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必修四第一章三角函数任意角和弧度制习题总结


1、终边在 x 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 2、弧长公式:L=

,终边在 y 轴上的角的集合为 . ;扇形面积公式:S= .



3、定义:设 P(x, y)是角 ? 终边上任意一点,且 |PO| =r,则 sin ? = cos ? = ;tan ? = ;



例 2、 已知角 ? 的终边经过点 P (? 3, m)( m ? 0), 且 sin ? ? 并求 cos? 和 tan ? 的值.

2 m, 试判断角 ? 所在的象限, 4

例 3、已知一扇形中心角为 ? ,所在圆半径为 R. (1) 若 ? ?
?
3

,R=2cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形面积;

(2) 若扇形周长为一定值 C(C>0),当 ? 为何值时,该扇形面积最大,并求此最大值. 1、若锐角 α 终边上一点坐标为(2sin3,-2cos3),则角 α 的弧度数为_______________ 2、若角 α 满足条件 sin2α<0,sinα-cosα<0,则 α 在______________象限 3、若 cosα=

2x ? 3 ,又 α 是第二,三象限角,则 x 的取值范围是_______________ 4? x

4、 一个半径为 r 的扇形,如果它的周长等于弧所在半圆的弧长,那么该扇形的圆心角度数 是________弧度或_____角度,该扇形的面积是____________________

题组一:角的集合表示
1.若角 α 的终边与角 β 的终边关于原点对称,则 A.α=β B.α=180° +β C.α=k· +β,k∈Z 360° ( ) D.α=k· +180° 360° +β,k∈Z

β 2.若角 β 的终边与 60°角的终边相同,在 0°~360°内,终边与角 的终边相同的角为 3 ________. 4、终边在第二象限的角的集合可以表示为: A. ∣90°<α <180°} {α B. ∣90°+k· {α 180°<α <180°+k· 180°,k∈Z} C. ∣-270°+k· {α 180°<α <-180°+k· 180°,k∈Z} D. ∣-270°+k· {α 360°<α <-180°+k· 360°,k∈Z} 5、下列命题是真命题的是( ) Α .三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角 ( )

C




?


?






?


?









D. ? | ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z = ? | ? ? k ? 180 ? 90 , k ? Z

?

??

?


6、已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系是( A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C

7、已知角 2α 的终边在 x 轴的上方,那么α 是 ( ) A.第一象限角 B.第一、二象限角
?

C.第一、三象限角

D.第一、四象限角

8、若 ? 是第四象限的角,则 180 ? ? 是 . A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 9、设集合 A ? x | k ? 360 ? 60 ? x ? k ? 360 ? 300 , k ? Z ,
? ? ? ?

?

?

B ? x | k ? 360 ? ? 210 ? ? x ? k ? 360 ? , k ? Z ,求 A ? B , A ? B .
1.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 2.如果一扇形的圆心角为 120°,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. 3.若 1 弧度的圆心角所对的弦长等于 2,则这圆心角所对的弧长等于 1 A.sin 2 π B. 6 1 C. 1 sin 2 1 D.2sin 2 ( )
2

?

?

4.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,点 P 所旋转过的弧 ? 的 长为 l,弦 AP 的长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为( AP )

5.已知一扇形的中心角是 α ,所在圆的半径是 R.若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 及该弧所在的弓形面积.

6.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧所在 的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值 c(c>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? π 10 解:(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60° ,R=10,∴l= π(cm), = 3 3 1 10 1 π 3 S 弓=S 扇-S△= × π×10- ×102×sin60° =50( - )(cm2). 2 3 2 3 2

(2)法一:∵扇形周长 c=2R+l=2R+αR,∴R= 1 α· 4+4α+α2

c ,∴S 2+α



1 1 c 2 c2 = α· 2 = α( R ) = 2 2 2+α 2

c2 1 c2 4 c2 = · ≤ .∴当且仅当 α= , α=2(α=-2 舍去)时, 即 扇形面积有最大值 . 2 4 16 α 16 4+α+ α c-l 1 1 c-l 1 1 c c2 法二:由已知 2R+l=c,∴R= (l<c),∴S= Rl= · · (cl-l2)=- (l- )2+ , l= 2 2 2 2 4 4 2 16 c 2 c c2 l ∴当 l= 时,Smax= ,此时 α= = =2, 2 16 R c c- 2 2 c2 ∴当扇形圆心角为 2 弧度时,扇形面积有最大值 . 16 7.扇形 AOB 的周长为 8 cm.(1)若这个扇形的面积为 3 cm ,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α ,
2

?2r+l=8, ? (1)由题意可得?1 ?2lr=3, ?

解得?

?r=3, ? ? ?l=2,

或?

?r=1 ? ? ?l=6,

l 2 l ∴α = = 或 α = =6. r 3 r

8 1 2 1 64 (2)∵2r+l=2r+α r=8,∴r= .∴S 扇= α r = α · 2= 2+α 2 2 (2+α )

32 ≤4, 4 α + +4 α 4 8 当且仅当 α = ,即 α =2 时,扇形面积取得最大值 4.此时,r= =2 (cm), α 2+2 ∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm).

题组三:三角函数的定义
1.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα ·cosα = 3 ,则 a 的值为________. 4 2 y,求 cosα , 4

2.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα = tanα 的值.

3π 3π 3. 已知点 P(sin , cos )落在角 θ 的终边上, θ ∈[0,2π ), θ 的值为________. 且 则 4 4 2 4. 已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上, 终边在直线 y=kx 上, sinα = , cosα <0, 若 且 5 则 k 的值为________. 2π 5.点 P 从(1,0)出发, 沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点, Q 的坐标为 ( ) 则 3 1 3 A.(- , ) 2 2 B.(- 3 1 ,- ) 2 2 1 3 C.(- ,- ) 2 2 D.(- 3 1 , ) 2 2

6.在(0,2π)内使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围是 π π ? 5? ? A.?4,2?∪ ? ? , ? ? ? π B.?4,π? ? ? π 5π C.?4, 4 ? ? ? sinα + 1-sin2α

(

)

?

4 ?

π 5π 3π D.?4,π?∪? 4 , 2 ? ? ? ? ? 1-cos2α 的值等于 cosα

7. 若 角 α 的 终 边 落 在 直 线 y = - x 上 , 则 ( A )A.0 B.2 C.-2

D.2tanα

m , (m ? 0) ,则 sinα +cosα =______. 13 3 3 9.已知锐角α 的终边上一点坐标为 (2 sin ? ,?2 cos ? ) ,则角α 的弧度数是________. 4 4 2 ? 3 x ? 2 x ?3 10.设 ? ? ( , ? ) ,函数 f ( x) ? (sin ? ) 的最大值为 ,则α =_____________. 2 4
8.角α 的终边上有一点 P(m,5) ,且 cos? ? 11.(1)设 90° <α<180° ,角 α 的终边上一点为 P(x, 5),且 cosα= 值; (2)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tanθ=-x,求 sinθ,cosθ. 12. 已知角α 终边上的一点 P, 与 x 轴的距离和它与 y 轴的距离之比为 3 : 且 s P 4, n i 求:cosα 和 tanα 的值. 解:设 P(x,y),则依题意知|y| :|x| =3 :4 ∵sinα <0∴α 终边只可能在第三、四象限或 y 轴负半轴上 若 P 点位于第三象限, 可设 P (-4k, -3k) , (k>0) ∴r=5k, 从而 cos? ? ? 2 x,求 sinα 与 tanα 的 4

? ?0

4 3 ,tan? ? 5 4 4 3 若 P 点位于第四象限,可设 P(4k,-3k)(k>0)∴r=5k,从而 cos? ? ,tan? ? ? , 5 4
又由于|y| :|x| =3 :4,故α 的终边不可能在 y 轴的负半轴上 综上所述:知 cosα 的值为

4 4 3 3 或 ? ,tanα 的值为 ? 或 5 5 4 4

12.设 0≤α<2π,若 sinα> 3cosα,则 α 的取值范围是( ) π π π π 4π π 3π A.( , ) B.( ,π) C.( , ) D.( , ) 3 2 3 3 3 3 2 14.设 0≤x<2π,且 1-sin2x=sinx-cosx,则( ) π 7π π 5π π 3π A.0≤x≤π B. ≤x≤ C. ≤x≤ D. ≤x≤ 4 4 4 4 2 2 1 cosθ 15.若 sinθcosθ= ,则 tanθ+ 的值是( ) 2 sinθ π 16.若 sinα+cosα=tanα(0<α< ),则 α 的取值范围是( ) 2 π π π π π π π A.(0, ) B.( , ) C.( , ) D.( , )、 6 6 4 4 3 3 2

题组四:三角函数值的符号
1.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α α α ①tan ②sin ③cos ④cos2α 2 2 2 2.若 sinα <0 且 tanα >0,则 α 是第_______象限的角.答案:三 |sinx| cosx |tanx| 3.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 4.若 1+sinx· sin2x+cosx· cos2x=0,则 x 不可能是 . 象限的角

(

)

A.任何象限的角 B.第一、二、三象限的角 C.第一、二、四象限的角 D.第一、三、四

5.若 θ 为第一象限角,则能确定为正值的是 θ A.sin 2 θ B. cos 2 θ C.tan 2 D.cos2θ (

(

)

6.设 0≤θ<2π,如果 sinθ<0 且 cos2θ<0,则 θ 的取值范围是 3π A.π<θ< 2 3π B. <θ<2π 2 π 3π C. <θ< 4 4

)

5π 7π D. <θ< 4 4 ( )

7.已知α 的终边经过 P( sin ? , cos ? ) ,则α 可能是 A. ?

5 6

B.

? 6

5 6

5 6

C. ?

?
3

D.

8.若θ 是第三象限角,且 cos A.第一象限角 9.函数 y ?

?

? ? 0 ,则 是 2 2
C.第三象限角 ,

? 3
( D.第四象限角 )

B.第二象限角

sin x ? ? cos x 的定义域是

10.若 sin2α>0,且 cosα<0,则角 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角

D.第四象限角


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