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高二理科期末测试卷


2010-2011 学年度普通高中阶段性检测 高 二 数 学(理科)
本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答

题卡对应题目的答案标号涂黑.(如需改动,用橡 皮擦干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.命题 P: ?a ? R ,则 a ? 0 ”,则 ? P 为( “
2 2 A. ?a ? R , a ? 0



2 B. ?a ? R , a ? 0 2 C. ?a ? R , a ? 0

C. ?a ? R , a ? 0
2 2 2 2

2.在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? ?ab ,则 ?C = ( A. 600 B. 900 C. 1200

) D. 1500 ) D.190 )

3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若 a3 ? a17 ? 10 ,则 S19 ? ( A.55 B.95 C.100

??? ??? ???? ? ? ???? ? 4. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,用向量 AB, AD, AA 来表示向量 AC1 ( 1
A. AC1 ? AB ? AD ? AA 1 B.

???? ??? ??? ???? ? ? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ? AC1 ? AB ? AD ? AA1
A1

D1 B1

C1

C. AC1 ? AB ? AD ? AA 1

???? ??? ??? ???? ? ? ? ???? ??? ??? ???? ? ? ?
D A B C

D. AC1 ? AB ? AD ? AA 1

高二数学(理科) 第 1 页 (共 8 页)

5.图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

)

y
1

O

1

x

6.椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的两焦点分别为 F1 、 F2 ,以 F1 F2 为边作正三角形,若 a 2 b2


正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点,则椭圆的离心率为 ( A.

1 2

B.

3 2


C.

2 2

D.

3 3

7.“ a ? b ? 0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件

1 1 ? ”的( a b

B.必要不充分条件 D.既不必要也不充分条件

8. 原命题“若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 ”,则原命题与其逆命题 的真假情况是( ) B.原命题为假命题,逆命题为真命题 D.原命题为真命题,逆命题为假命题

A.原命题与逆命题均为假命题 C.原命题与逆命题均为真命题

9.若 a ? (0,1, ?1), b ? (1,1,0) (a ? ? b) ? a ,则实数λ 的值是( 且 A. -1 B. 0 C. 1

?

?

?

?

?



D. -2

10.在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 1 ,且 a2a8 ? 6, a4 ? a6 ? 5, 则

a5 ?( a7



A.

5 6

B.

6 5

C.

3 2

D.

2 3

11.在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? AB ? 2, AD ? 1, E 为 C1D1 的中点,则 EB 与 1 1 面 ABCD 所成的角的正切值为( A. ) C.

2 2

B.

6 2

2

D.

2 2

高二数学(理科) 第 2 页 (共 8 页)

x2 y 2 ? =1 中心的弦, F 为椭圆的一个焦点, 12. 若 AB 是过椭圆 则△FAB 面积的最大值 9 5
为( A. 5 ) B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在对应题号后的横线上) 13. 双曲线 16 x2 ? 9 y 2 ? 144 的渐近线方程为 . .

14. 已知向量 a =(1,2,-3)与 b =(2, x , y )平行,则 x ? y 的值是 15. 已知 2a ? 3b ? 2 ,则 4 ? 8 的最小值是
a b

?

?

.

16. 下列命题: ①数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ? n2 ? 1 ,则 ?an ? 是等差数列; ②数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ? 2n ? 1 ,则 ?an ? 是等比数列;
2 2 ③命题“若 a ? 0 ,则 a ? 0 ”的否命题是“若 a ? 0 ,则 a ? 0 ” ;

④抛物线 y ? 4ax 2 (a ? 0) 的焦点坐标是 ( a, 0) . 其中正确命题的序号是 . 三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离为 5,求抛物线的方程和 m 的值. 18. (本小题满分 12 分) 给定两个命题: P:对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;
2

Q:关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有负实数根. 如果 P 为真命题, P ? Q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
2

19. (本小题满分 12 分) 某工厂建造一个长方体无盖蓄水池,其容积为 4800m3,深度 3m.如果池底每 1m2 的 造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价 是多少元?
高二数学(理科) 第 3 页 (共 8 页)

20.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底 面 ABCD 为菱形, ABC =60°, AB = PA =2,E 、F 分 ∠ 别为 BC 、 PD 的中点. (Ⅰ)求证: PB ∥平面 AFC ; (Ⅱ)求平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值. 21. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 , ?bn ? 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 , (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . bn

22. (本小题满分 14 分)

x2 y2 3 如图, 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上的点M (1, ) 到它的两焦点 F1、 2 的距离 F 2 a b
之和为 4,A、B 分别是它的左顶点和上顶点. (I)求此椭圆的方程及离心率; (II)平行于 AB 的直线 l 与椭圆相交于 P、Q 两点, 求 ?OPQ 面积的最大值( O 为坐标原点).

高二数学(理科) 第 4 页 (共 8 页)

2010-2011 学年度普通高中阶段性检测 高 二 数 学(理科)参考答案
一、选择题(每小题正确答案均唯一,每小题 5 分共 60 分) CCBDB AADDD CB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.) 13. y ? ?

4 x 3

14. -2

15. 4

16. ②③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

p 解:设抛物线方程为 y2= -2px(p>0),则焦点 F( ? ,0) ,????2 分 2
准线方程为 x= |MN|=3+

p ,由抛物线定义得, 2
所以 p=4 ,抛物线方程为 y2= -8x,??????6 分

p =5, 2

又 M(-3,m)在抛物线上, 于是 m ? 2 6 或 m ? ?2 6 ??????????????????10 分 所以抛物线方程为 y2= - 8x, m ? 2 6 或 m ? ?2 6 .????????12 分 18. (本小题满分 12 分) 解:若 P 为真命题, P ? Q 为假命题,则 Q 为假命题. ????2 分

1 当 a=0,不等式 ax ? ax ? 1 ? 0变为 ? 0 ,对任意实数 x 恒成立;
2

2 当 a ? 0 时,对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立,必需

?a ? 0 ? 2 ?? ? a ? 4a ? 0,
解得 0 ? a ? 4;

????4 分

2 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有负实数根,设 f ( x) ? x ? x ? a ,因为 f ( x ) 开口向
2

上且对称轴在 y 轴右侧,所以必须 f (0) ? 0,?a<0.
高二数学(理科) 第 5 页 (共 8 页)

所以,当 a<0 时,命题 Q 为真命题; 又 Q 为假命题,则 ?

????8 分

?0 ? a ? 4 , 解得0 ? a ? 4 ?a ? 0

所以实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 4 .????12 分 19.(本小题满分 12 分) 解:设池底边长为 x m,则宽为

4800 m ,总造价 3x 4800 y ? 1600 ?150 ? (6 x ? 6 ? ) ?120 ????????????4 分 3x 1600 ) ? 240000 = 720( x ? x ? 57600 ? 240000 ……………………………………………………8 分 ? 297600.

当x ? 40m时,等号成立。 所以设计池底边长为 40m,宽为 40m 时,总造价最低为 297600 元.………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解:Ⅰ) ( 连结 BD 交 AC 于 O,∵ABCD 为菱形, BO=OD, 则 ????????1 分 连结 FO,∵PF=DF,∴FO∥PB,????????3 分 ∵FO ? 平面 AFC,PB ? 平面 AFC, ∴PB∥平面 AFC????????????4 分 (Ⅱ)∵E 为 BC 中点,∴AB=2BE,
∵∠ABE=60°,∴AE= 3BE ∴AE⊥BC,∵AD∥BC,∴AE⊥AD??????????????????6 分 建立如图所示的空间直角坐标系, A; AE , AD, AP , E( 3 ,0,0), 则 P(0,0,2),( 3 ,1,0) C , D(0,2,0)??????????????????????????????8 分 平面 PAE 的一个法向量为 m=(0,1,0)??????????????????9 分 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x,y,z),

?

???? ???? ??? ? ?

?

??? ? ? n ?PD ? 0 ? , 则 ? ???? ? n ?DC ? 0 ?
∴?

?( x, y, z )?(0, 2, ?2) ? 0 ?y ? z ? 0 ? ? , ∴? , 令 y= 3 ?( x, y, z )?( 3, ?1, 0) ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ?

∴n=(1, 3 , 3 )????????????????????????11 分
高二数学(理科) 第 6 页 (共 8 页)

∴cos<m,n>=

m ?n

| m || n |

?

3 21 ? 7 7
21 ????????12 分 7

∴平面 PAE 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,a1=S1=2 当 n ? 2 时, a n

? S n ? S n ?1 ? 4n ? 2
n ?1

∴ an ? 4n ? 2(n ? N? )

b 1 ?1? ∴ b1 ? a1 ? 2 q ? 2 ? ∴ bn ? 2 ? ? ? (n ? N ? ) ???????4 分 b1 4 ? 4? a 4n ? 2 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, cn ? n ? ? (2n ? 1) ? 4 n?1 ????????6 分 n ?1 bn ?1? 2?? ? ?4? 2 ∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? 4 n?1 ①
∴ 4Tn ? ①-② 得

4 ? 3 ? 42 ? 5 ? 43 ? ??? ? (2n ? 1) ? 4n



????8 分

?3Tn ? 1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 42 ????? 2 ? 4n?1 ? (2n ?1)4n ? 1 ? 2
∴ Tn ? ?

4(1 ? 4 n?1 ) ? (2n ? 1)4 n 1? 4

? 6n ? 5 ? n 5 ? ? 4 ? ????????????????????12 分 9 ? 9 ?
x2 y2 ? ? 1, ????2 分 4 b2

22. (本小题满分 14 分) 解: (I)由题意知 2a ? 4

? a ? 2, 则方程为

3 ( )2 3 1 把N (1, )代入得 ? 2 2 ? 1 2 4 b
x2 y2 ? ?1 ∴椭圆方程为: 4 3
e? c 1 ? . a 2

? b 2 ? 3, c 2 ? 1

????5 分

(II)? k AB ?

3 3 , 设l 的方程为: y ? x?m 2 2
高二数学(理科) 第 7 页 (共 8 页)

? 3 x?m ?y ? ? 2 由? 得3x 2 ? 2 3m x ? 2m 2 ? 6 ? 0 2 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

????7 分

? ? ? 12(6 ? m 2 ) ? 0
? 0 ? m2 ? 6
????8 分

设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ? 2 3 m ? x1 ? x2 ? ? ? 3 ?? 2 ? x x ? 2m ? 6 ? 1 2 3 ? ?| PQ |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? (kx1 ? kx2 ) 2 3 4m 2 2m 2 ? 6 ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? ? ? 4? 4 3 3
2 2

?

42 ? 7m 2 3
m 1? 3 4 ? 2m 7

????11 分

原点 O 到 PQ 的距离 d ?

1 1 2 m 42 ? 7m2 1 S?OPQ ? d ?PQ ? ? ? ? 42m2 ? 7m 4 2 2 7 3 21 1 ? ?7(m2 ? 3) 2 ? 63 21

又? 0 ? m2 ? 6

?当m2 ? 3时, S?OPQ取得最大值 3. ???14 分

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