当前位置:首页 >> 数学 >> 高等数学-第七版-课件-9-11 多元函数微分学的应用习题课

高等数学-第七版-课件-9-11 多元函数微分学的应用习题课


第十一讲 多元函数微分学的应用习题课

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

1. 一元向量值函数 以三维向量为例 1) 概念
2) 图形 3) 极限 4) 连续 5) 导数

r ? f (t ) ? ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )) t ? D
终端曲线为一空间曲线

? lim f ( t ) ? ? lim f ( t ), lim f ( t ), lim f ( t ) ? t ?t 1 t ?t 2 t ?t 3 ? t ? t0 0 0 ? 0 ?
t ? t0

lim f (t ) ? ? f1 (t0 ), f 2 (t0 ), f 3 (t0 )?

f ?(t0 ) ? ( f1?(t0 ), f 2?(t 0 ), f 3?(t 0 ))

导向量 f ?( t 0 ) 的几何意义 向量值函数 r ? f ( t ), t ? D 的终端曲线 Γ 在点M处的 一个切向量,其指向与t 的增长方向一致.

2. 空间曲线的切线与法平面
1) 参数式情况.

? : x ? ? ( t ), y ? ? ( t ), z ? ? ( t )

切向量 T
特例

? ( ? ?(t0 ) , ? ? (t0 ) , ? ? (t0 )) ? : y ? ? ( x ), z ? ? ( x )

切向量 T ? ( 1, ? ? ( x0 ) , ? ? ( x0 ))

F ( x, y , z ) ? 0 ? 2) 一般式情况. ? : ? ?G ( x, y, z ) ? 0
? ? i ? 切向量 T ? ? F x ? ? Gx ? ? j Fy Gy

? k ? ? Fz ? ? Gz ? ? ( x 0 , y0 , z 0 )

3. 曲面的切平面与法线 1) 隐式情况 .

法向量 n ? ( Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )) 2) 显式情况.
法向量

n ? (? f x , ? f y ,1)

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

1. 方向导数

u ? f ( x, y, z )
?f ?l

? l ? (cos ? ,cos ? ,cos ? )

f ( x0 ? t cos ? , y0 ? t cos ? , z0 ? t cos ? ) ( x0 , y0 , z0 ) ? lim t ?0? t
? ?u ? ?u ?u ? ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? ?y ?z ? ?x ?
单侧极限 分子: 射线l方向上两点的函数值之差
分母: 射线l方向上两点的距离
( x0 , y0 , z0 )

?注

2. 梯度

u ? f ( x, y, z )
?注 梯度是一个向量

? ?u ?u ?u ? grad u ? ? , , ? ? ?x ?y ?z ?

方向: 方向导数取得最大值的方向 大小: 方向导数的最大值 几何意义 与曲线的一个法向量方向一致,

由数值低的等值面指向数值高的等值面

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

一、内容小结 (一)几何应用 (二)方向导数和梯度 (三)极值和条件极值

?定理1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数,且在该点取得极值 , 则有:

f x? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y? ( x0 , y0 ) ? 0.

?定理2 设函数z=f (x,y)在点(x0,y0)的某邻域内具有一阶和二阶连

? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y ? ( x0 , y0 ) ? 0 续偏导数,又 f x 令 A ? f x x ( x0 , y0 ) , B ? f x y ( x0 , y0 ) , C ? f y y ( x0 , y0 )
则: 1) 当AC-B2>0时,具有极值 2) 当AC-B2<0时,没有极值 A<0 时取极大值;

A>0 时取极小值.

3) 当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论.

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

多元函数微分学应用习题课
一、内容小结
二、题型练习

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

?例1 求椭球面 x 2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 1 上平行于平面 x ? y ? 2 z ? 0 的切平面方程. ?例2 在曲面 z ? xy 上求一点,使这点处的法线垂直于平面

x ? 3 y ? z ? 9 ? 0并写出这法线的方程.
?例3 试证曲面 x ? y ? z ? a (a ? 0)上任何点处的切平面 在各坐标轴上的截距之和等于a. ?例4 证明螺旋线 x ? a cos t , y ? a sin t , z ? bt上任一点处的切 线与oz轴交成定角. ?例5 证明曲面 F ( nx ? lz, ny ? mz ) ? 0上任一点的切平面平行 于直线 x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 3 . l m n

?例6 证明曲面F ( x ? my , z ? ny ) ? 0 的所有切平面恒与 定直线平行.
? y ? 的平面都相交于一点. ?例7 使证所有切于曲面 z ? xf ? ? ? x?

?例8 试证锥面 z ? x 2 ? y 2 ? 3 的所有切平面都通过锥面 顶点.

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

二、题型练习 (一)几何应用
(二)极值和最值

2 2 2 ?例9 求由方程 x ? y ? z ? xz ? yz ? 2 x ? 2 y ? 2z ? 0

所确定的隐函数z=z(x,y)的极值.
2 2 ?例10 求函数 z ? x ? y ? xy 在区域 x ? y ? 1 上的

最大值和最小值.
2 2 3 2 2 ?例11 求函数z ? 3 x ? 3 y ? x 在区域 x ? y ? 16上的

最大值和最小值. ?例12 求函数 u ? sin x ? sin y ? sin( x ? y ) 在区域

x ? 0, y ? 0, x ? y ? 2? 上的最大值.

?例13 求点(a,b,c)到平面 Ax ? By ? Cz ? D ? 0的距离. ?例14 求内接于半径为a的球,且有最大体积的长方体. ?例15 在曲面 a x ? b y ? c z ? 1 (a ? 0, b ? 0, c ? 0) 上作切平面,使切平面与三坐标面围成的四面体体积最大 求切点坐标.

?例16 已知三角形的周长为2p,求出这样的三角形
当它绕着自己的一边旋转时所生成的立体体积最大. ?例17 若n个正数 x1 , x2 ,? xn 之和是a, 求函数

u ? n x1 x2 ? xn 的最大值.


更多相关文档:

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

高等数学习题详解-第7多元函数微分学_理学_高等教育_教育专区。习题 7-1 ...解之得 z=11,故所求的点为 M(0,0, 14 ). 9 2 2 4. 证明以 M1(4...

《高等数学II》练习题--多元函数微分学 - 副本

高数A(2)习题课(5)多元函... 26页 1下载券 高等...第六章多元函数微分学复... 7页 免费《​高​...设Z ? arctan( xy),三、选择题 11.设函数 Z ...

多元函数微分学复习题及答案

多元函数微分学习题及答案_理学_高等教育_教育专区...y? 0 多元函数微分法及其应用习题及解答 x y....答:1 9、函数 z ? x ? y 2 2 x ?1 的...

高等数学教学大纲

侯风波《高等数学助学课件》 高等教育出版社出版 ...学时) (2 习题课:极限的运算,函数连续性。(2...(2 学时) (七)多元函数微分学(10+2?学时) ...

2011-2012(2)高等数学I2(90学时)-万丽

高等数学(二)多元函数微积分学周 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...微分方程及其求解(一阶线性方程、二阶线性方程) 6-2 微分方程的应用 习题课 ...

高等数学下

习题九 11 题;考前单元复习卷中多元函数微分学第 3,5,6, 8,10 题中有...具体建议复 习高数上关于第七第 7,8 节课上讲解及课后习题。尤其是不同...

高等数学_小论文_浅谈多元函数微积分学理论与应用

高等数学_小论文_浅谈多元函数微积分学理论与应用_理学...11-5 班 学号:20113311 摘要:本文主要说明了多元...注意,在多元函数中,个偏导数存在只是全微分存在的...

11-12下高等数学A(2)教学进度表_普通班_

土木工程高等数学 A(2) 班级 总学时 土木工程 4...第八章小结,习题课 第九章 多元函数微分学 §1 ...7: 1, 4, 5, 8,10,12 习题 9?1: 4(3, ...

11-12下高等数学A(2)教学进度表_普通班_

学年度第 2 学期共 2 页第 1 页 电子科学与技术高等数学 A(2) 班级 总...第八章小结,习题课 章小结 习题课 第九章 多元函数微分学 §1 多元函数的...

《高等数学》详细答案 下册(八--十二)

(2) 习题 8—5 1 ★ ,3 ★,5,9★ 2,6,8...(2),1 5 ★ ,17★,20 ★ 8,11,14(3) (4...多元函数微分学计划对应教材:高等数学上册 同济大学...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com