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2016圆锥曲线与导数模拟精选


19. (本题满分 15 分)

y2 x2 已 知 椭 圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的 左 右 焦 点 为 F ,离心率为 e .直线 1, F 2 b a l : y = ex + a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A, B 两点,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是
点 F1 关于直线 l

的对称点,设 (Ⅰ)若 l = .

3 ,求椭圆 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若 DPF 为等腰三角形,求 l 的值. 1F 2

19. (本小题满分 15 分)如图,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A(0,1) , a2 b2
y

3 离心率为 . 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 A 作圆 M : ?x ? 1? ? y 2 ? r 2
2
B D M

A

O

x

?0 ? r ? 1? 的两条切线分别与椭圆 C 相交
于点 B, D ( 不同于点 A ). 当 r 变化时 ,试

(第 19 题图)

问直线 BD 是否过某个定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 19. (本小题满分为 15 分)

?b ? 1, ? 3 ?c 解: (Ⅰ) 由已知可得, ? ? , ? a ? 2, b ? 1 , a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ?
所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

---------------------------5 分

(Ⅱ)设切线方程为 y ? kx ? 1 ,则

|1 ? k | ? r ,即 (1 ? r 2 )k 2 ? 2k ? 1 ? r 2 ? 0 , 1? k 2

设两切线 AB, AD 的斜率为 k1 , k2 (k1 ? k2 ) ,则 k1 , k2 是上述方程的两根,所以

k1 ? k2 ? 1 ;

------------------------------------8 分

? y ? kx ? 1 ? 2 2 由 ? x2 得: (1 ? 4k ) x ? 8kx ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
所以 x1 ?

?8k1 1 ? 4k12 , , y ? 1 1 ? 4k12 1 ? 4k12
2 ?8k2 ?8k1 1 ? 4k2 k12 ? 4 ,-----------------12 分 ? 2 , y2 ? ? 2 2 2 1 ? 4k2 k1 ? 4 1 ? 4k2 k1 ? 4

同理可得: x2 ?

所以 k BD

k12 ? 4 1 ? 4k12 ? k12 ? 4 1 ? 4k12 k 2 ?1 , ? ?? 1 ?8k1 ?8k1 3 k 1 ? k12 ? 4 1 ? 4k12

于是直线 BD 方程为

y?
令 x ? 0 ,得

1 ? 4k12 k12 ? 1 ?8k1 ? ? (x ? ), 2 1 ? 4k1 3k1 1 ? 4k12

1 ? 4k12 k12 ? 1 ?8k1 ?5 ? 20k12 5 y? ? ? ? ?? , 2 2 2 1 ? 4k1 3k1 1 ? 4k1 3(1 ? 4k1 ) 3
故直线 BD 过定点 (0, ? ) . 20. (本小题满分 12 分)

5 3

----------------------------15 分

1 2 ,0)为抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点,点 N( x0 , y0 ) ( y0 >0)为其 2 5 上一点, 点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 直线 l 与抛物线交于异于 M, N 的 A, B 两点, 且|NF|= , 2
已知 F(

k NA ? k NB ? ?2 。
(Ⅰ)求抛物线方程和 N 点坐标; (Ⅱ)判断直线 l 中,是否存在使得 ?MAB 面积最小的直线 l ' ,若存在,求出直线 l ' 的 方程和 ?MAB 面积的最小值;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, g ( x) ? ?

1? a (a ? R) . x

(Ⅰ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ≤ g ( x) 在区间[1,e](e=2.71828?)的解集为非空集合,求实 数 a 的取值范围 . 20. (1)由题意

p 1 ? ,则 p ? 1 , 2 2
2

故抛物线方程为 y ? 2 x 。 由|NF|= x0 ? ∵ y0>0 , ∴ y0 ? 2 , 所以 N(2,2) 。 (4 分)

p 5 2 ? ,则 x 0 ? 2, y0 ? 4 。 2 2

(2)由题意知直线的斜率不为 0,则可设直线 l 的方程为 x ? ty ? b 。 联立方程组 ?

? y2 ? 2x 2 ,得 y ? 2ty ? 2b ? 0 。 ? x ? ty ? b

y y 设两个交点 A( 1 , y1 ) ,B( 2 , y2 ) ( y1 ≠±2, y2 ≠±2) ,则 2 2

2

2

?? ? 4t 2 ? 8b>0, ? ? y1 ? y2 ? 2t , ? y y ? ?2b. ? 1 2
由 k NA ? k NB ?

(6 分)

y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? 2 ? ? ?2 ,整理得 2 y1 ? 2 y2 ? 2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) 2 2
(8 分)
2

b ? 2t ? 3 。
此时, ? ? 4(t ? 4t ? 6)>0 恒成立。

故直线 l 的方程可化为 x ? 3 ? t ( y ? 2) ,从而直线 l 过定点 E(3,-2) 。 (9 分) 因为 M(2,-2) , 所以 M,E 所在直线平行 x 轴, 所以△MAB 的面积 S ?

1 ME y1 ? y2 ? t 2 ? 4t ? 6 ? (t ? 2) 2 ? 2 当 t=-2 时有最小值为 2
(12 分)

2 ,此时直线 l ' 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 。

解法二: (2)当 l 的斜率不存在时, l : x ? 2 (舍) 或 x ? 3 ,此时△MAB 的面积 s ? 当斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ---------------------------6 分

6

? y2 ? 2x 2 ? 2kb b2 2 2 2 ? k x ? (2 kb ? 2) x ? b ? 0 x ? x ? , x x ? , ? 1 2 1 2 k2 k2 ? y ? kx ? b
y1 ? y2 ?
2

2 2b , y1 y2 ? k k
2

k NA ? k NB ?

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? ?2 x1 ? 2 x2 ? 2

得 6k ? (5b ? 2)k ? b ? 4 ? 0 ? b ? ?3k ? 2 或 b ? ?2k ? 2 舍-----------9 分 点 M 到直线的距离 d ?

k 1? k 2

, AB ?

2 1 ? k 2 ? 1 ? 2kb 2 1 ? k 2 ? 1 ? 6k 2 ? 4k ? k2 k2

1 6k 2 ? 4k ? 1 1 4 S ? AB ? d ? ? ? ?6 ? 2 2 2 k k2 k
----------------------------------11 分

综上,所以△MAB 的面积最小值为 2 ,此时 k ? ?

1 直线 l ' 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 2
--------------------12 分

21. (1) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为(0,+∞) , x
???????

h?( x) ? 1 ?
?2 分

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1) ? x ? (1 ? a ) ? ? 2 ? ? x x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时,令 h?( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a, 令 h?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1, ? a 故 h( x) 在 (0,1 ? a ) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递 增 ????????3 分

②当 a ? 1 ? 0, 即 a ? ?1 时, h?( x) ? 0 恒成立, h( x) 在(0,+∞)上单调递增。 ????????4 分 综上,当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递减区间为 (0,1 ? a ) ,单调递增区间为 (1 ? a, ??) 。 当 a ? ?1 时, h( x) 的单调递增区间为(0,+∞) ,无单调递减区间。 ????????5 分 (2)由题意可知,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 在区间[1,e](e=2.71828?)的解集为非空集合, 即在[1,e]存在 x0 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 由(1)中 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则在[1,e]存在 x0 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a 在[1,e]上的最小值 h( x) min ? 0 x

????????6 分

由(1)知,当 a ? ?1 时,h( x) 在[1,e]上单调递增,? h( x) min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,? a ? ?2 7分 当 a ? ?1 时 ①当 a ? 1 ? e, 即 a ? e ? 1 时, h( x) 在[1,e]上单调递减,

? h( x) min ? h(e) ? e ?

1? a e2 ? 1 ? a ? 0,? a ? , e e ?1
????

e2 ? 1 e2 ? 1 ? ? e ? 1,? a ? ; e ?1 e ?1
????9 分 ②当 0 ? a ? 1 ? 1, 即 ?1 ? a ? 0 时, h( x) 在[1,e]上单调递增,

? h( x) min ? h(1) ? 2 ? a ? 0,? a ? ?2
解 ????????10 分

,



③当 1 ? a ? 1 ? e, 即 0 ? a ? e ? 1 时,h( x) 在 ?1,1 ? a ) 上单调递减, 在 ? a ? 1, e ? 上单调递增 合题意。 ????????11 分

? h( x) min ? h(a ? 1) ? a ? 2 ? a ln(a ? 1), 此时 h( x) min ? 0 ,不

e2 ? 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a ? 或 a ? ?2 ????????12 分 e ?1
20、 (本小题满分 12 分) 设抛物线 y 2 ? 8x 的交点为 F,定直线 l : x ? 4 ,P 为平面上一动点,过点 P 作 l 的垂线, 垂足为 Q, 且 ( PQ ? 2 PF ) ? ( PQ ? 2 PF ) ? 0 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)直线 l 是圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 的任意一条切线, l 与曲线 C 交于 A、B 两点,若乙 AB 为 直径的圆横过原点,求圆 O 的方程,并求出 AB 的取值范围。 21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 是 5x ? 4 y ? 1 ? 0 (1)求 a , b 的值; (2)若当 x ??0, ??? 时,恒有 f ? x ? ? kg ? x ? 成立,求 k 的取值范围; (3)若 5 ? 22361 ,试估计 ln ax +2ax+b (1)f(x)= 2 (x+1)
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

ax 2 ? bx , g ? x ? ? ln ? x ? 1? , 曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 x ?1

5 的值(精确到 0.001 ) 4
3a+b 5 = 4 4 f(1)= a+b 3 = 2 2 解得:

由 题 意 : f(1)=

a=1,b=2………………3 分 x +2x 由(1)知:f(x)= x+1 令 F(x)= x +2x -kln(1+x) x+1
2 2

由题意: ,

x +2x -kln(1+x)≥0 x+1

2

1 k 则 F(x)=1+ ………………5 分 2 (1+x) 1+x

1 k x +(2-k)x+2-k 解法一:F ?(x)=1+ = 2 2 (1+x) 1+x (1+x) 令△=(2-k) -4(2-k)=(k-2)(k+2) (1)当△≤0 即-2≤k≤2 时,x +(2-k)x+2-k≥0 恒成立,所以 F ?(x)≥0 ∴F(x)在 x ?[0,+∞)上单调递增 即 f(x)≥kg(x) 恒成立 ∴-2≤k≤2 时合题意 k-2- k -4 k-2+ k -4 (2)当△>0 即 k<-2 或 k>2 时,方程 x +(2-k)x+2-k=0 有两解 x1= ,x2= 2 2
2 2 2 2 2

2

∴F(x)≥F(0)=0 恒成立

此时 x1+x2=k-2,x1x2=2-k ①当 k<-2 时, x1x2=2-k>0, x1+x2=k-2<0 ∴F(x)在 x ?[0,+∞)上单调递增 即 f(x)≥kg(x) 恒成立 ∴k<-2 时合题意 ②当 k>2 时, x1x2=2-k<0, ∴x1<0,x2>0 ∴F ?(x)= (x-x1)(x-x2) 2 (1+x) ∴x1<0,x2<0 (x-x1)(x-x2) ∴F ?(x)= >0 2 (1+x)

∴F(x)≥F(0)=0 恒成立

∴当 x ?(0,x2)时,F ?(x )<0, ∴F(x)在 x ?(0, x2)上单调递减 ∴当 x ?(0,x2)时,F(x)<F(0)=0 这与 F(x)≥0 矛盾,∴k>2 时不合题意 综上所述,k 的取值范围是(-∞,2] ………………8 分 1 k 1 1 解法二:F ?(x)=1+ = (1+x+ -k) 2 (1+x) 1+x 1+x 1+x 1 ①∵1+x+ ≥2, ∴当 k≤2 时, F ?(x)≥0 1+x ∴F(x)在 x ?[0,+∞)上单调递增 即 f(x)≥kg(x) 恒成立 ∴k≤2 时合题意 ②当 k>2 时,令 F ?(x)=0 得 x1<0<x2,结合图象可知, 当 x ?(0,x2)时, F ?(x )<0, ∴F (x) k-2+ k -4 在 x ?(0, x2)上单调递减(其中 x2= ) 2 ∴当 x ?(0,x2)时,F(x)<F(0)=0 这与 F(x)≥0 矛盾,∴k>2 时不合题意 综上所述,k 的取值范围是(-∞,2] ………………8 分 -1 x1 2 x2 y=k
2

y=k 2 -1 x1 x2

∴F(x)≥F(0)=0 恒成立

(3)由(2)知:当 k≤2 时,
2

x +2x ≥kln(1+x)在 x≥0 时恒成立 x+1
2

2

x +2x (x+1) -1 取 k=2,则 ≥2ln(1+x) 即: ≥2ln(1+x) x+1 x+1 5 -1>0 得:2ln 4
2

令 x=

5 -1 5 4 < 4 5 4

5 5 ∴ln < ≈0.2236………………10 分 4 10
2

x +2x k-2+ k -4 由(2)知:当 k>2 时, <kln(1+x)在(0, )时恒成立 x+1 2 k-2+ k -4 令 = 2
2 2

5 -1 4

9 5 解得:k= 10
2

x +2x 9 5 k-2+ k -4 ∴ < ln(1+x)在 x ?(0, )上恒成立 x+1 10 2 5 -1 4 5 9 5 -1 得: < ln 4 5 10 4 5 4 5 2 ∴ln > ≈0.2222 4 9

取 x=

5 0.2236+0.2222 ∴ln = =0.2229 4 2 ∵精确到 0.001 5 ∴取 ln =0.223………………12 分 4

20. 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E : 的点,且 PF2 ? x 轴, PF1 ? PF2 ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, P 是椭圆 E a 2 b2



???? ???? ?

1 2 a .直线 l 经过 F1 ,与椭圆 E 交于 A , B 两点, F2 与 16

A , B 两点构成△ ABF2 .
(1)求椭圆 E 的离心率; (2)设△ F 1PF2 的周长为 2 ? 3 ,求△ ABF2 的面积的最大值.

21.设函数 f ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? bx ,其中 a , b 是实数.已知曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相 切于坐标原点. (1)求常数 b 的值; (2)当 0 ? x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证: e ? (

1001 1000.4 ) . 1000

20.解: (1)设点 P 在第一象限,则 P (c,

???? ???? ? b2 b2 b2 ) , PF1 ? (?2c, ? ) , PF2 ? (0, ? ) , a a a

∴ PF1 ? PF2 ?

???? ???? ?

b4 1 2 3 ? a ,∴ a2 ? 4b2 ? 4(a2 ? c2 ) ,∴ 3a 2 ? 4c2 ,∴ e ? . 2 a 16 2

?a ? 1, ? 1 ?2c ? 3a, ? 2 (2)∵ ? ∴? 3 ∴b ? 4 , , ? ?2a ? 2c ? 2 ? 3, ?c ? ? 2
∴椭圆方程为 x2 ? 4 y 2 ? 1 . 由题知直线斜率不为 0,折直线方程为 x ? ty ?

3 , 2

? 3 , ? x ? ty ? 2 2 由? 2 得 4(t ? 4) y ? 4 3ty ?1 ? 0 , ? x 2 ? 4 y 2 ? 1, ?
y1 ? y2 ?

1 3t , y1 y2 ? ? , 2 4(t ? 4) t ?4
2

S?ABF2

1 1 1 t 2 ?1 ? 3 ? 3 ? , “ ? ”成立 ? c | y1 ? y2 |? 3 2 2 9 12 2 (t ? 4) (t 2 ? 1) ? 2 ?6 t ?1
1 . 2

2 时 t ? 2 ,所以面积的最大值为

21.解: (1)因为 y ? f ( x) 与 x 轴相切于坐标原点,故 f '(0) ? 0 ,故 b ? 1 . (2) f '( x) ? ? a ln(1 ? x ) ?

ax ? 2a ? 1 1 ? ax ? 1, x ??0,1? , f ''( x) ? ? . 1? x (1 ? x) 2

①当 a ? ?

ax ? 2a ? 1 1 ?0, 时,由于 x ??0,1? ,有 f ''( x) ? ? 2 (1 ? x) 2

于是 f '( x) 在 x ??0,1? 上单调递增, 从而 f '( x) ? f '(0) , 因此 f ( x ) 在 x ??0,1? 上单调递增, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 ,而且仅有 f (0) ? 0 ,符合; ②当 a ? 0 时,由于 x ??0,1? ,有 f ''( x) ? ?

ax ? 2a ? 1 ?0, (1 ? x) 2

于是 f '( x) 在 x ??0,1? 上单调递减,从而 f '( x) ? f '(0) ? 0 ,

因此 f ( x ) 在 x ??0,1? 上单调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 不符; ③当 ?

1 ax ? 2a ? 1 ? 2a ? 1 ? ? a ? 0 时, 令 m ? min ?1, ? 当 x ??0, m? 时,f ''( x) ? ? ?0, ?, 2 2 a ? ? ?1 ? x ?

于是 f '( x) 在 x ??0, m? 上单调递减,从而 f '( x) ? f '(0) ? 0 ,因此 f ( x ) 在 x ??0, m? 上单 调递减,即 f ( x) ? f (0) ? 0 ,而且仅有 f (0) ? 0 ,不符. 综上可知,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? ] . (3)对要证明的不等式等价变形如下: 对于任意的正整数 n ,不等式 (1 ? )

1 2

1 n

n?

2 5

? e 恒成立,等价变形 (1 ?

2 1 1 ) ln(1 ? ) ? ? 0 相 5n n n

当于 (2) 中a ? ?

2 1 ? 1? ,m ? 的情形, f ( x ) 在 x ? ?0, ? 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 , 5 2 ? 2? 1 2 1 1 , 得: 对于任意正整数 n 都有 (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 成立; n 5n n n

而且仅有 f (0) ? 0 ; 取x? 令 n ? 1000 得证. 20. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆:

x2 ? y 2 ? 1 ,点 A, B 是它的两个顶点,过原点且斜率为 k 的直线 l 与线 4

段 AB 相交于点 D ,且与椭圆相交于 E , F 两点. (1)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值.

??? ?

????

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ? 2? x ? a ln x . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值;

(3)若方程 f ? x ? ? c ? c ? R ? 有两个不相等的实数根 x1 , x2 , 比较 f ' ?

? x1 ? x2 ? 2

? ? 与 0 的大小. ?

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,上顶点为 A ,短轴长为 2,O 为 a 2 b2

原点,直线 AF 与椭圆 C 的另一个交点为 B ,且 ? AOF 的面积是 ? BOF 的面积的 3 倍. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图, 直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点, 若在椭圆 C 上存在点 R, 使 OPRQ 为平行四边形,求 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? (3 ? a) x ? a ? 2ln x(a ? R). (1)若函数 y ? f ( x) 在区间 (1,3) 上单调,求 a 的取值范围;
1 (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 (0, ) 上无零点,求 a 的最小值. 2


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