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2014届高考数学(理)一轮复习课件:第三篇


第1讲 变化率与导数、导数的运算

【2013 年高考会这样考】 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 【复习指导】 本讲复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的意义及几 何意义,应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数 求导.

基础梳理 1.函数 y=f(x)从

x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-f?x1? 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 . x2-x1 Δy 若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 Δx .

2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)= (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上 点(x0,f(x0))处切线的 斜率 .相应地,切线方程为 y-f(x0)= f′(x0)(x-x0).

3.函数 f(x)的导函数

称函数 f′(x)= 有时也记作 y′. 4.基本初等函数的导数公式 若 f(x)=c,则 f′(x)=0;

为 f(x)的导函数, 导函数

若 f(x)=xα(α∈R),则 f′(x)= αxα-1 ; 若 f(x)=sin x,则 f′(x)=cos x; 若 f(x)=cos x,则 f′(x)=-sin x;

若 f(x)=ax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)= axln a ; 若 f(x)=ex,则 f′(x)=ex; 1 若 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则 f′(x)= xln a ; 1 若 f(x)=ln x,则 f′(x)= . x

5.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
? f?x? ? ? (3)? ?g?x??′= ? ?

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? [g?x?]2

(g(x)≠0).

6.复合函数的求导法则 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u), u=g(x)的导数间的关 系为 yx′= yu′·x′. u

一个区别 曲线 y=f(x)“在”点 P(x0,y0)处的切线与“过”点 P(x0,y0)的 切线的区别: 曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,若切线斜率 存在时,切线斜率为 k=f′(x0),是唯一的一条切线;曲线 y= f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点,点 P 可以是切 点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

两种法则 (1)导数的四则运算法则. (2)复合函数的求导法则. 三个防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘 法公式混淆. 2.要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别. 3.正确分解复合函数的结构,由外向内逐层求导,做到不重不漏.

双基自测 1.下列求导过程中
?1? 1 ①? x?′=-x2;②( ? ?

x)′=

1 2

? ln x ? ;③(logax)′=?ln a?′= x ? ?

1 ;④(ax)′=(eln ax)′=(exln a)′=exln aln a=axln a xln a 其中正确的个数是( A.1 答案 D B.2 ). C.3 D.4

2.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为 ( A.2(x2-a2) C.3(x2-a2) B.2(x2+a2) D.3(x2+a2) ).

解析 f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案 C

?π ? sin x 1 3.(2011· 湖南)曲线y= - 2 在点M ?4,0? 处的切线的 sin x+cos x ? ?

斜率为( 1 A.-2 解析

). 1 B.2 2 C.- 2 2 D. 2

本小题考查导数的运算、导数的几何意义,考查运算求

解能力. cos x?sin x+cos x?-sin x?cos x-sin x? 1 y′= = ,把x= ?sin x+cos x?2 1+sin 2x π 1 代入得导数值为 . 4 2 答案 B

4.(2011· 江西)若f(x)=x2-2x-4ln x,则f′(x)>0的解集为 ( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) ).

4 2?x-2??x+1? 解析 令f′(x)=2x-2- = >0,利用数轴标根 x x 法可解得-1<x<0或x>2,又x>0,所以x>2.故选C. 答案 C

5.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标 分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=______;li f?1+Δx?-f?1? =________(用数字作答). Δx Δx→0 m

答案

2 -2

考向一

导数的定义

【例1】?利用导数的定义求函数f(x)=x3在x=x0处的导数,并 求曲线f(x)=x3在x=x0处切线与曲线f(x)=x3的交点. [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键.

解 f′(x0)

曲线f(x)=x3在x=x0处的切线方程为
2 y-x3=3x0· (x-x0), 0



?y=x3, ? 2 3 y=3x0x-2x0,由? ?y=3x2x-2x3, ? 0 0

得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0. 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3),(-2x0,-8x3); 0 0 若 x0=0,则交点坐标为(0,0). 利用定义求导数的一般过程是: (1)求函数的增量 Δy; Δy (2)求平均变化率 ;(3)求极限 Δx

【训练 1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数,偶函 数的导数是奇函数. 证明 法一 设 y=f(x)是奇函数,即对定义域内的任意 x 都有

f(-x)=-f(x)

因此 f′(x)为偶函数,同理可证偶函数的导数是奇函数.

法二

设 y=f(x)是奇函数,即对定义域内的任意 x 都有

f(-x)=-f(x),即 f(x)=-f(-x) 因此 f′(x)=[-f(-x)]′=- [f(-x)]′=f′(-x) 则 f′(x)为偶函数 同理可证偶函数的导数是奇函数.

考向二

导数的运算

【例 2】?求下列各函数的导数: x+x5+sin x (1)y= ; x2 (2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
? x? 2x (3)y=sin ?1-2cos 4?; 2? ?

1 1 (4)y= + ; 1- x 1+ x [审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导.

(2)法一

y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,

∴y′=3x2+12x+11. 法二 y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′

=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)· (x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.

x? x? 1 (3)∵y=sin2?-cos2?=-2sin x, ? ?
? 1 ? 1 ∴y′=?-2sin x?′=-2(sin ? ?

1 x)′=-2cos x.

1+ x+1- x 1 1 2 (4)y= + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x
? 2 ? -2?1-x?′ 2 ? ? ∴y′=?1-x?′= = . ?1-x?2 ?1-x?2 ? ?

(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是 正确求导的基础. (2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导.

【训练 2】 求下列函数的导数: (1)y=xnex; cos x (2)y= sin x ; (3)y=exln x; (4)y=(x+1)2(x-1).



(1)y′=nxn 1ex+xnex=xn 1ex(n+x).





-sin2x-cos2x 1 (2)y′= =- 2 . sin2x sin x
? 1 x?1 (3)y′=e ln x+e ·=e ?x+ln x?. x ? ?
x x

(4)∵y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1, ∴y′=3x2+2x-1.

考向三 求复合函数的导数 【例 3】?求下列复合函数的导数. (1)y=(2x-3)5;(2)y= 3-x; (3)y=sin
2

? π? ?2x+ ?;(4)y=ln(2x+5). 3? ?

[审题视点] 正确分解函数的复合层次,逐层求导. 解 (1)设 u=2x-3,则 y=(2x-3)5, 由 y=u5 与 u=2x-3 复合而成, ∴y′=f′(u)· u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4· 2 =10u4=10(2x-3)4.

(2)设 u=3-x,则 y= 3-x. 1 由 y=u 与 u=3-x 复合而成. 2 1 1 1 y′=f′(u)· u′(x)=(u )′(3-x)′= u- (-1) 2 2 2 3-x 1 1 1 =-2u-2=- = . 2 3-x 2x-6

π (3)设 y=u ,u=sin v,v=2x+ , 3
2

则 yx′=yu′·v′·x′=2u· v· u v cos 2
? ? ? π? π? 2π? =4sin?2x+3?· ?2x+3?=2sin?4x+ 3 ?. cos ? ? ? ? ? ?

(4)设 y=ln u,u=2x+5,则 yx′=yu′·x′ u 1 2 y′= · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5

由复合函数的定义可知, 中间变量的选择应是基本函 数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一 般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数 分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.

【训练 3】 求下列函数的导数: (1)y= x2+1; (3)y=e-xsin 2x; 解 (1)y′= 2 (2)y=sin22x; (4)y=ln 1+x2. 1 x · 2x= 2 , 2 x +1 x +1

(2)y′=(2sin 2x)(cos 2x)×2=2sin 4x (3)y′=(-e-x)sin 2x+e-x(cos 2x)×2 =e x(2cos 2x-sin 2x). 1 1 x (4)y′= 2x= . 2· 2· 1+x2 1+x 2 1+x


规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程
【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或 某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易 出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致 错误. 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求 的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方 程”,然后求某点处的斜率,用点斜式写出切线方程.

【示例】?(本题满分12分)(2010· 山东)已知函数f(x)=ln x-ax+ 1-a -1(a∈R). x (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当a≤ 时,讨论f(x)的单调性. 2 (1)求出在点(2,f(2))处的斜率及f(2),由点斜式写出 切线方程; (2)求f′(x),再对a分类讨论.

2 [解答示范] (1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+ -1, x x2+x-2 x∈(0,+∞).所以f′(x)= ,x∈(0,+∞), x2 (1分)

因此f′(2)=1,即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)=ln 2+2, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2+2)=x-2,即x-y+ln 2=0. (3分)

1-a a-1 1 (2)因为f(x)=ln x-ax+ -1,所以f′(x)= -a+ 2 =- x x x ax2-x+1-a ,x∈(0,+∞). x2 (4分)

令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以当x∈(0,1)时,g(x)>0, 此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递 增; (6分)

②当a≠0时,由f′(x)=0, 1 即ax -x+1-a=0,解得x1=1,x2=a-1.
2

1 a.当a= 时,x1=x2,g(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x) 2 在(0,+∞)上单调递减; 1 1 b.当0<a< 时, -1>1>0. 2 a (7分)

x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
? 1 ? x∈ ?1,a-1? 时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增; ? ?

x∈

?1 ? ? -1,+∞? ?a ?

时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递 (9分)

减;

1 c.当a<0时,由于 a -1<0,x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x) <0,函数f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增. (11分)

综上所述: 当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减, 函数f(x)在(1,+∞)上单调递增; 1 当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1 当0<a<2时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,
? ? 1 函数f(x)在?1,a-1?上单调递增, ? ? ?1 ? 函数f(x)在?a-1,+∞?上单调递减. ? ?

(12分)

求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线 斜率还是切线经过某一点,切点坐标都是化解难点的关键所 在.

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