点坐标.

?例16 已知三角形的周长为2p,求出这样的三角形
当它绕着自己的一边旋转时所生成的立体体积最大. ?例17 若n个正数 x1 , x2 ,? xn 之和是a, 求函数

u ? n x1 x2 ? xn 的最大值.


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