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龙泉中学2013届高三理科数学适应性考试(2)


龙泉中学 2013 届高三理科数学适应性考试(2)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

8.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有 ( ) A.

+ =4 B. + =2 C. e12+e22=4 D. e12+e22=2

x2 y 2 6 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 2 a b 3 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点。 (1)求直线 ON ( O 为坐标原点)的斜率 kON ;
21. 已知椭圆 C :

???? ? ??? ? ??? ? (2)设 M 椭圆 C 上任意一点 ,且 OM ? ? OA ? ? OB ,求证: ? 2 ? ? 2 为定值并求出该定值。

18. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , an?1an ? 2an ? an?1 , n ? N . (1)证明数列 {
n

?

1 ? 1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; an
?

(2)求证:

? a (a ? 1) ? 3 , n ? N
i ?1 i i



22. (本小题满分 14 分) (1) 已知函数 f ( x) ? x log3 x ? (1 ? x)log3 (2) 已知 a ? b ? c ? 1, a, b, c ? ?0,?? ? ,求证: a log 3 a ? b log 3 b ? c log 3 c ? ?1 ; (3) 已知 a1

1? x , x ? (0,1) ,求 f ( x) 的单调区间及其最小值; 2

? a 2 ? ? ? a3n ? 1 , ai >0(i=1,2,3,…,3n),求证:

a1 log 3 a1 + a 2 log 3 a 2 + a3 log 3 a3 +…+ a3n log 3 a3n ? ?n

龙泉中学 2013 届高三理科数学适应性考试(2)参考答案
一.选择题:AACAD 二.填空题:11. 40 三.解答题: BCBDA 12. -4 13. 10/1007 14. ①②③ 15.

证法 2:? an ?

2n 2i ,? ai (ai ? 1) ? i (i ? 1, 2,?, n) 2n ? 1 (2 ? 1)2

7

16. 7

2i 2i 2 1 1 ? i ?1 ? ( i ?1 ? i ?1 ) ………………8 分 i 2 i ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 3 2 ? 1 a ? 1 n 21 22 2n ? ? ai (ai ? 1) ? a1 (a1 ? 1) ? a2 (a2 ? 1) ? ?an (an ? 1) ? 1 ? 2 ??? n (2 ? 1)2 (2 ? 1)2 (2 ? 1) 2 i ?1 2 1 1 2 1 1 21 2 1 1 ? 3?1 ) ? ? ? ( n?1 ? n?1 ) ? 1 ? ( 2?1 ? 3?1 ) ? ( 3?1 2 3 2 ?1 2 ?1 3 2 ?1 2 ?1 3 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1) 2 1 1 1 8 ? 2 ? (1 ? ? n ? n?1 ) ? 2 ? ? 3 .………………………………………………12 分 3 3 2 ?1 2 ?1 9
当 i ? 2 时,? ai (ai ? 1) ?

18. (1)注意到 an ? 1 ? 0 ,所以原式整理得: an ?1 ? 由 a1 ? 2 ,an ?1 ?

2an an ? 1

2an 2an 1 1 1 ? 得对 n ? N ,an ? 0 . 从而由 an ?1 ? , 两边取倒数得: , ? ? an?1 2 2an an ? 1 an ? 1 1 1 1 1 1 即 ? 1 ? ( ? 1) ? a1 ? 2 , ? 1 ? ? an?1 2 an a1 2
?1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( )n?1 ? ?( )n ?数列 ? ? 1? 是首项为 ? ,公比为 的等比数列 ? 2 2 an ? 1 2 2 2 ? an ? n n n 2 2 1 1 2 ?1 故数列 ?an ? 的通项公式是 an ? n . ……4 分 ? ? 1 ? n ? n .? an ? n 2 ?1 2 ?1 an 2 2

2n 2i (2)证法 1:? an ? n ,? ai (ai ? 1) ? i (i ? 1, 2,?, n) 2 ?1 (2 ? 1)2

当 i ? 2 时,

? ai (ai ? 1) ?

2i 2i 2i ?1 1 1 ……8 分 ? i ? i ? i ?1 ? i i 2 i i ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1 n 21 22 +? ? ? ai (ai ? 1) ? a1 (a1 ? 1) ?a2 (a2 ?1) ? ? ? an (an ?1) ? 1 ? 2 (2 ? 1) 2 (2 ? 1) 2 i ?1 2n 21 1 1 1 1 1 1 ? 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n?1 ? n ) ? n 2 2 (2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 (2 ? 1) 1 1 ? 2 ?1? n ? 3? n ? 3 .…………………………………………………………12 分 2 ?1 2 ?1

设 n=k 时结论成立,即 a1 + a 2 +…+ a3 k =1, a i >0(i=1,2,3,…,3k)时

a1 log 3 a1 + a 2 log 3 a 2 + a3 log 3 a3 +…+ a3 k log 3 a3 k ≥-k. k+1 那么,n=k+1 时,若 a1 + a 2 +…+ a3 + a3 ?1 +…+ a3 =1, a i >0(i=1,2,3,…,3 )时, ak a1 a2
k k k ?1

令 a3 k ?1 +…+ a3 k ?1 =t,则

1? t 1? t

+

+…+

3

1? t

=1,由归纳假设:

a a a1 a a a log 3 1 + 2 log 3 2 + …+ 3k log 3 3k ≥-k.……………… 8 分 1? t 1? t 1? t 1? t 1? t 1? t a3 k log 3 a3k -(1-t) log 3 (1-t) ≥-k(1-t). ? a1 log 3 a1 + a 2 log 3 a 2 + a3 log 3 a3 +…+
? a1 log 3 a1 + a 2 log 3 a 2 + a3 log 3 a3 +…+ a3 k log 3 a3k ≥-k(1-t)+ (1-t) log 3 (1-t)…(1) a3 k ?1 a3 k ? 2 a2?3 k

设 a2?3 k ?1 +…+ a3 k ?1 =s,则 a3 k ?1 +…+ a2?3 k =t-s, 由归纳假设:

t?s

+

log 3 +…+ ≥-k. t?s t?s t?s t?s t?s t?s ? a3 k ?1 log 3 a3 k ?1 + a3 k ? 2 log 3 a3 k ? 2 +…+ a2?3 k log 3 a2?3 k ≥-k(t-s)+ (t-s) log 3 (t-s) (2)…………10 分 a k a k a k ?1 ? a2?3 ?1 +…+ a3 =s,? 2?3 ?1 + 2?3 ? 2 +…+ 3 =1;由归纳假设同理可得: s s s a2?3k ?1 log 3 a2?3k ?1 + a2?3 k ? 2 log 3 a2?3 k ? 2 +…+ a3k ?1 log 3 a3k ?1 ≥-ks+ s log 3 s ……(3) log 3
+

a3 k ?1

a3 k ?1

a3 k ? 2

log 3

a3 k ? 2

t?s a2?3 k

+…+

t?s a2?3 k

=1,

k

k ?1

将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得:

22. 解: (1) 由 f ( x) ? x log3 x ? (1 ? x)log3

1? x 2x , 得: f '( x) ? log3 , 2 1? x ?1 ? ? 1? 令f '( x) ? 0 ? x ? ? ,1? , 令f '( x) ? 0 ? x ? ? 0, ? ?3 ? ? 3? 1 1 1 故 f ( x) 在(0, )递减,在( ,1)上递增; ? f ( x) ? f ( ) ? ?1 3 3 3 (2) ? a+b+c=1,a、b、c∈(0,+∞), ? a log3 a ? b log3 b ? c log3 c ? a log3 a ? b log3 b ? (1? a ? b ) log3 (1? a ? b ) 设 g ( x) ? x log3 x ? b log3 b ? (1 ? x ? b)log3 (1 ? x ? b) 则 g '( x) ? log3 x ? log3 (1 ? x ? b)
?1? b ? ? 1? b ? 令g '( x) ? 0 ? x ? ? ,1? , 令f '( x) ? 0 ? x ? ? 0, ? 2 ? ? 2 ? ? ? 1? b ? ?1? b ? 1 ,1? ( ,1)上递增; 故 g ( x) 在 ? 0, ? 上递减,在 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 1? b 1? b ? g ( x) ? g ( ) ? b log3 b ? (1 ? b)log3 ,由(1)得 f (b) ? ?1 即 g ( x) ? ?1 恒成立 2 2
故 g ( a ) ? ?1 即证 a log3 a ? b log3 b ? c log3 c ? ?1 , 当 a=b=c= (3)证明:n=1 时, a1 + a 2 + a3 =1, a i >0(i=1,2,3),由(1)知

a1 log 3 a1 + a 2 log 3 a 2 +…+ a3 k log 3 a3k +…+ a2?3 k log 3 a2?3 k +…+ a3k ?1 log 3 a3k ?1 ≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t) log 3 (1-t)+ (t-s) log 3 (t-s) + s log 3 s 而(1-t)+(t-s)+s=1,(1-t)>0,(t-s) >0,s >0。? (1-t) log 3 (1-t)+ (t-s) log 3 (t-s) + s log 3 s≥-1。 ? -k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t) log 3 (1-t)+ (t-s) log 3 (t-s) + s log 3 s≥-k-1=-(k+1)。 ? a1 log 3 a1 + a 2 log 3 a 2 +…+ a3 k log 3 a3k +…+ a3k ?1 log 3 a3k ?1 ≥-(k+1)。 ? n=k+1 时,题设结论成立。综上所述,题设结论得证。…………………………14 分

1 时等号成立。 3

a1 log 3 a1 + a 2 log 3 a 2 + a3 log 3 a3 ≥-1 成立,即 n=1 时,结论成立。


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