当前位置:首页 >> 数学 >> 高考数学圆锥曲线大题集大全

高考数学圆锥曲线大题集大全


http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集
1. 如图,直线 l1 与 l2 是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是 A,点 B、D 在直线 l1 上(B、D 位于点 A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在 l1 上的 射影点是 N,且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹 C 的方程. (Ⅱ)过点 D 且不与 l1、l2 垂直的直线 l 交(Ⅰ)中的轨迹 C 于 E、F 两点;另外平面上的点 G、 H 满足: ○ 1 AG ? ? AD(? ? R); ○ 2 GE ? GF ? 2GH ; ○ 3 GH ? EF ? 0. 求点 G 的横坐标的取值范围. l2 M

????

??? ?

??? ? ??? ?

????

???? ??? ?

B
A D N B l1

2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程.

e?

3 2 ,已知点 P(0,3) 到这个椭圆

3. 已知椭圆

C1 :

x2 y2 25 x? , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 4 a b 的一条准线方程是 其左、右顶点分别

是 A、B;双曲线

C2 :

x2 y2 ? ?1 a2 b2 的一条渐近线方程为 3x-5y=0.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程及双曲线 C2 的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线 C2 上一点 P,连结 AP 交椭圆 C1 于点 M,连结 PB 并延长交 椭圆 C1 于点 N,若 AM ? MP . 求证: MN ? AB ? 0.

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

4. 椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点 F(c,0)到相应准线的距离为 1,倾斜角为 45° 的直线交 椭圆于 A,B 两点.设 AB 中点为 M,直线 AB 与 OM 的夹角为 ? a. (1)用半焦距 c 表示椭圆的方程及 tg ? ; (2)若 2<tg ? <3,求椭圆率心率 e 的取值范围.

x2 y2 6 ? 2 e? 2 b (a>b>0)的离心率 3 ,过点 A(0,-b)和 B(a,0)的直线 5. 已知椭圆 a
3 与原点的距离为 2
(1)求椭圆的方程

(2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C D 两点 存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由

问:是否

6. 在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别为 A(?1,0) , B(1,0) ,平面内两 点 G, M 同时满足下列条件: ① GA ? GB ? GC ? 0 ;②

MA ? MB ? MC

;③ GM ∥ AB

(1)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程; (2)过点 P(3,0) 的直线 l 与(1)中轨迹交于 E , F 两点,求 PE ? PF 的取值范围 7. 设
x, y ? R

, i, j 为直角坐标平面内 x 轴.y 轴正方向上的单位向量,若

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j ,且 | a | ? | b |? 8

(Ⅰ)求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设曲线 C 上两点 A.B,满足(1)直线 AB 过点(0,3) ,(2)若 OP ? OA ? OB ,则 OAPB

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

为矩形,试求 AB 方程.

8. 已知抛物线 C: y ? m( x ? n), (m ? 0, n ? 0) 的焦点为原点,C 的准线与直线
2

l : kx ? y ? 2k ? 0(k ? 0) 的交点 M 在 x 轴上, l 与 C 交于不同的两点 A、B,线段 AB 的
垂直平分线交 x 轴于点 N(p,0) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)求实数 p 的取值范围; (Ⅲ)若 C 的焦点和准线为椭圆 Q 的一个焦点和一条准线,试求 Q 的短轴的端点的轨迹方 程.
y

9. 如图,椭圆的中心在原点,长轴 AA1 在 x 轴上.以 A、A1 为焦点的双曲

D E A D1 O

C

1 线交椭圆于 C、D、D1、C1 四点,且|CD|= 2 |AA1|.椭圆的一条弦 AC 交 AE 2 3 ?? ??? 4 时,求双曲线的离心率 e 的取值 双曲线于 E,设 EC ,当 3
范围.

A1 C1

x

10. 已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x ? 5 y ? 80 上, 且点 A 是椭圆短轴的一个端
2 2

点(点 A 在 y 轴正半轴上). 若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; 若角 A 为 90 ,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程.
0

11. 如图,过抛物线 x ? 4 y 的对称轴上任一点 P (0, m) (m ? 0) 作直线与抛物线交于 A, B
2

两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点. (1) 设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ?QB) ; (2) 设直线 AB 的方程是 x ? 2 y ? 12 ? 0 ,过 A, B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

同的切线,求圆 C 的方程.

1?
12. 已知动点 P(p,-1) ,Q(p,

p2 p 2 ) ,过 Q 作斜率为 2 的直线 l,P Q 中点 M 的轨迹

为曲线 C. (1)证明:l 经过一个定点而且与曲线 C 一定有两个公共点; (2)若(1)中的其中一个公共点为 A,证明:AP 是曲线 C 的切线; (3)设直线 AP 的倾斜角为 ? ,AP 与 l 的夹角为 ? ,证明: ? ? ? 或 ? ? ? 是定值.

13. 在平面直角坐标系内有两个定点 F1、F2 和动点 P , F1、F2 坐标分别为 F1 (?1,0) 、

| PF 2 1 | ? 2 ,动点 P 的轨迹为曲线 C ,曲线 C 关于直线 y ? x 的对 F2 (1,0) ,动点 P 满足 | PF2 |
称曲线为曲线 C ' ,直线 y ? x ? m ? 3 与曲线 C' 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,△ABO 的面积为 7 , (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的值。

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 14. 已知双曲线 a 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右支
上.

3 41 16 , ) 5 时, PF1 ? PF2 ,求双曲线的方程; (Ⅰ)若当点 P 的坐标为 5 (
(Ⅱ)若 | PF1 |? 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

x2 y2 ? ?1 b 15. 若 F 1 、F 2 为双曲线 a 的左右焦点,O 为坐标原点,P 在双曲线的左支上,点

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

F1O ? PM , OP ? ? (
M 在右准线上,且满足; (1)求该双曲线的离心率;

OF1 OF1

?

OM OM1

)(? ? 0)
.

(2)若该双曲线过 N(2, 3 ) ,求双曲线的方程; (3)若过 N(2, 3 )的双曲线的虚轴端点分别为 B 1 、B 2 (B 1 在 y 轴正半轴上) ,点 A、 B 在双曲线上,且 B2 A ? ? B2 B, 求B1 A ? B1 B 时,直线 AB 的方程. 16. 以 O 为原点, OF 所在直线为 x 轴,建立如 所示的坐标系。设 OF ? FG ? 1 ,点 F 的 坐标为 (t , 0) , t ? [3, ??) ,点 G 的坐标为 (1)求

??? ?

??? ? ??? ?

( x0 , y0 ) 。

x0 关于 t 的函数 x0 ? f (t ) 的表达式,判断函数 f (t ) 的单调性,并证明你的判断;
S? 31 ???? t 6 ,若以 O 为中心,F 为焦点的椭圆经过点 G,求当 | OG | 取

(2)设 ΔOFG 的面积

最小值时椭圆的方程;

9 ??? ? ??? ? (0, ) PC ? ? PD (? ? 1) , 2 (3) 在 (2) 的条件下, 若点 P 的坐标为 , C、 D 是椭圆上的两点, 且
求实数 ? 的取值范围。

17. 已知点 C 为圆 ( x ? 1) ? y ? 8 的圆心,点 A(1,0) ,P 是圆上的动点,点 Q 在圆的
2 2

半径 CP 上,且 MQ ? AP ? 0, AP ? 2 AM. (Ⅰ)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 y ? kx ? k ? 1 与(Ⅰ)中所求点 Q
2

的轨迹交于不同两点 F,H,O 是坐标原点,

2 3 ? OF ? OH ? 4 ,求△FOH 的面积的取值范围。 且3

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

18. 如图所示, O 是线段 AB 的中点, |AB|=2c, 以点 A 为圆心, 2a 为半径作一圆, 其中 a ? c 。

A

O

B

(1)若圆 A 外的动点 P 到 B 的距离等于它到圆周的最短距离,建立适当坐标系,求动点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线; (2)经过点 O 的直线 l 与直线 AB 成 60° 角,当 c=2,a=1 时,动点 P 的轨迹记为 E,设 过点 B 的直线 m 交曲线 E 于 M、N 两点,且点 M 在直线 AB 的上方,求点 M 到直线 l 的 距离 d 的取值范围。

19. 设 O 为坐标原点 , 曲线 x

2

? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 上有两点 P 、 Q 满足关于直线

x ? m y ? 4 ? 0 对称,又以 PQ 为直径的圆过 O 点.
(1)求 m 的值;

? ? ? ? a ? b ?4 20. 在平面直角坐标系中,若 a ? ( x ? 3, y), b ? ( x ? 3, y) ,且 ,
(1)求动点 Q( x, y) 的轨迹 C 的方程; (2)已知定点 P(t ,0)(t ? 0) ,若斜率为 1 的直线 l 过点 P 并与轨迹 C 交于不同的两点 A, B ,

(2)求直线 PQ 的方程.

???? ? ??? ? ??? ? ? ? [0, 2 ? ] C OM ? cos ? ? OA ? sin ? ? OB M 且对于轨迹 上任意一点 , 都存在 , 使得 成立,
试求出满足条件的实数 t 的值。

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 21. 已知双曲线 a (a>0,b>0)的右准线 l 2与 一条渐近线 l 交于两点 P、Q,F 是
双曲线的右焦点。 (I)求证:PF⊥ l ; (II)若△PQF 为等边三角形,且直线 y=x+b 交双曲线于 A,B 两点,且 双曲线的方程;

AB ? 30

,求

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

(III)延长 FP 交双曲线左准线 l1 和左支分别为点 M、N,若 M 为 PN 的中点,求双曲线的 离心率 e。

22. 已知又曲线

在左右顶点分别是 A,B,点 P 是其右准线上的一点,若

点 A 关于点 P 的对称点是 M,点 P 关于点 B 的对称点是 N,且 M、N 都在此双曲线上。 (I)求此双曲线的方程; (II)求直线 MN 的倾斜角。

23. 如图, 在直角坐标系中, 点A (-1, 0) , B (1, 0) , P (x, y) ( y ? 0) 。 设 AP 、 OP 、 BP 与 x 轴正方向的夹角分别为 α、β、γ,若 ? ? ? ? ? ? ? 。 (I)求点 P 的轨迹 G 的方程; (II)设过点 C(0,-1)的直线 l 与轨迹 G 交于不同两点 M、N。问在 x 轴上是否存在 一点

?

?

?

E? x0 ,0?
y P

,使△MNE 为正三角形。若存在求出 x0 值;若不存在说明理由。

A

O

B

x

24. 设椭圆

C:

x 2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? M a 2 b2 过点

?

2 ,1

? ,且焦点为 F ? ?
1

2,0

?。

(1)求椭圆 C 的方程;

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

(2)当过点 满足

P ? 4 , 1?

的动直线 ? 与椭圆 C 相交与两不同点 A、B 时,在线段 AB 上取点 Q , ,证明:点 Q 总在某定直线上。

??? ? ??? ? ???? ??? ? AP ?QB ? AQ ?PB

25. 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 A(1,0) 、B(0, -2) ,点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB, 其中? 、 ? ? R, 且? ? 2? ? 1 (1)求点 C 的轨迹方程;

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b (2)设点 C 的轨迹与双曲线 a 交于两点 M、N,且以 MN 为直径
1 1 ? 2 为定值 2 b 的圆过原点,求证: a .

26. 设 F (1,0) , M 、 P 分别为 x 轴、 y 轴上的点,且 PM ? PF ? 0 ,动点 N 满足:

MN ? ?2NP .
(1)求动点 N 的轨迹 E 的方程; (2)过定点 C (?c,0)(c ? 0) 任意作一条直线 l 与曲线 E 交与不同的两点 A 、 B ,问在 x 轴 上是否存在一定点 Q ,使得直线 AQ 、 BQ 的倾斜角互补?若存在,求出 Q 点的坐标;若 不存在,请说明理由.

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

3 1 27. 如图,直角梯形 ABCD 中,∠ DAB ? 90? ,AD∥BC,AB=2,AD= 2 ,BC= 2
椭圆 F 以 A、B 为焦点,且经过点 D, (Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求椭圆 F 的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l 与 椭圆F交于M、 N 两点,且线段 MN的中点为点C ,若存在,求直 线 l 的方程;若不存在,说明理由. D C B A

28. 如图所示,B(– c,0) ,C(c,0) ,AH⊥BC,垂足为 H,且 BH ? 3HC . (1)若 AB ? AC = 0,求以 B、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率; (2)D 分有向线段 AB 的比为 ? ,A、D 同在以 B、C 为焦点的椭圆上, 当 ―5≤ ? ≤
? 7 2 时,求椭圆的离心率 e 的取值范围.

29. 在直角坐标平面中, ?ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别为 A(?1,0) , B(1,0) ,平面内 两点 G, M 同时满足下列条件: ① GA ? GB ? GC ? 0 ;②

MA ? MB ? MC

;③ GM ∥ AB

(1)求 ?ABC 的顶点 C 的轨迹方程; (2)过点 P(3,0) 的直线 l 与(1)中轨迹交于 E , F 两点,求 PE ? PF 的取值范围

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

答案: 1.解:(Ⅰ) 以 A 点为坐标原点,l1 为 x 轴,建立如图所示的坐标系,则 D(1,0),B(4,0), 设 M(x,y) , 则 N(x,0). ∵|BN|=2|DM|, ∴|4-x|=2 (x-1)2+y2 , 整理得 3x2+4y2=12, ∴动点 M 的轨迹 x2 y2 方程为 + =1 . 4 3

???? ??? ? AG ? ? AD (? ? R), (Ⅱ)∵
??? ? ??? ? ???? GE ? GF ? 2 GH , ∴H 点为线段 EF 的中点; ∴A、D、G 三点共线,即点 G 在 x 轴上;又∵ ???? ??? ? GH ? EF ? 0, ∴点 G 是线段 EF 的垂直平分线 GH 与 x 轴的交点。 又∵
设 l:y=k(x-1)(k≠0),代入 3x2+4y2=12 得 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由于 l 过点 D(1,0)是椭圆的焦点, ∴l 与椭圆必有两个交点, 设 E(x1,y1),F(x2,y2),EF 的中点 H 的坐标为(x0,y0) , ∴x1+x2= x0= 4k2-12 8k2 ,x1x2= 3+4k2 3+4k2 ,

-3k x1+x2 4k2 = ,y0=k(x0-1)= , 2 3+4k2 3+4k2 1 (x-x0),令 y=0 得, k -3k2 4k2 k2 + = 3+4k2 3+4k2 3+4k2

∴线段 EF 的垂直平分线为 y- y0 =-

点 G 的横坐标 xG = ky0+x0 = = 1 3 - , 4 4(3+4k2)

∵k≠0,∴k2>0,∴3+4k2>3,0< ∴xG=

1 1 1 3 < ,∴- <- <0, (3+4k2) 3 4 4(3+4k2)

1 3 1 - ?(0, ) 4 4(3+4k2) 4

1 ∴点 G 的横坐标的取值范围为(0, ). 4

e?
2.解:∵

3 3 c? a 2 ,∴ 2

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

由a

2

? b 2 ? c 2 得 a ? 2b

x2 y2 ? 2 ?1 2 b ∴设椭圆的方程为 4b (b ? 0)
即x
2

? 4b 2 ? 4 y 2 ( ? b ? y ? b )

设 M ( x, y ) 是椭圆上任意一点,则

| PM |2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? ?3( y ? 1) 2 ? 4b 2 ? 12
若 b ? 1 即 ? b ? ?1 ? b ,则当 y
2

(?b ?

y ? b)

2 ? ?1 时, | PM |2 max ? 4b ? 12

由已知有 4b ? 12 ? 16 ,得 b

? 1;
2 | PM |2 max ? b ? 6b ? 9

若 0 ? b ? 1即 ? 1 ? ?b ,则当 y ? ?b 时, 由已知有 b 综上所述, b
2

? 6b ? 9 ? 16 ,得 b ? 7 (舍去).

? 1, a ? 2 .

x2 ? y2 ?1 所以,椭圆的方程为 4 .
? a 2 25 ? ? 4 ?c ?a ? 5 ?b 3 ? 解之得 : ?b ? 3 ? ? ?a 5 ?c ? 4 ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 3.解: (I)由已知 ?
x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 9 ∴椭圆的方程为 25 ,双曲线的方程 25 9 .

又 C? ?

25 ? 9 ? 34

∴双曲线的离心率

e2 ?

34 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)A(-5,0) ,B(5,0) 设 M

( x0 , y0 )则由AM ? MP 得 M 为 AP 的中点

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

∴P 点坐标为

(2 x0 ? 5,2 y0 )
2 0

2 2 ? x0 y0 ? ?1 ? ? 25 9 ? 2 ? (2 x0 ? 5) ? y 0 ? 1 ? 25 9 将 M、p 坐标代入 c1、c2 方程得 ?

消去 y0 得

2x ? 5x0 ? 25 ? 0

解之得

x0 ?

5 或x 0 ? ?5(舍) 2

由此可得 P(10, 3 3 )

当 P 为(10, 3 3 ) 时

y?
PB:

3 3 ( x ? 5) 10 ? 5

y?


3 3 ( x ? 5) 5

x2 y2 ? ? 1得 : 2 x 2 ? 15x ? 25 ? 0 代入 25 9
? xN ? 5 2 ? x N ? xM

5 x ? 或5(舍) 2

MN⊥x 轴

即 MN ? AB ? 0

a2 ? c ? 1, 则a 2 ? c ? c 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? c, 4.解: (1)由题意可知 c 所以椭圆方程为 x2 y2 ? ? 1? 4分 c2 ? c c
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,将其代入椭圆方程相减,将

k OM y1 ? y 2 y ? y2 ? 1与k OM ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2 代入 可化得
2?
(2)若 2<tg ? <3,则

1 ?? ,? tg? ?| c ?1

1?

1 c ? 1 |? c ? 2 1 c 1? c ?1
1 1? 1 c ?( 2 6 , ) 2 3

c?2 c c ? 3,?1 ? c ? 2, 则e ? ? ? c a c2 ? c

5.解: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0

?c 6 , ? ? 3 ?a ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 依题意 ? a ? b

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

∴ 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 3

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

? y ? kx ? 2, ? 2 x ? 3 y 2 ? 3 ? 0 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (2)假若存在这样的 k 值,由 ?


? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0
12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 ? ?x ? x ? 9 1 2 D( x2 , y 2 ) ,则 ? 1 ? 3k 2 ?
2



设 C ( x1 , y1 )



而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

y1 ? y2 ? ?1 x ? 1 x2 ? 1 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则 1 ,
即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ∴

(k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
k? 7 6 k?
经验证,



将②式代入③整理解得

7 6 ,使①成立

k?
综上可知,存在 6.解: (1)设

7 6 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E

C( x, y) , G( x0 , y0 ) , M ( xM , yM ).
, ? M 点在线段 AB 的中垂线上

? MA ? MB
由已知

A(?1,0) , B(1,0) , ? xM ? 0 ;又? GM ∥ AB ,? y M ? y0

又 GA ? GB ? GC ? 0

? ?? 1 ? x0 ,? y0 ? ? ?1 ? x0 ,? y0 ? ? ?x ? x0 , y ? y0 ? ? ?0,0?
? x0 ? x , 3 y0 ? y 3 ? yM ? y 3
2

? MB ? MC
? x2 ? y2 ?1 3

?

?0 ? 1?

2

?y ? ? ? ? 0? ? ?3 ?

?0 ? x ?

2

?y ? ? ? ? y? ?3 ?

2

? y ? 0? ,?顶点 C 的轨迹方程为

x2 ?

y2 ?1 3

? y ? 0? .

(2)设直线 l 方程为: y ? k ( x ? 3) , E( x1 , y1 ) , F ( x2 , y 2 )

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

? y ? k ( x ? 3) ? ? 2 y2 x ? ?1 ? 3 由?

消去 y 得: k ? 3 x ? 6k x ? 9k ? 3 ? 0 ①
2 2 2 2

?

?

6k 2 ? x1 ? x 2 ? 2 k ?3 ,


9k 2 ? 3 x1 x 2 ? 2 k ?3

PE ? PF ? PE ? PF ? cos 0? ? PE ? PF ? 1 ? k 2 3 ? x1 ? 1 ? k 2 3 ? x 2

? 1 ? k 2 9 ? 3?x1 ? x2 ? ? x1 x2
? 24 ? k 2 ? 1? k ?3
2

?

?

? 1 ? k2

?

? 9k

2

? 27 ? 18k 2 ? 9k 2 ? 3 k2 ? 3

? 24 ?

48 k ?3
2

由方程①知 ? ? 6k

? ?
2

2 2

3 ? 4 k ? 3 9k ? 3 > 0 ? k < 8

?

2

??

2

?

2

3 ? k 2 ? 3 ? ? 3, 27 ? ? PE ? PF ? ? 8, 88 ? ? ? ? ? ? k ? 0 ,? 0 < k < 8 , ? 8 ? ? 9 ?.
7.解:解:令 则 即
M ( x, y), F1 (0,?2), F2 (0,2)

? ? a ? F1 M , b ? F2 M | F1 M | ? | F2 M |? 8 F1 F2 ? 4 ? 2C



? ? | a | ? | b |?| F1 M |? | F2 M |

又∵

2 ∴ c ? 2, a ? 4, b ? 12

y2 x2 ? ?1 所求轨迹方程为 16 12

(Ⅱ)解:由条件(2)可知 OAB 不共线,故直线 AB 的斜率存在 设 AB 方程为
y ? kx ? 3, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

? y ? kx ? 3 ? 2 ? (3k 2 ? 4) x 2 ? 18kx ? 21 ? 0 ?y x2 ? ? 1 ? 则 ? 16 12

x1 ? x 2 ? ?

18k 3k ? 4
2

x1 ? x 2 ?

?21 3k 2 ? 4
3b ? 48k 2 3k 2 ? 4

y1 ? y 2 ? (kx1 ? 3)(kx 2 ? 3) ? k 2 x1 x 2 ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 9 ?

∵OAPB 为矩形,∴OA⊥OB

OA? OB ? 0

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/



x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0



k ??

5 4

y??

所求直线方程为

5 x?3 4 …

8.解: (I)由题意,抛物线顶点为(-n,0) ,又∵焦点为原点∴m>0 准线方程
x?? m ?n 4 且有 m=4n.

∵准线与直线 l 交点在 x 轴上,交点为

(?

m ,0 ) 2

又 l 与 x 轴交于(-2,0) ,∴m=4,n=1 ∴抛物线方程为 y2=4(x+1)
? ?kx ? y ? 2k ? 0 得k 2 x 2 ? 4(k 2 ? 1) x ? 4(k 2 ? 1) ? 0 ? 2 ? y ? 4 ( x ? 1 ) (II)由 ? (k ? 0)

? ? 16(1 ? k 2 ) ? 0
x1 ? x 2 2(1 ? k 2 ) ? 2 k2

∴-1<k<1 且 k≠0

y1 ? y 2 2 ? 2 k

∴AB 的中垂线方程为

y?

2 1 2(1 ? k 2 ) ? ? [x ? ], 令y ? 0 k k k2

p ? 2?


2(1 ? k 2 ) 2 ? 2 2 k k

∴p∈(2,+∞) (III)∵抛物线焦点 F(0,0) ,准线 x=-2 ∴x=-2 是 Q 的左准线 设 Q 的中心为 O′(x,0) ,则短轴端点为(± x,y) 若 F 为左焦点,则 c=x>0,b=|y| ∴a2=b2+c2=x2+y2
x2 ? y2 a2 ? x ? ?2 ? c ? ?2 ? ? x 依左准线方程有 c 即 y2=2x
?

(x>0)

若 F 为右焦点,则 x<0,故 c=-x,b=|y| a2 ? ? c ? ?2 ∴a2=b2+c2=x2+y2 依左准线方程有 c

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

?? 即

x2 ? y2 ? (? x) ? ?2 ?x

化简得 2x2+2x+y2=0

1 4( x ? ) 2 ? 2 y 2 ? 1 2 即 (x<0,y≠0)
x

9.解:建立如原题图所示的坐标系,则 AB 的方程为 30 点的坐标为
( x,20 ? 2x ). 3

?

y ? 1, 20 由于点 P 在 AB 上,可设 P

则长方形面积

S ? (100 ? x) ? [80 ? (20 ?

2x )]( 0 ? x ? 30). 3

50 2 20 x ? 5, y ? 时, S max ? 6017 (m 2 ). S ? ? x2 ? x ? 6000 (0 ? x ? 30). 3 3 3 化简得 易知,当
c c D(? , h), C ( , h), 2 2 (21)解:设 A(-c,0),A1(c,0),则 (其中 c 为双曲线的半焦距,h 为 C、

AE ? ? ? ,? x E ? EC D 到 x 轴的距离)

c ?c? ? 2 ? c ( ? ? 2) , y ? h? c(? ? 2) h? ( , ) E 1? ? 2(? ? 1) 1 ? ? 即 E 点坐标为 2(? ? 1) ? ? 1

x2 y2 a ? 2 ?1 2 设双曲线的方程为 a b ,将

?

c e2 x2 e 代入方程,得 c 2

?

y2 ?1 b2 ①

c c(? ? 2) h? e2 h2 e2 ? ? 2 2 ? 2 h2 C ( , h), E ( , ) ? 2 ? 1, ( ) ?( ) ? 1. 2(? ? 1) ? ? 1 代入①式,整理得 4 b 4 ? ?1 ? ?1 b2 将 2

h2 e 2 ?1 3 2 2 , 得 2 ? ? e ? ? e ? 1 , 所以 ? ? ? 1? 2 . 2 2 e ?2 e ?2 消去 b
2

由于 3

???

3 2 3 3 , 所以 ? 1 ? 2 ? , 故7 ? e 2 ? 10 ? 7 ? e ? 10 . 4 3 e ?2 4

10.解:1)设 B( x1 , y1 ),C( x2 , y 2 ),BC 中点为(

x0 , y0 ),F(2,0)

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 20 16 则有 20 16
两式作差有

( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 20 16

x0 y 0 k ? ?0 5 4

(1)

x1 ? x 2 ?2 x ?3 3 F(2,0)为三角形重心,所以由 ,得 0

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

y1 ? y 2 ? 4 ?0 y ? ?2 , 3 由 得 0
k?
代入(1)得

6 5

直线 BC 的方程为 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 2)由 AB⊥AC 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 14( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0
2 2

(2)

设直线 BC 方程为 y ? kx ? b, 代入4 x ? 5 y ? 80 ,得

(4 ? 5k 2 ) x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 80 ? 0
5b 2 ? 80 ? 10 kb x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? 4 ? 5k 2 , 4 ? 5k 2 y1 ? y 2 ? 8k 4b 2 ? 80k 2 , y y ? 1 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 代入(2)式得

9b 2 ? 32b ? 16 4 b?? ?0 2 9 4 ? 5k ,解得 b ? 4(舍) 或
4 ? ) 直线过定点(0, 9 ,设 D(x,y)

y?


4 9 ? y ? 4 ? ?1 x x
2 2

即 9 y ? 9x ? 32y ? 16 ? 0

x2 ? (y ?
所以所求点 D 的轨迹方程是

16 2 20 ) ? ( ) 2 ( y ? 4) 9 9 。

11.解:(1) 依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 代入抛物线方程 x ? 4 y 得
2

x 2 ? 4kx ? 4m ? 0.



x 设 A, B 两点的坐标分别是 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ),则x1 、 2 是方程①的两根.
所以

x1 x2 ? ?4m.

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

x1 ? ?x2 x ? 0,即? ? ? 1 . 1? ? x2 由点 P (0, m) 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,得
又点 Q 与点 P 关于原点对称,故点 Q 的坐标是 (0, ? m) ,从而 QP ? (0,2m) .

QA ? ?QB ? ( x1 , y1 ? m) ? ?( x2 , y2 ? m) ? ( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m). QP ? (QA ? ?QB) ? 2m[ y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m]
? 2m[
2 x12 x1 x2 x x x ? 4m ? ? ? (1 ? 1 )m] ? 2m( x1 ? x2 ) ? 1 2 4 x2 4 x2 4 x2

? 2m( x1 ? x2 ) ?

? 4m ? 4m ? 0. 4 x2 所以 QP ? (QA ? ?QB).

? x ? 2 y ? 12 ? 0, ? 2 x ? 4 y, (2) 由 ? 得点 A, B 的坐标分别是(6,9) 、 (-4,4),
由 x ? 4y
2

y?

2

1 2 1 x , y ? ? x, 4 2
x ?6
2

y? 所以抛物线 x ? 4 y 在点 A 处切线的斜率为
2

?3

,
2

设圆 C 的圆心为 ( a, b) , 方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,

1 ?b ?9 ?? , ? 3 ?a ? 6 3 23 125 a ? ? , b ? ,? r 2 ? . 2 ?(a ? 6) ? (b ? 9)2 ? (a ? 4)2 ? (b ? 4)2 . 2 2 2 则? 解得
则圆 C 的方程是

3 23 125 (x ? )2 ? ( y ? )2 ? , 2 2 2 2 2 (或 x ? y ? 3x ? 23y ? 72 ? 0. )

p2 p p y ? x ?1 y ?1? ? ( x ? p) 2 2 2 12.解: (1)直线 l 的方程是: ,即 ,经过定点(0,1) ;

p2 p2 x2 y? 4 . 又 M(p, 4 ) ,设 x= p,y= 4 ,消去 p,得到的轨迹方程为:
? x2 y ? ? ? 4 ? ?y ? p x ?1 2 ? 2 由? 有 x ? 2 px ? 4 ? 0 ,其中△=4p2+16,所以 l 经过一个定点而且与曲线 C

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

一定有两个公共点. (2)由 x ? 2 px ? 4 ? 0 ,设 A(
2

p ? p 2 ? 4,

( p ? p2 ? 4)2 4 ) ,

(p ? kAP ?


p2 ? 4)2 ?1 4 p ? p2 ? 4 p2 ? 4 2 = ,

p ? p2 ? 4 x2 x y? y? 2, 4 的导函数为 2 又函数 故 A 处的切线的斜率也是 , 从而 AP 是曲
线 C 的切线.对于另一个解同样可证.

p ? p 2 ? 4,
(3)当 A(

( p ? p2 ? 4)2 p ? p2 ? 4 4 2 )时,tan ? = ,

p2 ? 4 p ? 2 2 2 2 p? p ?4 p 1? ? 2 2 2 = p? p ?4 , tan ? =
tan ? tan ? =1, 又易知 ? 与 ? 都是锐角,所以 ? ? ? =90° ;

p?

p ? p 2 ? 4,
当 A(

( p ? p2 ? 4)2 p ? p2 ? 4 4 2 )时,tan ? = ,

p ? p2 ? 4 p ? 2 2 2 2 p? p ?4 p 1? ? 2 2 2 =? p? p ?4 , tan ? =

tan ? tan ? =-1,

又易知 ? 是钝角, ? 都是锐角,所以 ? ? ? =90° .总之 ? ? ? 或 ? ? ? 是定值.

13.解: (1)设 P 点坐标为 (x, y) ,则

( x ? 1) 2 ? y 2 ( x ? 1) 2 ? y 2

?

2 2

,化简得 (x ? 3) ? y ? 8 ,
2 2 2 2

所以曲线 C 的方程为 (x ? 3) ? y ? 8 ;

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

(2)曲线 C 是以 (?3,0) 为圆心, 2 2 为半径的圆 ,曲线 C' 也应该是一个半径为 2 2 的 圆,点 (?3,0) 关于直线 y ? x 的对称点的坐标为 (0,?3) ,所以曲线 C' 的方程为

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 8 ,
该圆的圆心 (0,?3) 到直线 y ? x ? m ? 3 的距离 d 为

d?

| 0 ? (?3) ? m ? 3 | 12 ? (?1) 2

?

|m| 2


S△ABO

1 1 m2 m2 2 ? ? d? | AB |? ? d ? 2 8 ? d ? (8 ? )? ? 7 2 2 2 2

m2 m2 ? ?1 ?7 2 ,或 2 ,
所以, m ? ? 2 ,或 m ? ? 14 。

14.解: (Ⅰ)(法一)由题意知, PF1

? ( ?c ?

3 41 16 3 41 16 ,? ) ? (c ? ,? ) 5 5 , PF2 5 5 ,

PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? 0, ?
2 解得 c ? 25,? c ? 5 .

? ( ?c ?

3 41 3 41 16 ) (c ? ) ? (? ) 2 ? 0 5 5 5 (1 分)

由双曲线定义得: | PF1 | ? | PF2 | ? 2a,

? 2a ? (?5 ?

3 41 2 16 3 41 2 16 ) ? (? ) 2 ? (5 ? ) ? (? ) 2 5 5 5 5

? ( 41 ? 3) 2 ? ( 41 ? 3) 2 ? 6 ? a ? 3, b ? 4 ,

x2 y2 ? ?1 9 16 ?所求双曲线的方程为:
(法二) 因 PF1 ? PF2 ,由斜率之积为 ? 1 ,可得解. (Ⅱ)设 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 , ( 法 一 ) 设 P 的 坐 标 为

( x? , y ? )

,















r1 ?| a ? ex ? |? a ? ex ? , r2 ?| a ? ex ? |? ex ? ? a ,

? r1 ? 3r2 ,? a ? ex ? ? 3(ex ? ? a),? x? ?

2a 2 c ,

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

? x? ? a,?

2a 2 ? a, ? 2a ? c , c

c b c2 ? a2 ? 2, ? ? e2 ?1 ? 3 ?e 的最大值为 2,无最小值. 此时 a a a ,
?此时双曲线的渐进线方程为

y ? ? 3x

(法二)设 ?F1 PF2 ? ? , ? ? (0, ? ] .

? 2c ? 4r2 , 2a ? r1 ? r2 ? 2r2 (1)当 ? ? ? 时, ? r1 ? r2 ? 2c, 且r1 ? 3r2,

e?
此时

2c 4r2 ? ?2 2a 2r2

.

(0,?) (2)当 ? ? ,由余弦定理得:
2 (2c) ? r1 ? r2 ? 2r1r2 cos ? ? 10r2 ? 6r2 cos ? 2 2 2 2

e?
?

2c r2 ? 10 ? 6 cos ? 10 ? 6 cos ? ? ? 2a 2r2 2 ,

? cos ? ? (?1,1) ,? e ? (1,2) ,综上, e 的最大值为 2,但 e 无最小值. (以下法一)

OP ? ? (
15.解: (1)由 F1O ? PM 知四边形 PF 1 OM 为平行四边形,∵

OF1 0F1

?

OM OM

)

OF1 ? c ( ? ? 0) ∴OP 平分∠ F1OM ,∴平行四边形 PFOM 为菱形,又∵


PF1 ? C , PM ? C ,? e 2 ? e ? 2 ? 0, e ? 2 .

y2 x2 ? 2 ? 1,其过点N(2,3), 2 3a (2)∵ e ? 2 ∴ c ? 2a ∴双曲线的方程为 a ∴所求双曲

x2 y2 ? ?1 9 线的方程为 3
(3)依题意得 B1 (0,3), B2 (0,?3), ∴ B2 A ? ? B2 B,? A 、B 2 、B 共线,不妨设直线 AB 为:

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

? ? y ? kx ? 3 ? ? ? ? 2 y2 ?x ? ?1 2 2 ? , y ), B ( x , y ), 3 9 ? 1 1 2 2 y=kx-3,A(x 则有 , 得 (3 ? k ) x ? 6kx ? 18 ? 0 , 因 为
x2 y2 ? ?1 3 9 的渐进线为 y ? ? 3x ,当 k ? ? 3 时,AB 与双曲线只有一个交点,不合题

意,当 又

k ? ? 3, ∴

x1 ? x 2 ?

? 6k ? 18 ? 18 , x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? , y1 ? y 2 ? 9 2 2 3?k 3?k , 3? k2
, ∴ k ? ? 5 ∴ 所 求 的 直 线 AB 的 方 程 为

B1 A ? ( x1, y1 ? 3), B1 B ? ( x 2, y 2 ? 3)

y ? 5x ? 3, y ? ? 5x ? 3 .
??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? OF ? FG ? t ( x0 ? t ) ? 1, x0 ? t ? FG ? ( x0 ? t, y0 ), OF ? (t,0) ,则 t 16.解: (1)由题意知
函数 f (t ) 在 [3, ??) 是单调递增函数。 (证明略) (4 分)

S?
(2)由

? 1 ??? 31 31 | OF || y0 |? t ? y0 ? ? 2 6 3 ,

???? 1 31 1 31 (t ? , ? ), | OG |2 ? (t ? ) 2 ? t 3 t 9, 点G
f (t ) ? t ?


1 ???? t 在 [3, ??) 上 是 增 函 数 , 当 t ? 3 时 , | OG | 取 最 小 值 , 此 时

10 31 F (3,0), G( , ? ) 3 3 ,

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 依题意椭圆的中心在原点,一个焦点 F(3,0) ,设椭圆方程为 a ,由

x2 y 2 ? ?1 G 点坐标代入与焦点 F(3,0) ,可得椭圆方程为: 18 9
??? ? ? 9 ??? 9 PC ? ( x, y ? ), PD ? (m, n ? ) 2 2 , (3)设 C ( x, y), D(m, n) ,则 ??? ? ??? ? 9 9 9 9 PC ? ? PD, ? ( x, y ? ) ? ? (m, n ? ) x ? ? m, y ? ? n ? ? ? 2 2 , 2 2, 由

(9 分)

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

9 9 (? n ? ? ? )2 m n ?m 2 2 ?1 ? ? 1, ? 9 18 18 因点 C、 D 在椭圆上, 代入椭圆方程得,18 , 消去 m ,
2 2 2 2

n?


13? ? 5 13? ? 5 1 ? | n |? 3, ? | |? 3 ? ? ? ? 5 4? ,又 4? 5 ,

1 [ ,1) ? (1,5] 则实数 ? 的取值范围为 5 。
17.解: (1)由题意 MQ 是线段 AP 的垂直平分线,于是 |CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 2 >|CA|=2, 于是点 Q 的轨迹是以点 C, A 为焦点, 半焦距 c=1, 长半轴 a= 2 的椭圆,短半轴 b ?

a 2 ? c 2 ? 1,

x2 ? y2 ? 1 点 Q 的轨迹 E 方程是: 2 .

? x2 2 ? ? y ?1 ?2 ? y ? kx ? k 2 ? 1 (2)设F(x1,y1)H(x2,y2) ,则由 ? ,
消去 y 得 (2k ? 1) x ? 4k k ? 1x ? 2k ? 0, ? ? 8k ? 0(? k ? 0)
2 2 2 2 2

? x1 ? x2 ? ?

4k k 2 ? 1 2k 2 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

??? ? ???? OF ? OH ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? k 2 ? 1)(kx2 ? k 2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k k 2 ? 1( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1 ? (k 2 ? 1) ? 2k 2 4k 2 (k 2 ? 1) k 2 ?1 2 ? ? k ? 1 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
2 k 2 ?1 3 1 ? ? 2 ? ? ? k 2 ? 1, 3 2k ? 1 4 2 2 2k 2 ?| FH |? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k ) ? 2 . 2k ? 1
2 2 2

又点 O 到直线 FH 的距离 d=1,

2k 2 (k 2 ? 1) 1 令t ? 2k 2 ? 1 ? S ? d | FH |? 2 2k 2 ? 1

t ? [2,3], k 2 ?

1 (t ? 1), 2

?S ?

1 1 1 1 2 2 1 (t ? 1)[ (t ? 1) ? 1) ? (t ? 1) ? 1? 2 t 2 t 2 2 t

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

1 1 1 3 1 8 3 1 2 2 ? 2 ? t ? 3,? ? 2 ? ? ? 1? 2 ? 即 ? 1? 2 ? . 9 t 4 4 t 9 2 t 3
? 6 2 ?S? 4 3

18.解: (1)以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(-c, 0) ,B(c,0) 依题意: | PA | ?2a ?| PB |, | PA | ? | PB |? 2a ? 2c ∴点 P 的轨迹为以 A、B 为焦点,实半轴为 a,虚半轴为 c ? a 的双曲线右支
2 2

x2 y2 ? ? 1( x ? a) 2 c2 ? a2 ∴轨迹方程为: a 。
(2)法一:设 M( x1 , y1 ) ,N( x2 , y2 ) 依题意知曲线 E 的方程为

x2 ?

y2 ? 1( x ? 1) 3 ,l 的方程为 y ? 3x

设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 2)

? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ? ? y ? k ( x ? 2) 由方程组 ? ,消去 y 得

(k 2 ? 3) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0
x1 ? x2 ? 4k 2 4k 2 ? 3 2 , x x ? (k ? 3 ? 0) 1 2 k2 ?3 k2 ?3





∵直线 m : y ? k ( x ? 2) 与双曲线右支交于不同的两点
2 ∴ x1 ? x2 ? 0 及 x1 x2 ? 0 ,从而 k ? 3

k2 ?
由①得

3x 2 ? 3 ? 3( x ? 2) x2 ? 4x ? 4

x?
解得

5 4且x ? 2

5 x1 ? ( ,?? ) 4 当 x=2 时,直线 m 垂直于 x 轴,符合条件,∴

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

d?
又设 M 到 l 的距离为 d,则 ∵

| 3 x1 ? y1 | 2

y1 ? 3 x12 ? 1

3 3 2 d? ( x1 ? x12 ? 1) ? 2 x1 ? x12 ? 1 ∴
d ( x) ?


3 1 5 ? x ? [ ,?? ) 2 x ? x2 ?1 , 4
5 [ ,?? ) x 2 ? 1 均为区间 4 的增函数

由于函数 y ? x 与 y ?

5 [ ,?? ) ∴ d ( x) 在 4 单调递减

∴ d ( x) 的最大值=
lim x???

5 3 d( ) ? 4 4

d ( x) ?lim x???

又∵

3 1 ? ?0 2 x ? x2 ? 1

5 3 x1 ? ( ,?? ) d ? (0, ) 4 4 而 M 的横坐标 ,∴
法二: l : g ? 3x 为一条渐近线 ①m 位于 l1 时,m 在无穷远,此时 d ? 0

5 3 3 M ?( , ) 4 4 ,d 较大 ②m 位于 l 2 时,

? y ? ? 3 ( x ? 2) 5 ? ?x? ? 2 y2 4 ?1 ?x ? 3 ? 由
5 3 3 ( , ) 点M 4 4

5 3 3 3? ? 4 4 ? 3 d? 2 4 ∴

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

0?d ?


3 4
2

19.解:(1) 曲线 x

? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 表示以 (?1,3) 为圆心,以 3 为半径的圆, 圆上两

点 P、Q 满足关于直线 x ? m y ? 4 ? 0 对称,则圆心 (?1,3) 在直线 x ? m y ? 4 ? 0 上,代入 解得

m ? ?1.

(2)直线 PQ 与直线 y ? x ? 4 垂直,所以设 PQ 方程为

y ? ?x ? b , P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) .
将直线 y ? ?x ? b 与圆的方程联立得 2x 由 ? ? 0, 解得 2 ? 3 2 ? b ? 2 ? 3 2 .
2

? 2(4 ? b )x ? b 2 ? 6b ? 1 ? 0

x 1 ? x 2 ? b ? 4, x 1 x 2 ?

b 2 ? 6b ? 1 2 .

又以 PQ 为直径的圆过 O 点

?OP ? OQ ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 解得 b ? 1 ? (2 ? 3 2 ,2 ? 3 2 ).
故所求直线方程为 x ? y ? 1 ? 0.

? ? ? ? a ? b ?4 20.解: (1)∵ a ? ( x ? 3, y), b ? ( x ? 3, y) ,且 ,
∴动点 Q( x, y) 到两个定点

F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) 的距离的和为 4,

x2 ? y2 ? 1 F ( ? 3,0), F ( 3,0) C 4 1 2 ∴轨迹 是以 为焦点的椭圆,方程为 x2 ? y2 ? 1 A ( x , y ), B ( x , y ) y ? x ? t 1 1 2 2 ,直线 AB 的方程为 (2)设 ,代入 4 ,
2 2 消去 y 得 5 x ? 8tx ? 4t ? 4 ? 0 ,

2 由? ? 0得 t ? 5 , 且

x1 ? x2 ?

8t 4t 2 ? 4 , x1 x2 ? 5 5 ,

t2 ? 4 y y ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? 5 ∴ 1 2

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

? x ? x1 cos ? ? x2 sin ? ? ???? ? ??? ? ??? ? y ? y1 cos ? ? y2 sin ? M ( x , y ) OM ? cos ? ? OA ? sin ? ? OB 设点 ,由 可得 ?
∵点 M ( x, y ) 在 C 上, ∴

4 ? x2 ? 4 y2 ? ( x1 cos? ? x2 sin ? )2 ? 4( y1 cos? ? y2 sin ? )2
2 2 ? ( x12 ? 4 y12 ) c o? s ? x2 (2 ? y 4 )? s2i n ? 2

? 2 sin ? x c x2s? ( y1 y2 4 1o

)

? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 2sin? cos? ( x1x2 ? 4 y1 y2 )

? 4 ? 2sin ? cos? ( x1x2 ? 4 y1 y2 )


2sin ? cos? ( x1x2 ? 4 y1 y2 ) ? 0 , x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,
10 得t ? 2 ,

又因为 ? ? [0, 2? ] 的任意性,∴

4t 2 ? 4 4(t 2 ? 4) ? ?0 5 5 ∴ ,又 t ? 0 ,

10 10 代入 t ? 2 检验,满足条件,故 t 的值是 2 。
l:y?
21.解:(1) 不妨设

b x, c ? a 2 ? b 2 a .

a2 a 2 ab l2 : x ? , p.( , ) c c c , F.(c,0)
设 l的斜率为k1 , PF的斜率为k 2 .

ab c a ?c k2= c
即 PF⊥ l .
2

?

ab a ?? , 2 b ?b
∴k1k2=-1.

b 3 ? 3, a ? b. 3 (2)由题 a

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

? y ? x ? b, ? ? x2 y2 ? ? 2 ?1 ? 1 b2 b ? ?3 .

? x1 ? x 2 ? b ? x x ? ?b 2 x2-bx-b2=0, ? 1 2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? 1 ? 5b ? 30 ,? b ? 3
x2 ?
∴a=1, ∴双曲线方程为

y2 ? 1. 3 a 2 a(a 2 ? c 2 ) , bc M(- c

(3) l : PF

a ( x ? c) y=- b

xP ? xN ? xM , 2

3a 2 a(3a 2 ? c 2 ) , bc ∴N(- c ).

9a 2 a 2 3a 2 ? c 2 2 c ? 2( ) ? 1, e ? , 2 2 a c b 又 N 在双曲线上。∴ c
∴e= 5 . 22.解: (I)点 A、B 的坐标为 A(-3,0) ,B(3,0) ,设点 P、M、N 的坐标依次为

则有 ② 4-①得 ,解得 c=5

故所求方程是

(II)由②得,

所以,M、N 的坐标为

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

所以 MN 的倾斜角是

23.解: (I)由已知 x ? 0,当 x ? 1 时,

?? ? ? ? ? ? ?, ? t a n ? ?? ? ? ? ? ? t a n
?t a n ? ?tan ??tan ? ? tan ?tan ?tan ?

?

y y y y y y ? ? ? ? ? x ?1 x x ?1 x ?1 x x ?1

? 3x 2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0)
当 x ? 1时,

? 1?

P 1, ? 2
2

?

? ,也满足方程<1>
2

∴所求轨迹 G 方程为 3x ? y ? 1 ( y ? 0,x ? 0) (II)假设存在点

E? x0 ,0?

,使 ?MNE 为正△
2 2

设直线 l 方程: y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1 ( x ? 0,y ? 0)

?3 ? k ?x 得:
2

2

? 2 kx ? 2 ? 0

? 2 2 ?? ? 4 k ? 8 3 ? k ? 0 ? ? ?2 k ?0 ? 2 ?3 ? k ? ?2 ?0 ? ?3 ? k 2

?

?

? 3?k? 6
?3 ? ? ?k F? , ? ? 3? k2 3? k2 ? ∴MN 中点

| MN | ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

? 1? k 2

?3 ? k ?

4k 2

2 2

?

8 3? k2

l EF :y ?

?3 1? ?k ? ? ? ?x ? ? 2 k? 3? k 3? k2 ?

? ?4 k ? ? E? , 0? 2 ? 3? k ?

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

? EF ?

?3 ? k ? ?3 ? k ?
2 2

9k 2

?

9

2 2

3 MN ? EF 在正△EMN 中, 2

?

3 1? k 2 2

?3 ? k ?
?

4k 2

2 2

?

8 3 ? 2 1? k 2 2 3? k k ?3

? 4k 2 ?? ? 3? k2 ?

?

?

2

? 8 ? 2 k ?3 3? k2 ? ?

?

?

2

? 13

? k 2 ? 3 与 3 ? k ? 6 矛盾
∴不存在这样的点

E? x0 ,0?

使△MNE 为正△

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 2 ? c ? a ? b2 24.解: (1)由题意: ?

2 2 ,解得 a ? 4 , b ? 2 ,

x 2 y2 ? ?1 2 所求椭圆方程为 4
(2)解:设过 P 的直线方程为: 设

y ? 1 ? k ? x ? 4? y,
Q

Q ? x0 , y0 ?



A ? x1 , y1 ?



B ? x 2 , y2 ?
? x 2 , y2 ?

? x1 , y1 ? ? 4 ,1?

? x 2 y2 ?1 ? ? 2 ?4 ? y ? kx ? 4k ? 1 则?

B

O ? x 0 , y0 ?

A

P
x

? ? 2k2 ? 1? x2 ? ? 4k ? 16k2 ? x ? 32k 2 ? 16k ? 2 ? 0
16k 2 ? 4k 32k 2 ? 16k ? 2 x ? x ? 1 2 2k 2 ? 1 , 2k 2 ? 1 ??? ? ??? ? AP PB 4 ? x1 4 ? x2 ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? AQ QB AP ? QB ? AQ ? PB x ? x0 x0 ? x2 ∵ ,∴ ,即 1 , x1 ? x 2 ?

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

化简得:

8x0 ? ? 4 ? x0 ? ? x1 ? x 2 ? ? 2x1x 2 ? 0



? 16k 2 ? 4k ? ? 32k 2 ? 16k ? 2 ? 8x 0 ? ? 4 ? x 0 ? ? ? ? 2? ??0 2k 2 ? 1 ? ? 2k 2 ? 1 ? ? ∴ ,

去分母展开得:

16k 2 x0 ? 8x0 ? 64k 2 ? 16k ? 16k 2 x0 ? 4kx0 ? 64k 2 ? 32k ? 4 ? 0
k? 1 ? 2x 0 x0 ? 4

化简得: 2x 0 ? 4k ? kx 0 ? 1 ? 0 ,解得: 又∵Q 在直线
y0 ? 1 ?

y ? 1 ? k ? x ? 4?

上,



1 ? 2x 0 ? x0 ? 4? x0 ? 4

,∴ y0 ? 1 ? 1 ? 2x 0

即 2x 0 ? y0 ? 2 ? 0 , ∴Q 恒在直线 2x ? y ? 2 ? 0 上。

OC ? ?OA ? ? OB, 则( x, y) ? ? (1,0) ? ? (0,?2) 25.解: (1)解:设 C( x, y),因为
?x ? ? ?? ? y ? ?2? ?? ? 2 ? ? 1 ?x ? y ?1

即点 C 的轨迹方程为 x+y=1

?x ? y ? 1 ? (2)由? x 2 y 2 得 : (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x 2 ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0由题意得b 2 ? a 2 ? 0 ? ? 1 ? 2 b2 ?a

b2 ? a b2 ? a2 ???? ? ???? 因为以MN为直径的圆过原点, OM ? ON ? 0,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0
? x1 x2 ? (1 ? x2 )(1 ? x2 ) ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 1 ? 即b 2 ? a 2 ? 2a 2b 2 ? 0,? 1 1 ? ? 2为定值 a 2 b2 2a 2 2(a 2 ? a 2b 2 ) ? ?0 b2 ? a 2 b2 ? a 2

设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ),则 : x1 ? x2 ? ?

2a 2

,x x ? ? 2 1 2

a 2 ? a 2b 2

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

26.解: (1)设 N ( x, y) ,则

y y y P(0, ) ? PM ? (? x,? )、 PF ? ( 1, ? ) M ( ? x , 0 ) 2 、 2 2 ,

y2 ? ?x ? ?0 2 4 又 PM ? PF ? 0 , ,即 y ? 4 x .
(2)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? c) , A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 假设存在点 Q(t ,0) 满足题意,则

k AQ ? k BQ ? 0



? y 2 ? 4x ? 2(ck 2 ? 2) ? ? x ? x2 ? 2 2 2 2 2 ? y ? k ( x ? c ) ,即 k x ? 2(ck ? 2) x ? k c ? 0 , 1 k2 ,

x1 x2 ? c ,又
2

0 ? k AQ ? k BQ ?

y1 y y ( x ? t ) ? y2 ( x1 ? t ) ? 2 ? 1 2 x1 ? t x2 ? t ( x1 ? t )(x2 ? t )

? y1 ( x2 ? t ) ? y2 ( x1 ? t ) ? k ( x1 ? c)(x2 ? t ) ? k ( x2 ? c)(x1 ? t ) ? k[2 x1 x2 ? (c ? t )(x1 ? x2 ) ? 2ct] ? 0 ,
由于 k ? 0 ,则

2 x1 x2 ? (c ? t )(x1 ? x2 ) ? 2ct ? 2c 2 ? 2ct ? (c ? t )

? 2(ck 2 ? 2) ?0 k2

ck 2 ? 2 2 (c ? t )(c ? ) ? (c ? t ) ? 2 ? 0 2 k k 对不同的 k 值恒成立,即 对不同的 k 值恒成立,
则 c ? t ? 0 ,即 t ? c ,故存在点 Q(c,0) 符合题意.

27.解: (Ⅰ)以 AB 中点为原点 O,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,如图

则 A(-1,0)

B(1,0)

3 D(-1, 2 )

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 b 设椭圆 F 的方程为 a

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

2 ? ?3? ? ? ? ? (?1) 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?1 b ? a ?a 2 ? b 2 ? 1 得 ?

4 2 得 4a ? 17a ? 4 ? 0

? a 2 ? 1 ?a 2 ? 4

b2 ? 3

x2 y2 ? ?1 3 所求椭圆 F 方程 4
(Ⅱ)解:若存在这样的直线 l,依题意,l 不垂直 x 轴

设 l 方程

y?

1 ? k ( x ? 1) 2
1 1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k ( ? k ) x ? 4(k ? ) 2 ? 12 ? 0 2 2

x2 y2 ? ?1 3 代入 4

设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 )

x1 ? x2 ?1 2 有
3 2



1 8k (k ? ) 2 ?2 3 ? 4k 2

得 k ??

1 x2 y2 ? 点C (1, )在椭圆 ? ?1 2 4 3 又 内部

3 y?? x?2 2 故所求直线 l 方程
(Ⅱ)解法 2:若存在这样的直线 l,设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y 2 ) ,

? x12 y12 ?1 ? ? ?4 3 ? 2 2 ? x 2 ? y1 ? 1 ? 3 有? 4

1 2 1 2 2 2 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )?0 3 两式相减得 4
y1 ? y 2 3 x ? x2 ?? ? 1 x1 ? x 2 4 y1 ? y 2

? x1 ? x 2



?C(1,

1 )是MN中点, 有x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ? 1 2

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/



y1 ? y 2 3 ?? x1 ? x 2 2
? 点C在椭圆

即 l 斜率为

?

3 2



x2 y2 ? ? 1 内部 4 3 ,故所求直线 l 方程

3 y?? x?2 2
?c ? ? ,y 0 ? ?, 由 AB ? AC ? 0

28.解: (1) 因为 BH ? 3HC , 所以 H ? 2
c c ? ? ? ? ? y0 ? ? ? c ? , ? y0 ? ? 0 ?? c ? , 2 2 ? ? ? ?
2

?c ? 0? ? , ?

, 又因为 AH⊥BC, 所以设 A ? 2 3分
2 ? c ? 3c ?c ? ? ? 2 4 ? ? 2





2 y0 ?

3 2 c 4

所以|AB| =

2 ? 3c ? 3c ? 3c ? ? ? 2 4 ? ?

,|AC | =
3+

椭圆长轴 2a = |AB| + |AC| = (

1)c,

所以,

e?

c ? 3 ?1 a .

c ? c? y y1 ? 0 x1 ? 2 1 ? ?, 1 ? ? AB ? (2)设 D (x1,y1),因为 D 分有向线段 的比为 ,所以 ,
x2 y2 ? 2 2 设椭圆方程为 a b
2 e 2 y0 ? 2 ?1 = 1 (a > b > 0),将 A、D 点坐标代入椭圆方程得 4 b .①

2 e 2 (1 ? 2? ) 2 y 0 1 ? ? 2 ? ?1 2 4 (1 ? ? ) b (1 ? ? ) 2

…………………………….. ②

2 y 2?? 3 ? 1? e e2 ? ? ?1 4 ? ?1 ? ?1 , 由①得 b ,代入②并整理得

2 0 2

因为 – 5≤ ≤
?

?

?1 1 ? 7 e2 ? ? , ? ? 3 2 ? ,又 2 ,所以

0 < e < 1,所以

3 3

≤e≤

2 2



29.解: (1)设

C( x, y) , G( x0 , y0 ) , M ( xM , yM ).
, ? M 点在线段 AB 的中垂线上

? MA ? MB
由已知

A(?1,0) , B(1,0) , ? xM ? 0 ;又? GM ∥ AB ,? y M ? y0

又 GA ? GB ? GC ? 0

? ?? 1 ? x0 ,? y0 ? ? ?1 ? x0 ,? y0 ? ? ?x ? x0 , y ? y0 ? ? ?0,0?
? x0 ? x , 3 y0 ? y 3 ? yM ? y 3
2

? MB ? MC
? x2 ? y2 ?1 3

?

?0 ? 1?

2

?y ? ? ? ? 0? ? ?3 ?

?0 ? x ?

2

?y ? ? ? ? y? ?3 ?

2

? y ? 0? ,?顶点 C 的轨迹方程为

x2 ?

y2 ?1 3

? y ? 0? .

http://meiliqiaojiarenss.taobao.com/

(2)设直线 l 方程为: y ? k ( x ? 3) , E( x1 , y1 ) , F ( x2 , y 2 )

? y ? k ( x ? 3) ? ? 2 y2 x ? ?1 ? 3 由?
? x1 ? x 2 ?

消去 y 得: k ? 3 x ? 6k x ? 9k ? 3 ? 0 ①
2 2 2 2

?

?

6k 2 k2 ? 3 ,

x1 x 2 ?

9k 2 ? 3 k2 ? 3



PE ? PF ? PE ? PF ? cos 0? ? PE ? PF ? 1 ? k 2 3 ? x1 ? 1 ? k 2 3 ? x 2

? 1 ? k 2 9 ? 3?x1 ? x2 ? ? x1 x2
? 24 ? k 2 ? 1? k ?3
2

?

?

? 1 ? k2

?

? 9k

2

? 27 ? 18k 2 ? 9k 2 ? 3 k2 ? 3

? 24 ?

48 k ?3
2

由方程①知 ? ? 6k

? ?
2

2 2

3 ? 4 k ? 3 9k ? 3 > 0 ? k < 8

?

2

??

2

?

2

3 ? k 2 ? 3 ? ? 3, 27 ? ? PE ? PF ? ? 8, 88 ? ? ? ? ? ? k ? 0 ,? 0 < k < 8 , ? 8 ? ? 9 ?.


更多相关文档:

圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三圆锥...AF1 F2 为正三角形 a2 b2 (1)求椭圆 C 的标准方程及离心率; (2) O 为...

2014高考数学圆锥曲线大题解题方法大全

2014高考数学圆锥曲线大题解题方法大全_数学_高中教育_教育专区。包含圆锥曲线基本...圆锥曲线大题解题方法大全 联立求中点及弦长 例:直线 x 截抛物线 y ? 8x ,...

圆锥曲线典型难题大全集学生版 (1)

圆锥曲线典型难题大全集学生版 (1)_数学_高中教育_...仅有一个公共点及有两个 相异公共点 对于抛物线来...量较大,纵观高考中的解析几何题,若放在后两题,...

高中数学各模块压轴试题整理集及答案

高中数学压轴试题整理集【一、圆锥曲线】 : 1 . (本小题满分 14 分) 设双...EPF 的最大值. B E O A P M F x 3.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,...

2015年高考预测圆锥曲线题集

ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【方法总结】圆锥曲线中常见最值问题及...3 C. 2 D. 5 【安徽省江淮名校 2013 届高考最后一 卷理科数学】已知抛物线...

高中数学经典高考难题集锦(解析版)

(Ⅱ)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值...求出解集,即可得到原不等式的解集.三个题中任选两...圆锥曲线问题时,常常将直线代入曲线方程得到一个一元...

高考真题数学圆锥曲线集合

高考数学圆锥曲线大题集 35页 8财富值 历年高考数学圆锥曲线试题... 77页 免费 圆锥曲线历年高考题 4页 免费 数学圆锥曲线测试高考题选... 10页 免费 2010高...

高考数学大题集锦_图文

高考数学大题集锦_数学_高中教育_教育专区。2009-...N * ,其中 k 是常数.(I) 求 a1 及 an ;(...(Ⅰ)当 a=1,b =2 时,求曲线 y=f(x)在点(...

2014届高考数学一轮复习精品题集之圆锥曲线

2014届高考数学一轮复习精品题集圆锥曲线_高考_高中教育_教育专区。选修 1-1...2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 ( ) A.3 B. 11 C. 2 2 D. 10 x2...

2014高考数学 分项练习大集结 圆锥曲线

2014 高考数学分项练习大集结:圆锥曲线【说明】本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟. 一、选择题(每小题 6 分,共 42 分) 1.方程 x2 sin 3 ? sin 2 ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com