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2015高考二轮数学第7专题(理科)——选择题的解题策略


热点重点难点专题透析·数学(理科)

第二篇 题 型 专 题

【引言】 数学选择题在高考试卷中,不但题目数量多,而且占总 分值的比例高. 高考数学试题中,选择题基础性强,知识覆盖面广,小 巧灵活,有一定的综合性和深度,渗透了各种数学思想和方 法,主要考查对基础知识的理解、基本技能的掌握、基本方 法的运用及基本计算的准确性、考虑问题的严谨性

、解题 速度的快捷性等.

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考生迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分 的关键,对高考数学成绩影响很大.高考中的数学选择题一 般是容易题或中等难度题,个别题属于较难题,当中的大多 数题可用特殊的方法快速选择.解答选择题的基本策略:要 充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断.一般说 来,能定性判断的,就不再使用复杂的定量计算;能使用特 殊值判断的,就不必采用常规解法;能使用间接法解的,就 不必采用直接法解;对于明显可以否定的选项应及早排除, 以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的,宜选最简解 法;等等.解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防 疏漏,初选后认真检验,确保准确.

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解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两 大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法;但高考 的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不 允许,而且有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一 些特殊的解答选择题的方法,如筛选法(也叫排除法、淘汰 法)、特例法、图解法(数形结合)等.

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【题型示例】 方法一:直接法 所谓直接法,就是直接从题设条件出发 ,运用有关概念、 性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的 运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项 “对号入座”,作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或 较简单题目的运算常用直接法. 若复数 z 满足(1+i)z=2-i,则 + i 等于( ). A.
1 2

B.

2 2

C.2

D. 2

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【解析】由(1+i)z=2-i,可得 z=

2-i (2-i )(1-i ) 1-3i

1+i

=

2

=

2

,所以

z+i=2-2i,则 + i = 2 .
【答案】B -2 + 1 ≥ 0, 已知实数 x,y 满足: < 2, z=|2x-2y-1|, + -1 ≥ 0, 则 z 的取值范围是(
5

1 1

2

).
5

A.[3,5] B.[0,5] C.[0,5) D.[3,5)

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【解析】画出线性区域如图所示,令 u=2x-2y-1,则

y=x-

+1 2

,
1 2 5

先画出直线 y=x,再平移直线 y=x,当经过点

A(2,-1),B(3,3)时,代入 u,可知-3≤u<5,∴z=|u|∈[0,5),
故选 C. 【答案】C 阅读下边的程序框图,如果输出的 i 的结果是 4, 那么空白的判断框中应填入的条件是( ). A.S≤10 B.S≤12 C.S≤14 D.S≤16

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【解析】i=2→S=2;i=3→S=2+6=8;i=4→S=8+4=12,故 选 A. 【答案】A (2014 浙江卷)在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ). A.45 B.60 C.120 D.210

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【解析】∵ 3 0 2 1 1 2 f(3,0)=C6 C4 =20;f(2,1)=C6 C4 =60;f(1,2)=C6 C4 =36;f(0,3 0 3 )=C6 C4 =4. ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120. 【答案】C

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(2014 浙江卷)某几何体的三视图(单位:cm)如图 所示,则此几何体的表面积是( ). 2 A.90 cm B.129 cm2 2 C.132 cm D.138 cm2

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【解析】由三视图可以看出该几何体是由一个三棱柱 和一个长方体构成,故该几何体的表面积为 S=5?3+2?2? 4?3+4?3+2?4?6+2?4?3+6?3+3?3=138 cm . 【答案】D 一款智能手机预装了 3 个阅读软件和 3 个资讯软 件,这 6 个软件图标排成一排,要求阅读软件 A 的图标不在 两端,3 个资讯软件的图标有且只有 2 个相邻,则软件图标的 不同排法是( ). A.96 B.216 C.288 D.360
2

1

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2 2 2 2 2 【解析】由题意可得A3 3 A 3 A4 -2A 2 A 3 A3 =288. 【答案】C

如图,已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、 右焦点 分别为 F1、F2,|F1F2|=2,P 是双曲线右支上的一点,PF1⊥

2 2

PF2,F2P 与 y 轴交于点 A,△APF1 的内切圆半径为 2 ,则双曲线
的离心率是( ).

2

A. 2 B. 2 C. 3 D.2 2

5

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【解析】 因为 PF1⊥PF2,F2P 与 y 轴交于点 A,△APF1 的内 切圆半径为 2 ,所以 2r=|AP|+|PF1|-|AF1|,因为
2 2

|AF1|=|AF2|=|AP|+|PF2|,|PF1|=|PF2|+2a,所以 a=r= 2 ,所以
双曲线的离心率 e= = 2. 【答案】B 定义在 R 上的函数 f(x)满 足:f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,则不等式 exf(x)>ex+3(其中 e 为 自然对数的底数)的解集为( ). A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)


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【解析】设 F(x)=e f(x)-e , 则 F'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]>0,所 以 F(x)在 R 上为增函数,而不等式 exf(x)>ex+3 可化为 F(x)>F(0),所以 x>0. 【答案】A 【点评】直接法是解答选择题最常用的基本方法,直接 法适用的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.提 高直接法解选择题的能力,准确地把握题目的“个性”,用 简便方法巧解选择题,是建立在扎实掌握 “三基” 的基础上, 否则一味求快则会快中出错.

x

x

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方法二:特例法 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设中的普遍条 件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的 判断.常用的特例有特殊数值、特殊角、特殊数列、特殊函 数、特殊图形、特殊位置等.这种方法实际上是一种“小题 小做”的解题策略,对解答某些选择题时往往十分奏效. (1)特殊值 函数 y=
ln

的图象大致是(

).

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【解析】 令 x=e ,则 y=-1,所以 C、 D 不对;令 x=-e ,则 y=1, 所以 A 不对,故选 B. 【答案】B

1

1

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(2)特殊函数 定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)是增函数, 偶函数 g(x)在区间[0,+∞)上的图象与 f(x)的图象重合,设 a>b>0,给出下列不等式: ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 其中成立的是( ). A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④

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【解析】(法一)因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数 且为单调递增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+∞)上的图象与 f(x)的图象重合,已知 a>b>0,则 f(a)>f(b)>0,得 ①因为 f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)?f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=2f(b)>0 (因为 a>0,f(a)=g(a)),所以①正确; ②因为 f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)?f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=2f(b)<0, 这与 f(b)>0 矛盾,所以②错; ③因为 f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)?f(a)+f(b)-g(b)+g(a)=2f(a)>0, 这与 f(a)>0 符合,所以③正确;

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2)<g(2)-g(-1)不成立,所以②错 误,f(2)-f(-1)<g(1)-g(-2)不正确,所以④错误,故选 C. 【答案】C (3)特殊数列 已知等比数列{an}的公比为 q,则 “0<q<1” 是 “{an} 为递减数列”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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【解析】如数列-8,-4,-2 是公比为2的递增数列;数列

1

-8,-16,-32 是公比为 2 的递减数列,故选 D.
【答案】D

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(4)特殊位置

如图,P 为椭圆25 + 9 =1 上第一象限内的任意一点, 过椭圆的右顶点 A、上顶点 B 分别作 y 轴、x 轴的平行线, 它们相交于点 C,过 P 引 BC、AC 的平行线交 AC 于 N,交 BC 于 M,交 AB 于 D、E,记矩形 PMCN 的面积为 S1,三角形 PDE 的 面积为 S2,则 S1∶S2=( ). A.1 B.2 C.2 D.3
1 1

2 2

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【解析】 不妨取点 P 的坐标为(4, ),则可计算 S1=(3- )
5 5

9

9

?(5-4)=5,S2=2?(4-2)?(5-5)=5,所以 S1∶S2=1.
【答案】A (5)特殊方程 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,其准线经过双曲 线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左顶点,点 M 为这两条曲线的一个交 点,且|MF|=2p,则双曲线的离心率为( A.
10 2 2 2

6

1

9 3

6

).

B.2 C. 5 D.

5 2

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【解析】不妨设 y2=2px=4x,则根据条件可得

a=1,|MF|=4,所以 M(3,±2 3),代入 2 - 2 =1,可得 b2=2,所以 c= 2 + 2 =
10 2

2 2

3

,所以双曲线的离心率为

10 2

.

【答案】A

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【点评】正确选择对象,在题设条件都成立的情况下, 用特殊方法(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷 地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般 规律,这是解答本类选择题的最佳策略.

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方法三:图解法(数形结合) 图解法就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将 数的问题(如解方程、解不等式,求最值,求取值范围等)与 某些图形结合起来,利用几何直观性,再辅以简单计算,确 定正确答案的方法.这种解法贯穿数形结合思想,每年高考 均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合 思想解决,既简捷又迅速. 已知函数 f(x)=lg(ax2+2bx+a),且 a,b∈R,若 f(x) 的值域为 R,则(a+2)2+(b-1)2 的取值范围是( ). A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.(4,+∞)

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【解析】∵f(x)=lg(ax2+2bx+a)的值域为 R, = 0, > 0, = 0, ∴ 或 ? 或 2 2 = 4 -4 ≥ 0 ≠ 0 ≠ 0 > 0, (-)( + ) ≥ 0. 画出可行域如图所示,由(a+2)2+(b-1)2 的几何意义可 知(a+2)2+(b-1)2≥4,故选 C. 【答案】C

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设平面点集 A={(x,y)|(y-x)(y- )≥


1

0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图 形的面积为( ). A. π B. π C. π D.
4 5 7 3 3 4 π 2

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【解析】A∩B 所表示的平面图形是如图所示的阴影部 分,根据图形的对称性,阴影部分可拼接成一个半圆,所以 平面图形的面积为 .
2 π

【答案】D (2014 福建卷)设 P,Q 分别为 x2+(y-6)2=2 和椭 圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是(
10 2

).

A.5 2

B. 46+ 2 C.7+ 2

D.6 2

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【解析】根据图象可知 P,Q 两点间的最大距离可转化 为圆心 C(0,6)到椭圆的最大距离加上半径 2,设 Q( 10cos

θ,sin θ),则 |CQ|= 10cos2 θ + (6-sin) = 37 + 9cos2 θ-12sin=
46-9sin2 θ-12sin=
2 2

50-9(sin +

2 2 ) ,所以当 3

sin θ

=-3时,|CQ|取得最大值 5 2,此时 P,Q 两点间的最大距离是
6 2. 【答案】D

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已知平面向量 a,b,c 不共线,且两两之间的夹角 都为 120°,若|a|=2,|b|=2,|c|=1,则 a+b+c 与 a 的夹角是 ( ). A.60° B.90° C.120° D.150°

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【解析】(法一)因为平面向量 a,b,c 不共线,且两两之 间的夹角都为 120°, ∴a?b=2?2?cos 120°=-2,a?c=2?1?cos 120° =-1,b?c=2?1?cos 120°=-1,

|a+b+c|= 2 + 2 + 2 + 2? + 2? + 2?=1.
设 a+b+c 与 a 的夹角是θ,则 0°≤θ≤180°, 且 cos θ=
( + + )? | + + |?| | 2 + ? + ? 1 1×2

=

=2,

∴θ=60°.

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(法二)建立直角坐标系,设 a=(2,0),b=(-1, 3),则

c=(-2,- 2 ),所以 a+b+c=(2, 2 ),设 a+b+c 与 a 的夹角是θ,
则 cos θ=2,所以θ=60°. 【答案】A 【点评】图解法并非属于选择题解题思路范畴,但它在 解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定 要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉.图解法实 际上是一种数形结合的解题策略.
1

1

3

1

3

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方法四:代入检验法(验证法) 将选项中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验 证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选项. 若复数 z 满足:z+1=(z-1)i,则复数 z 的共轭复 数 z =(
?

).

A.-i B.i C.1-i D.1+i

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【解析】若z =-i,则 z=i,不满足 z+1=(z-1)i,所以 A 不对;若 z=i,则 z =-i,满足 z+1=(z-1)i,所以 B 正确. 【答案】B 已知 l,m 是两条不同的直线,α是一个平面,且
?

?

l∥α,则下列命题正确的是( A.若 l∥m,则 m∥α B.若 m∥α,则 l∥m C.若 l⊥m,则 m⊥α D.若 m⊥α,则 l⊥m

).

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【解析】由 l∥α,l∥m,可得 m?α或 m∥α,则 A 不正 确; 由 l∥α,m∥α,可得 l∥m 或 l,m 相交或 l,m 互为异面 直线,则 B 不正确; 由 l∥α,l⊥m,可能推出 m∥α,则 C 不正确; 由 l∥α,m⊥α,可得 l⊥m,则 D 正确. 【答案】D

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阅读下边的程序框图,若输出的 S 的结果是 则判断框内可填写( ).

A.i<6 B.i<8 C.i<5 D.i<7

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【解析】若 i<6,则 S=2-1-3-5=-7;若 i<8,则 S=2-13-5-7=-14,符合题意,所以选 B. 【答案】B 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列一定 成立的是( ). A.若 a3>0,则 a2013<0 B.若 a4>0,则 a2014<0 C.若 a3>0,则 S2013>0 D.若 a4>0,则 S2014>0

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【解析】在选项 A 中,若 a3>0,根据等比数列的性质可 知 a2013>0,所以 A 不对;在选项 B 中,若 a4>0,根据等比数列的 n 性质可知 a2014>0,所以 B 不对;在选项 D 中,设 an=(-1) ,则 S2014=0,所以 D 不对;故选 C. 【答案】C 【点评】代入法适合题设复杂、结论简单的选择题.若 能据题意确定代入顺序,则能较大地提高解题速度.

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方法五:筛选法(也叫排除法、淘汰法) 筛选法就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且 只有一个正确选项的特点,从选项入手,根据题设条件与各 选项的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选项进行筛 选,将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除,从而获得正确 结论的方法.使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四 个选项中有且只有一个答案正确.

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(2014 山东卷)函数 f(x)= ( ). A.(0, ) B.(2,+∞) C.(0, )∪(2,+∞)
2 2 1 1 1 2

1 (lo g 2 x ) -1
2

的定义域为

D.(0, ]∪[2,+∞)

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【解析】当 x=2 时,分母为 0,不合题意,排除 D;当 x=4 时满足题意,排除 A;当 x= 时满足题意,排除 B;故选 C.
4 1

【答案】C 等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若

Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则公比 q 为( A.-2 或 1 B.1 C.-2 D.2 或-1

).

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【解析】 当 q=1 时,等比数列{an}为常数列,不满足条件 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,排除 A、B;当 q=-1 时,不满足条件 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,排除 D;故选 C. 【答案】C

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函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是 ( ). A.f(x)=cos 2x B.f(x)=-sin(x+ ) C.f(x)=cos( x- ) D.f(x)=sin( x- )
3 4 2 5 8 π 3 4 π π

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【解析】当 x= π时,f(x)=0,排除 C;当 x=0 时,4

3

1<f(x)<0,排除 A;由图象可知 < π,则 T< π,得ω> ,排除
2 4 2 3

3

3

4

B;故选 D. 【答案】D 已知 x,y∈R,若 x+y>cos x-cos y,则下面式子 一定成立的是( ). A.x+y<0 B.x+y>0 C.x-y>0 D.x-y<0

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【解析】令 x=0,y=π,则满足 x+y>cos x-cos y,故排 除 A,C;令 x=π,y=0,则满足 x+y>cos x-cos y,则排除 D. 【答案】B 【点评】筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择 题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中 找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另外一些条件在缩 小的选项范围内找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的 选项.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方 法.

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方法六:推理分析法 推理分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的 理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择 的方法. (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特 征、结构特征、位置特征等,进行快速推理,迅速作出判断 的方法,称为特征分析法.

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函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象关于直线

2

x=-2 对称.据此可推测,对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p 关
于 x 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0 的解集都不可能是( A.{1,2} B.{1,4} C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64} ).



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【解析】若解集不可能是 A,则解集也不可能是 C,所以 不选 A,同理也不选 B,答案只能在 C、D 中产生;若方程有四 个解,根据题意可知其中两组解必是关于某条直线对称,在 C 选项中:1、4 关于 x=2.5 对称,2、3 也关于 x=2.5 对称, 所以是可能的解,而 D 选项没有这样的对称轴. 【答案】D (2)逻辑分析法——通过对四个选项之间的逻辑关系 的分析,达到否定谬误项,选出正确项的方法,称为逻辑分 析法.

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(2014 湖南卷)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y.命题 q: 若 x>y,则 x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(┐q);④(┐ p)∨q 中,真命题是( ). A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

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【解析】 (法一)当 x>y 时,两边乘以-1 可得-x<-y,所以 命题 p 为真命题,当 x=1,y=-2 时,因为 x2<y2,所以命题 q 为 假命题,故②③为真命题,选 C. (法二)若①为真命题,则②必为真命题,所以 A、 B 不对, 根据选项可以判断①是假命题,②是真命题,可判断命题 p 为真命题,q 为假命题,所以③为真命题,④是假命题. 【答案】C 【点评】通过观察题目的特征,结合题意,巧妙运用逻 辑推理方法得出正确答案.推理分析法可以有效地缩短解 题时间,对难度中上的问题形成有效的突破,达到快速求解 的目的.

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方法七:估算法 估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答 案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运算结果确 定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法. 设 P=log23,Q=log32,R=log2(log32),则( A.P<R<Q B.R<Q<P C.Q<R<P D.R<P<Q ).

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【解析】 P=log23>log22=1,0=log31<Q=log32<log33=1,R=log2(log32)< log21=0,所以 R<Q<P. 【答案】B

棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图所示,则图中三角形(正四面 体的截面)的面积是( ). A.
2 2

B.

3 2

C. 2 D. 3

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【解析】棱长为 2 的正四面体的一个侧面积为 3,显 然图中三角形(正四面体的截面)的面积介于 与 3两者之
2 3

间,故选 C. 【答案】C 已知 sin θ= tan 的值是(
2 -3 +5

,cos θ=

4-2 π +5 2

( <θ<π),则

).
-3 |9- |

A. C.

-3 9- 1 3

B.

D.5

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【解析】由于受 sin2θ+cos2θ=1 的制约,可知 m 为一 个确定的值,所以 tan 也为一个确定的值.因为 <θ<π,所 以 tan >1,故选 D.
2 2 2 π

【答案】D 【点评】估算法省去了很多推导过程和比较复杂的计 算,节省了时间,从而显得快捷.它是人们发现问题、研究问 题、解决问题的一种重要方法.

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方法八:极限法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极 限思想解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低解 题难度,优化解题过程.在一些选择题中,有一些任意选取 或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分 析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断 选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题 的方法称为极限法.

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(2014 湖南卷)已知函数 f(x)=x2+ex- (x<0)与
2

1

g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的 取值范围是( ).
A.(-∞, ) B.(-∞, e)
e 1

C.(- , e) D.(- e, )
e e

1

1

热点重点难点专题透析·数学(理科)

【解析】由题可得存在 x0∈(-∞,0)满足
2 0 0 +e - =(-x0)2+ln(-x0+a)?e 0 -ln(-x0+a)- =0,当 x0 趋近 2 2 1 1 1 2

于负无穷小时,函数 f(x0)=e 0 -ln(-x0+a)- 趋近于负无穷, 因为函数 f(x)=e -ln(-x+a)-2在定义域内是单调递增函数, 所以 ln a<ln e?a< e,故选 B. 【答案】B
x

1

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已知正四棱锥 S-ABCD 的侧面与底面所成角为β,相 邻两侧面所成角为α,则 cos α+cos2 β的值为( ). A.0 B.1 C.-1 D.
1 2

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【解析】让 S 沿 SO 向下移动,当 S→O 时,有β→ 2 0,cos β→1,α→π,cos α→-1,从而有 cos α+cos β

=0;让 S 沿 SO 向上移动,当 S→∞时,有β→ 2 ,cos β→0, α→ 2 ,cos α→0,从而有 cos α+cos2β=0,故选 A.
【答案】A 【点评】极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题 干及选项的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,迅速 找到答案.
π

π

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【总结】 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什 么“策略”“手段”都是无关紧要的.所以解题可以“不择 手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与 错误的原因,另外,在解答一道选择题时,往往需要同时采 用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分 利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大做, 真正做到准确和快速. 总之,解答选择题既要用各类常规题的解题思想原则 来指导选择题的解答,但更应该充分挖掘题目的“个性”, 寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正

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确的选择.这样不但可以迅速、准确地获取正确答案, 还可以提高解题速度,为后续解题节省时间.

1.已知集合 A={x||x-1|<2},B={x|y=lg(x +x)},设 U=R,则 A ∩( UB)等于( ). A.[3,+∞) B.(-1,0] C.(3,+∞) D.[-1,0]

2

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【解析】排除法:因为 4?A,所以 A、C 不对;因为-1?A, 所以 D 不对,故选 B. 【答案】B 2.设复数 z=
2i -1+i

,则复数 z2 的实部与虚部的和为(

).

A.0 B.2 C.-2 D.4

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【解析】直接法:z=

2i

-1+i

=

2i (-1-i ) 2

=1-i,z2=(1-i)2=-2i,所

以实部为 0,虚部为-2,实部与虚部的和为-2. 【答案】C 3.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是2,则正 (主)视图中的 x 的值是( ).
3

A.2 B.2 C.2 D.3

9

3

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【解析】直接法:由三视图可知,该几何体是底面上底 为 1,下底为 2,高为 2 的直角梯形的四棱锥,且棱锥的高为

x,底面积为 S=2?(1+2)?2=3,V=2,由 V=3Sh,得
3 3× 2 3 x=h= = 3 =2,故选
3

1

3

1

C.

【答案】C

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4.已知双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,抛物线

2 2

y=16 x2+1 与双曲线 C 的渐近线相切,则双曲线 C 的方程为
( ). A. 8 - 2 =1 B. 2 - 8 =1 C.x - 4 =1 D. 4 -y2=1
2

1

2 2 2

2 2 2

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【解析】排除法:因为双曲线 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的焦 距为 2 5,所以排除 A,B;选项 C 中,双曲线的渐近线方程为

2 2

y=±2x,代入 y=16 x2+1,可知相交,所以排除 C.故选 D.
【答案】D + ≤ 1, 5.已知变量 x,y 满足约束条件 - ≤ 1, 若 x+2y≥-5 恒成 ≥ , 立,则实数 a 的取值范围为( ). A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1] D.[-1,1)

1

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【解析】图解法: + ≤ 1, 满足约束条件 - ≤ 1, 的可行域是图中△ABC 的内 ≥ 部(含边界),由此可见,必有 a≤1,作出直线 x+2y=-5,由题 设△ABC 必定在直线 x+2y=-5 的上面,当点 A 在直线 x+2y=-5 上时,a=-1,所以-1≤a≤1,选 C. 【答案】C

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6.已知 a,b 是两个互相垂直的单位向量,且 c?a=c?b=1, 则对任意的正实数 t,|c+ta+ b|的最小值是(
1

).

A.2 B.2 2C.4 D.4 2

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【解析】特例法:设 a=(1,0),b=(0,1),则 c=(1,1),代 入得 c+ta+ b=(1+t,1+ ), 所以
1 1

|c+ta+ b|= (1 + ) + (1 +
2 2.

1

2

1 2 ) =

2

+ 2 + 2t + + 2≥

1

2

【答案】B 7.三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,又 SA=AB=BC=1,则球 O 的表面积为( ). A. 2 π B.2π C.3π D.12π
3 3

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【解析】直接法: 因为 AB⊥BC,所以 AC 是△ABC 所在截面圆的直径, 又因为 SA⊥平面 ABC,所以△SAC 所在的截面圆是球的 大圆,所以 SC 是球的一条直径. 由题设 SA=AB=BC=1,用勾股定理可求得 AC= 2,SC= 3, 所以球的半径 R= ,球的表面积为 S=4π?( ) =3π,
2 2 3 3
2

故选 C. 【答案】C

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8.现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现 要从下层 8 件中取 2 件调整到上层,若其他商品的相对顺序 不变,则不同调整方法的种数是( ). A.420 B.560 C.840 D.20160

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2 【解析】 直接法:首先从下层中抽取两个,共有C8 =28 种 结果,把抽出的两件商品放到上层有两种情况:一是两件商 品相邻,放在 4 件商品形成的 5 个空中,有 5A2 2 =10 种结果; 二是两件商品插入 4 件商品形成的 5 个空中,有A2 5 =20 种结 果,所以根据计数原理知共有 28?(20+10)=840 种结果. 【答案】C

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9.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AA1、 D1C1 上的动点,点 G 为正方形 BB1C1C 的中心.则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,面积 的最大值为( ). A.4 B.8 C.12 D.16

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【解析】特殊法:若 E 与 A1 重合,F 与 C1 重合,则 AEFG 在 DD1C1C 上的投影为直角梯形,计算可得面积为 12,此时面 积最大,所以选 C. 【答案】C 10.如图,圆 O:x +y =π 内的正弦曲线 y=sin x 与 x 轴围成 的区域记为 M(图中阴影部分),随机往圆 O 内投一个点 A,
2 2 2

则点 A 落在区域 M 内的概率是( A.
4 π
2

).

B.

4 π
3

C.

2 π
2

D.

2 π
3

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【解析】直接法:圆的面积为π ,阴影部分的面积为 2
π

3

sind=4,所以点 A 落在区域 M 内的概率是 0 【答案】B -( 2 ) ,x ≤ 0,
1

4
3

π

.

11.已知函数 f(x)=

(a∈R),则下列结论正 2 -2ax-1,x > 0

确的是( ). A.?a∈R,f(x)在 R 上单调递减 B.?a∈R,f(x)的最小值为 f(a) C.?a∈R,f(x)有极大值和极小值 D.?a∈R,f(x)有唯一零点

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【解析】 排除法:因为 y=-( ) 在(-∞,0]上递增,所以 A
2

1

x

不对;根据函数 f(x)的图象可知函数 f(x)无最小值,所以 B 不对;当 a=-1 时,函数 f(x)无极小值,所以 C 不对;故选 D. 【答案】D 12.执行如图所示的程序框图,输入的 N=2014,则输出的 S=( ). A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

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【解析】推理分析法:因为 S=1,i=1, 判断 1<2014,S= 判断 2<2014,S= 判断 3<2014,S= 判断 4<2014,S=
( -1)+(2 -1) ( -1)+(2 -1) ( -1)+(2 -1) ( -1)+(2 -1)

=1,i=i+1=2; =2,i=i+1=3; =3,i=i+1=4; =4,i=i+1=5;

…… 由此知,当 i=2014 时结束算法,故输出的 S 的值为 2013. 【答案】C

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13.若 a,b∈R,使 + >1 成立的一个充分不必要条件是 ( ). A. + ≥1 B.a≥1 C. ≥0.5,且 b≥0.5 D.b<-1

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【解析】 (逆向法)当 a=1,b=0 时,都满足选项 A,B,但是 不能得出 + >1; 当 a=0.5,b=0.5 时,满足选项 C,但是不能得出 + >1. 【答案】D 2 14.函数 f(x)=log2|x|,g(x)=-x +2,则 f(x)?g(x)的图象只 可能是( ).

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【解析】(极限法)由函数 f(x)?g(x)的解析式可以看 出函数为偶函数,所以可以排除 A、D;当 x→+∞ 时,f(x)>0,g(x)<0,所以 f(x)? g(x)<0,可排除 B,所以选 C. 【答案】C 15.已知定义在(0,+∞)上的单调函数 f(x),对?x∈(0,+∞), 都有 f[f(x)-log3x]=4,则函数 g(x)=f(x)-f'(x)-3 的零点 所在的区间是( ). A.(1,2) B.(2,3) C.(2,1) D.(0,2)
1 1

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【解析】由题意知 f(x)-log3x=c(c 为常数),则

f(x)=log3x+c,得 c=3,∴f(x)=log3x+3,∴g(x)=log3x- ln 3. ∵g(1)=-ln 3<0, g(2)=log32-2ln 3=log32-2log3e =log3 1 =log3(e ) >log31=0,
e2 2 4
1 2

1

1

1

1

∴函数 g(x)=f(x)-f'(x)-3 的零点所在的区间是(1,2), 故选 A.
【答案】A


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