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北京四中2009-2010学年上学期期中考试高一数学试卷


北京四中 2009-2010 学年上学期高一年级期中考试数学试卷
(试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟) 试卷分,为两卷,卷(Ⅰ)100 分,卷(Ⅱ)50 分 卷(Ⅰ) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.集合 U={1,2,3,4,5},集合 A={2,4},则 ? UA=( ) A.{1,3,5} B.{1,2,3}

C.{1,2,4,5} x 2.函数 y= 2 ? 1 的定义域是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0) C.[0,+∞] 3.下列函数是偶函数的为( ) A.y=
1 x
2

D.{1,4} D.(0,+∞) D.y=x1 x

B.y=Inx
1 B.f(x)= x

C.y=

1 | x | ?2
x

4. 下列函数 f(x)中, 满足 “对任意 x1, x2∈(0, +∞), 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)” 的是( A.f(x)=(x-1) C.f(x)=e

)

D.f(x)=In(x+1) D.(-∞,2)

5.函数 y=log(x2-6x+8)的单调递增区间是( ) A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.(4,+∞) 3 6.若函数 f(x)=x +3x-1,x∈[-1,l],则下列判断正确的是( ) A.方程 f(x)=0 在区间[0,1]内一定有解 B.方程 f(x)=0 在区间[0,1]内一定无解 C.函数 f(x)是奇函数 D.函数 f(x)是偶函数 7.若 f(x)是偶函数,且 x>0 时,f(x) =10x,则 x<0 时,f(x)=( A.10x B.10-x C.-10-x 8.已知 a>0,a≠1,函数 y=ax,y=loga(-x)的图象大致是下面的 (

) D.-10x )

9.设 a=log3π ,b=log2 3 ,c=log 1 2 ,则(
3

)

A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 10.设定义在 R 上的函数 y=f(x)是偶函数,且 f(x)在(-∞,0)为增函数.若对于 x1<0<x2, 且 x1+x2>0,则有( ) A.f(|x1|)<f(|x2|) B.F(-x2) >f(-x1) C.f(x1)<f(-x2) D.F(-x1) >f(x2) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数 y=x2+2x+1,x∈[1,3]的值域是 . 12.已知 f(x)= ?
?3x ? 1, x ? 0 ? ,则 f(-1)的值为 2 ? ?2x , x ? 0



13.计算:3log39+log 1 4-8 3 =
2

2

. .

14.已知函数 f(x)=ax2+(1-3a)x+a 在区间 ?1, ?? ? 上递增,则 a 的取值范围是 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 15.设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求 ? R(A∪B)及( ? RA)∩B. 16.已知函数 f(x)=kx- ,且 f(1)=1. (1)求实数 k 的值及函数的定义域; (2)判断函数在(0,+∞)
1 x

17.设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)若 f(x)是偶函数,试求 a 的值; (2)在(1)的条件下,求 f(x)的最小值; (3)甲同学认为:无论 a 取何实数,函数 f(x)都不可能是奇函数.这种说法是否正确?请 说明理由. 卷(Ⅱ) 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分) 1.已知函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2,+∞]上是增函数,则实数 m 的取值范围是( ) A.[-16,+∞] B.[-8,+∞] C.(-∞,-16) D.(-∞,-8) - 2.若 a>1,且 a+a 1=2 2 ,则 a-a-1 的值等于( ) A. 6 B.2 或-2 C.-2 D.2 |x-1| 3.函数 y=2 的图象是( )

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 4.函数
1? y= ? ? ? ?2?
3?2x ?x 2

的定义域为________________,值域为_________________.

5.若 0<a<b<1,则在 ab,ba,logab,b,logba 这四个数中最大的一个是________________. 三、解答题(本大题共 3 小题,满分共 30 分) 6.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),(a>0,且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)设 a= ,解不等式 f(x)>0.
1 ? 2x ? 3x ? a (其中 a 为实数),如果当 x∈(-∞,1)时恒有 f(x)>0 成立,求实数 a 的 3
1 2

7.设 f(x)=

取值范围. 8.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足;对任意 a,b∈(0,+∞),都有 f(b)=f(a)-f( ),且
a b

当 x>1 时,f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断并证明函数 f(x)的单调性; (3)如果 f(3)=1,解不等式 f(x)-f(
1 )>2. x ?8

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B 9.A 10.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题5分,共 20 分) 11.[4,16] 12.2 13.0 14.[0,1] 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 15.解: ? R(A∪B)={x|x≤2 或 x≥10}. ( ? RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. 16.解:(1)由 f(1)=1 得 k=2,定义域为{x∈R|x≠0}; (2) 为 增 函 数 . 在 (0 , + ∞ ) 任 取 两 数 x1 , x2 . 设 x2>x1>0 , 则 f(x2)-f(x1)=(2x21 1 1 1 )-(2x1- )=(x2-x1)(2+ )因为 x2>x1>0,所以 x2-x1>0,2+ >0, x2 x1 x1 x 2 x 2 x1

所以 f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),所以 f(x)为增函数. 17.解:(1)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)在 R 上恒成立,即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1, 化简整理,得 ax=0 在 R 上恒成立,所以 a=0. 法二:由 f(x)是偶函数知,f(-1)=f(1) 即(-1)2+|-1-a|+1=12+|1-a|+1 整理得|a+1|=|a-1|,解得 a=0 再证明 f(x)=x2+|x|+1 是偶函数,所以 a=0 (2)由(I)知 a=0,所以 f(x)=x2+|x|+1, 因为 x2≥0,|x|≥0,所以 f(x)≥1,当且仅当 x=0 时,f(x)=1, 所以当 x=0 时,f(x)的最小值为 1. (3)甲同学的说法是正确的. 若 f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x)在 R 上恒成立, 所以 f(0)=-f(0),所以 f(0)=0, 但无论 a 取何实数,f(0)=|a|+1>0, ∴f(x)不可能是奇函数. 卷(Ⅱ) 1.C 2.D 3.B
? 4.R, ? ? , ?? ? 1 ?16 ?

5.logba

6.解:(1)由题知: ?

?x ? 1 ? 0 ,解得:-1<x<1,所以函数 f(x)的定义域为(-1,1)。 ?1 ? x ? 0

(2)奇函数。 证明:因为函数 f(x)的定义域为(-1,1),所以对任意 x∈(-1,1), f(-X)=loga(-x+1)-loga(1-(-x))=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x) 所以函数 f(x)是奇函数。

(3)由题知:log 1 (x+1)>log 1 (1-x),即有 ? ?1 ? x ? 0
2 2

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 1 ? x ?

,解得:-1<x<0,所以不等式 f(x)>0

的解集为{x|-1<x<0} 7.解:函数 f(x)有意义,须且只需 1+2x+3x·a>0,
? 1? ? 2? ? 即 a>- ?? ? ? ?? ? ? ? ?? 3 ? ? 3 ? ? ?
x x

??(*),
x

? 1? ? 2? ? 设 g(x)=- ?? ? ? ? ? ? ? ,x∈(-∞,1), ? ?? 3 ? ? 3 ? ? ?
x

x x ?? 1 ? x ? 2 ? x ? 1? ? 2? 因为 y1=- ? ? ? ,y2=- ? ? 在(-∞,1)上都是增函数,所以 g(x)=- ?? 3 ? ? ? 3 ? ? 在(-∞,1) 3 3

? ?

? ?

? ?? ?

? ? ? ?

上是增函数,故[g(x)]max=g(1)=-1。 所以,欲使(*)对 x∈(-∞,1)恒成立,必须 a>g(1)=-1, 即实数 a 的取值范围是(-1,+∞). 8.解:(1)取 a=b=1,得 f(1)=f(1)-f(1)=0,所以 f(1)=0. (2)函数在(0,+∞)上是单调增函数. 任取 x1,x2∈(0,+∞),设 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=f ? 当 x>1 时,有 f(x)>0,所以 f(x2)-f(x1)=f ? 是单调增函数. (3)若 f(3)=1,则 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),f(x)-f(
1 1 )=f(x(x-8)),则不等式 f(x)-f( )>2 x ?8 x ?8

? x2 ? x2 >1,又 ? ,因为 0<x1<x2,所以 x1 x ? 1?

? x2 ? ? >0,即 f(x2)>f(x1).所以 f(x)在(0,+∞)上 ? x1 ?

?x ? 0 可以化为 f(x(x-8))>f(9),即 ? ,解得 x>9.即不等式的解集为(9,+∞). ?x ? 8 ? 0 ? x(x ? 8) ? 9 ?

年级 内容标题 主题词 供稿老师 录入

高一

学科 数学

版本 分类索引描述

期数 统考试题与题解

北京四中 2009-2010 学年上学期高一年级期中考试数学试卷(通用版) 北京四中 2009-2010 学年上学期高一年级期中考试数学 栏目名称 名校题库 试卷(通用版) 审稿老师 沈琴 一校 林卉 二校 审核

分类索引号 G.622.475


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