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数列求和以及通项公式


特殊数列求和
例1 已知公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7 ,且 a1 , a4 , a13 成等比数列.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?
1 ( n? N? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? 1
2

解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d .
? a3 ? 7 ? a1 ? 2d ? 7 ? 2 ?? 2 ? a1 ? a13 ? a4 ?a1 (a1 ? 12d ) ? (a1 ? 3d )

解得: d ? 2 或 d ? 0 (舍) ,? a1 ? 3, (Ⅱ) bn ?
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 (2n ? 1) ? 1 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

? an ? 2n ? 1 (n ? N * )

? Sn ?

1? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 4? 2 2 3

1 n 1 1 ? 1 )? (n ? N * ) ( ? ) ? ? (1 ? n ? 1 4(n ? 1) n n ?1 ? 4

Ex1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? n 2 ? n . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

1 ? 2an ? 1, (n ? N *) 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an an?1

2 解: (1)由 2 S n ? n 2 ? n . n ? 2时2S n?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) 2an ? 2S n ? 2S n?1 ? 2n

∴ an

? n ( n ? 2)

又 n ? 1 时, a1 ? 1 适合上式。? an

?n

(2) ?b n ?

1 1 1 1 ? 2an ? 1 ? ? 2n ? 1 ? ( ? ) ? (2n ? 1) an an?1 n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1) 2 2 3 3 4 n n ?1

? 1?

1 1 ? n2 ? n2 ?1? n ?1 n ?1

1

例2

设 {an } 是等差数列, {bn }是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn }的通项公式;

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13, 解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? qn?1 ? 2n?1 . 3 5 2n ? 3 2n ? 1 a 2n ? 1 Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? n ?2 ? n ?1 ,① (Ⅱ) n ? n?1 . 2 2 2 2 bn 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? n?2 ? ? n?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 ? 2 2 ? 2 2 1? 2

Ex2 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? pn ? q ? p, q ? R ? ,且 a2 、 a3 、 a5 成等比数列. (1)求 p 、 q 的值; (2)若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 n ? log 2 bn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 解(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? p ? q , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? pn ? q ? ?? n ? 1? ? p ? n ? 1? ? q ? ? 2n ? 1 ? p . ? ?
2

?an ? 是等差数列,?1 ? p ? q ? 2 ?1 ?1 ? p ,得 q ? 0 .
又 a2 ? 3 ? p , a3 ? 5 ? p , a5 ? 9 ? p ,
2 a2 、 a3 、 a5 成等比数列,?a3 ? a2a5 ,即 ? 5 ? p ? ? ? 3 ? p ?? 9 ? p ? ,∴ p ? ?1 .
2

(2)由(1)得 an ? 2n ? 2 . an ? log2 n ? log2 bn ,?bn ? n ? 2an ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .

?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bn?1 ? bn ? 40 ? 2 ? 41 ? 3? 42 ?

? ? n ?1? ? 4n?2 ? n ? 4n?1 ,①

4Tn ? 41 ? 2 ? 42 ? 3? 43 ?

? ? n ?1? ? 4n?1 ? n ? 4n ,②
? 4n ?1 ? n ? 4n ?

① ? ②得 ?3Tn ? 40 ? 41 ? 42 ?
? Tn ? 1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ?. 9

?1 ? 3n ? ? 4n ? 1 . 1 ? 4n ? n ? 4n ? 1? 4 3

2

递推公式求通项 类型一 。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

例 1:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解:方法 1(递推法) :

an ? 2an ?1 ? 3 ? 2(2an ? 2 ? 3) ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 2an ?3 ? 3? ? 3? ? ? 3 ? ……
n?2 n ?1 ? 2n?1 ? 3 。 ? 2n?1 ? 3(1 ? 2 ? 22 ? … ?2 ) ? ?1 ? ??2 ? 2 ?1 1? 2

? ?

3 ? ?

3

方法 2(构造法) :设 an?1 ? ? ? 2 ? an ? ? ? ,即 ? ? 3 ,
? 数列

?an ? 3? 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项、 2 为公比的等比数列,

则 an

? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? 2n?1 ? 3 。

Ex1 已知 ?an ?中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2n ( n ? 2 )求 an 。
n 解:由 an ? 2an?1 ? 2



an an ?1 ? ?1 2 n 2 n?1

∴?

? an ? an 1 ? ? ?n ? 1? n ? 成等差数列, n 2 2 2 ? ?

∴ an

? n ? 2n ? 2n?1

3

类型 2 例 2:

an ?

pan qan ? h
2 ? an ,求 an 。 2an ? 1

已知 a1 ? 4 , an ?1 ?

1 1 1 2an ? 1 1 ? ? ?1, ? 解:对递推式左右两边取倒数得 即 an?1 2 an an ?1 2an


1 1 ? bn 则 bn ?1 ? bn ? 1 。 an 2
1 ? bn ? ? ? ,即 ? ? ?2 , 2

设 bn ?1 ? ? ?
? 数列

7 ? 2 ? ? 为首项、 1 为公比的等比数列, ?bn ? 2? 是以 1 4 4 2

7 2n ?1 2n ? 2 ? 7 则 bn ? 2 ? ? n ?1 ,即 bn ? ,? an ? n ? 2 。 2 2 ?7 2n ?1

Ex2 解:

已知 ?an ? 中, a1 ? 4 , an ? 4 ?

4 ( n ? 2 )求 an 。 an?1
1 an 1 1 ? ? 2(an ? 2) 2 an ? 2

∵an?1 ? 2 ? 2 ?

4 2(an ? 2) ? an an

∴ an?1 ? 2

?

( n ? 1)



1 1 ? an?1 ? 2 an ? 2 2 ( n ? 1 ) ?
1 (n ? 1) 2

1

设 bn ?

1 an ? 2

即 bn ?1 ? bn ?

∴ ?bn ? 是等差数列



1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? an ? 2 a1 ? 2 2 2
4

∴ an ?

2 ?2 n

数列综合问题 1、已知等差数列 {an } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 Sn . (1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ; (2)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围. 【 答案】 解 :(1) 因为 数列 {an } 的 公差 d ? 1 , 且 1, a1 , a3 成 等比数 列 , 所以
a12 ? 1? (a1 ? 2) ,

即 a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 . (2)因为数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且 S5 ? a1a9 , 所以 5a1 ? 10 ? a12 ? 8a1 ;
2 即 a1 ? 3a1 ? 10 ? 0 ,解得 ?5 ? a1 ? 2

2、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ?

n?2 an . 3

(Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式. 解:(1)由 a1 ? 1 与 S n ?
S2 ? n?2 an 可得 3

2?2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 , 3

S3 ?

3? 2 2 a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3

故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 . (2)当 n ? 2 时, S n ?
n?2 an ① 3 Sn ?1 ? n ?1 an ?1 ② 3

①-②可得 Sn ? Sn ?1 ?
an ?

n?2 n ?1 an ? an ?1 即 3 3

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

a a 故有 an ? n ? n?1 ? an?1 an?2

a n ?1 n ? 2 ? a1 ? ? ? a1 n ?1 n ? 2

3 n2 ? n ? ?1 ? 1 2

12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 而 2 2
5

3、已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? ax (a ? 0,且a ? 1) 的图像上一点。等比数列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 f (n) ? c 。 数 列 ?bn ? (bn ? 0 )的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 sn 满 足

1 3

sn ? sn?1 ? sn ? sn ?1 (n≥2)
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)若数列 ? 少?
1 1? 【解析】 (1)? f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3
x

? 1 ? 1000 的最小正整数 n 是多 ? 的前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn > 2009 ? bnbn ?1 ?

? 3?

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 .

4 2 a2 2 1 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 a3 ? 2 3 3 27
a 1 2 1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? ? a1 3 3? 3?
Q Sn ? Sn?1 ? ∵
n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1; 数列 ? Sn ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
2 Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n

当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;
2

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );

(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? ? ? ?K ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
6

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由 Tn ?
n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

2 ? 4. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1,n ? N ,且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 ? . an an ?1 2

2 2 【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 , an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.

(3)

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1 1 ? ? ? ? an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

?

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2

7


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