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江苏省2015届高考数学解答题每日一练系列——应用题,解析几何15


江苏高考数学解答题每日一练——应用题,解析几何

编号:015

1、某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租

出多少辆车? (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

2、已知椭圆 E:

1 x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小值为 2. a2 b2 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A、B,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相交于点 M、N. ① 当过 A、F、N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ② 若 cos ?AMB ? ?
65 ,求 △ ABM 的面积. 65

江苏高考数学解答题每日一练——应用题,解析几何

编号:015

3600 ? 3000 ? 12 ,所以这时租出了 88 辆车. 1、讲解: (Ⅰ)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为 50
x ? 3000 ? x ? 3000 (Ⅱ)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为: f ? x ? ? ? ? 50 . ?100 ? ? ? x ? 150 ? ? 50 ? 50 ?
整理得: f ? x ? ? ?

x2 1 2 ? 162 x ? 21000 ? ? ? x ? 4050 ? ? 307050 . 50 50

所以,当 x ? 4050 时, f ? x ? 最大,最大值为 307050. 即当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是 307050 元. c 1 2、解:⑴由已知, ? ,且 a ? c ? 2 ,所以 a ? 4 , c ? 2 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , a 2 x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 + ? 1 .………………………………………………………3 分 16 12 ⑵(ⅰ)由⑴, A(?4,0) , F (2,0) ,设 N (8, t ) . 设圆的方程为 x2 + y 2 + dx + ey + f ? 0 ,将点 A, F , N 的坐标代入,得

? d ? 2, ?16 ? 4d + f ? 0, ? 72 ? ? 解得 ?e ? ?t ? , ……………………………………………6 分 ?4 + 2d + f ? 0, t ? ? 2 ?64 + t + 8d + et + f ? 0, f ? ? 8, ? ?

72 )y ?8 ? 0, t 1 72 1 72 即 ( x + 1)2 + [ y ? (t + )]2 ? 9 + (t + )2 , 2 t 4 t 72 2 72 因为 (t + ) ≥ (2 72)2 ,当且仅当 t + ? ?12 2 时,圆的半径最小, t t 故所求圆的方程为 x2 + y 2 + 2x ? 12 2 y ? 8 ? 0 .………………………………………9 分 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) . ? y ? k ( x + 4), 12 ? 16k 2 24 k ? , ) ,……………………………………………11 分 由 ? x2 y 2 得M( 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ?16 12 ?24 ?24k 32k 2 ?24k 所以 MA ? ( , MB ? ( , ), , ) 2 2 2 3 + 4k 3 + 4k 2 3 + 4k 3 + 4k
所以圆的方程为 x2 + y 2 + 2 x ? (t +
y

所以
4 2

T A O F B
l


x



18题



化简,得 16k ? 40k ? 9 ? 0 ,…………………………………………………………14 分 1 9 1 3 解得 k 2 ? ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2 1 此时总有 yM ? 3 ,所以 △ ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 .…………………………16 分 2


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