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(课堂设计)2014-2015高中数学 2.3 等差数列的前n项和学案(二)新人教A版必修5


2.3

等差数列的前 n 项和(二)
自主学习

知识梳理 1.前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系 对任意数列{an},Sn 是前 n 项和,Sn 与 an 的关系可以表示为 an=
? ? ? ? ?

?n=1?,

?n≥2?. 2.等差数列前 n 项和公式 Sn=____________=____________. 3.等差数列前 n 项和的最值 (1)在等差数列{an}中 当 a1>0, d<0 时, Sn 有________值, 使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组____________确定; 当 a1<0, d>0 时, Sn 有________值, 使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组____________确定.

? ? 2 (2) 因为 Sn = n + ?a1- ? n ,若 d≠0,则从二次函数的角度看:当 d>0 时, Sn 有 2? 2 ? ____________值;当 d<0 时,Sn 有________值;且 n 取最接近对称轴的自然数时,Sn 取到最 值. 4.一个有用的结论: 2 若 Sn=an +bn,则数列{an}是等差数列.反之亦然. 自主探究 在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前 n 项和 Sn 的最值.
d d

对点讲练 知识点一 已知前 n 项和 Sn,求 an 例1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n -3n,求通项公式 an.
2

总结 已知前 n 项和 Sn 求通项 an,先由 n=1 时,a1=S1 求得 a1,再由 n≥2 时,an=Sn -Sn-1 求 an,最后验证 a1 是否符合 an,若符合则统一用一个解析式表示. n 变式训练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3 +b,求 an.

1

知识点二 等差数列前 n 项和最值问题 例2 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn 的最大值.

总结 在等差数列中,求 Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的 项皆取正(负)值或零, 而它后面的各项皆取负(正)值, 则从第 1 项起到该项的各项的和为最 大(小).由于 Sn 为关于 n 的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解. 变式训练 2 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?

知识点三 已知{an}为等差数列,求{|an|}的前 n 项和 例 3 已知等差数列{an}中,记 Sn 是它的前 n 项和,若 S2=16,S4=24,求数列{|an|} 的前 n 项和 Tn.

总结 等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,由绝对值的意义,应首先分清这个数列的哪 些项是负的,哪些项是非负的,然后再分段求出前 n 项的绝对值之和.
2

变式训练 3 数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0 (n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn.

*

1.公式 an=Sn-Sn-1 并非对所有的 n∈N 都成立,而只对 n≥2 的正整数才成立.由 Sn 求通项公式 an=f(n)时, 要分 n=1 和 n≥2 两种情况分别计算, 然后验证两种情况可否 用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前 n 项和的最值 * (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值,但要注意 n∈N ,结 合二次函数图象的对称性来确定 n 的值,更加直观. (2)通项法:当 a1>0,d<0,?
? ?an≥0, ?an+1≤0 ?

*

时,Sn 取得最大值;当 a1<0,d>0,?

? ?an≤0, ?an+1≥0 ?

时,Sn 取得最小值. 3.求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点. 课时作业 一、选择题 1.设数列{an}是等差数列,且 a2=-8,a15=5,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则( A.S9<S10 B.S9=S10 C.S11<S10 D.S11=S10 2 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 S3 1 S6 3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 等于( ) S6 3 S12 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 3 8 9 2 * 4. 数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-2n (n∈N ), 则当 n≥2 时, 下列不等式成立的是( A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1 C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1 5. 设{an}是等差数列, Sn 是其前 n 项和, 且 S5<S6, S6=S7>S8, 则下列结论错误的是( A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

)

)

)

3

题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 2 * 6.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n -n(n∈N ),则通项 an=________. 7.等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取得最大值的自然数 n 是 ______. 8.在等差数列{an}中,已知前三项和为 15,最后三项和为 78,所有项和为 155,则项 数 n=________. 三、解答题 2 2 9.已知 f(x)=x -2(n+1)x+n +5n-7 (1)设 f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列; (2)设 f(x)的图象的顶点到 x 轴的距离构成{bn},求{bn}的前 n 项和.

10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,且 S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的范围; (2)问前几项的和最大,并说明理由.

§2.3 等差数列的前 n 项和(二) 知识梳理 1.S1 Sn-Sn-1 n?a1+an? n?n-1? 2. na1+ d 2 2 3.(1)最大 ?
?an≥0 ? ? ?an+1≤0

最小 ?

?an≤0 ? ? ?an+1≥0

(2)最小 最大

自主探究 解 方法一 ∵an=2n-14,∴a1=-12,d=2. ∴a1<a2<…<a6<a7=0<a8<a9<…. ∴当 n=6 或 n=7 时,Sn 取到最小值. 易求 S7=-42,∴(Sn)min=-42. 方法二 ∵an=2n-14,∴a1=-12.

4

? 13?2 169 2 =n -13n=?n- ? - . 2? 2 4 ? ∴当 n=6 或 n=7 时,Sn 最小,且(Sn)min=-42. 对点讲练 例 1 解 当 n=1 时,a1=S1=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-5. 又∵a1=-1,适合 an=4n-5, * ∴an=4n-5 (n∈N ). 变式训练 1 解 当 n=1 时,a1=S1=3+b. n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2·3n-1. n-1 因此,当 b=-1 时,a1=2 适合 an=2·3 , n-1 ∴an=2·3 . n-1 当 b≠-1 时,a1=3+b 不适合 an=2·3 , ? ?n=1? ?3+b ∴an=? . n-1 ?2·3 ?n≥2? ? n-1 综上可知,当 b=-1 时,an=2·3 ;
∴Sn=

n?a1+an?

? ?n=1? ?3+b 当 b≠-1 时,an=? n-1 ?2·3 ?n≥2? ?

.

解 方法一 利用前 n 项和公式和二次函数性质. 17 由 S17=S9,得 25×17+ ×(17-1)d 2 9 =25×9+ ×(9-1)d, 2 解得 d=-2, 例2 所以 Sn=25n+ (n-1)(-2)=-(n-13) +169, 2 由二次函数性质可知, 当 n=13 时,Sn 有最大值 169. ? ?an=25-2?n-1?≥0, 方法二 先求出 d=-2,因为 a1=25>0,由? ?an+1=25-2n≤0, ? 1 ? ?n≤132, 得? 1 ?n≥122. ? 所以当 n=13 时,Sn 有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此 Sn 的最大值为 169. 方法三 由 S17=S9,得 a10+a11+…+a17=0, 而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14=0.由方法一知 d=-2<0, 又因为 a1>0,所以 a13>0,a14<0, 故当 n=13 时,Sn 有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此 Sn 的最大值为 169. 变式训练 2 解 方法一 由 S9=S12,
5

n

2

1 得 d=- a1, 10 由?
?an=a1+?n-1?d≤0 ? ?an+1=a1+nd≥0 ?



1 1- ?n-1?≥0 ? ? 10 得? 1 1- n≤0 ? ? 10

,解得 10≤n≤11.

∴当 n 为 10 或 11 时,Sn 取最小值, ∴该数列前 10 项或前 11 项的和最小. 1 方法二 由 S9=S12,得 d=- a1, 10 d? n?n-1? d 2 ? 由 Sn=na1+ d= n +?a1- ?n, 2? 2 2 ? ? 1 ? 2 ?21 ? 得 Sn=?- a1?·n +? a1?·n ? 20 ? ?20 ? a1 ? 21?2 441 =- ?n- ? + a1 (a1<0), 2? 20? 80 21 由二次函数性质可知 n= =10.5 时,Sn 最小. 2 * 但 n∈N ,故 n=10 或 11 时 Sn 取得最小值. 所以该数列前 10 项或者前 11 项的和最小. 2×1 ? ?2a + 2 d=16, 由 S =16,S =24,得? 4×3 ? ?4a + 2 d=24.
1 2 4 1

例3



? ? ?2a1+d=16, ?a1=9, 即? 解得? ?2a1+3d=12. ?d=-2. ? ? * 所以等差数列{an}的通项公式为 an=11-2n (n∈N ). (1)当 n≤5 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| 2 =a1+a2+…+an=Sn=-n +10n. (2)当 n≥6 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn 2 2 2 =2×(-5 +10×5)-(-n +10n)=n -10n+50, 2 ?-n +10n ?n≤5?, ? 故 Tn=? 2 ?n -10n+50 ?n≥6?. ?

变式训练 3 解 (1)∵an+2-2an+1+an=0. ∴an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1. ∴{an}是等差数列且 a1=8,a4=2, ∴d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n. n?8+10-2n? 2 (2)Tn=a1+a2+…+an= =9n-n . 2 ∵an=10-2n,令 an=0,得 n=5. 当 n>5 时,an<0;当 n=5 时,an=0; 当 n<5 时,an>0. ∴当 n≥6 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|
6

=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an) =T5-(Tn-T5)=2T5-Tn 2 2 =2×(9×5-25)-9n+n =n -9n+40, 当 n≤5 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an| 2 =a1+a2+…+an=Tn=9n-n . 2 ?9n-n , ?n≤5? ? ∴Sn=? 2 n∈N*. ?n -9n+40, ?n>5? ? 课时作业 1.B [由已知得 d= =1,∴a1=-9, 15-2 ∴a10=a1+9d=0,∴S10=S9+a10=S9.] ? n=1 ?S1, 2.B [由 an=? ,∴an=2n-10. ?Sn-Sn-1, n≥2 ? 由 5<2k-10<8,得:7.5<k<9,∴k=8.] S3 3a1+3d 1 3.A [方法一 = = ,∴a1=2d, S6 6a1+15d 3 S6 6a1+15d 12d+15d 3 = = = . S12 12a1+66d 24d+66d 10 S3 1 方法二 由 = , S6 3 得 S6=3S3.S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 仍然是等差数列, 公差为(S6-S3)-S3=S3,从而 S9-S6=S3+2S3=3S3? S9=6S3, S12-S9=S3+3S3=4S3? S12=10S3, S6 3 所以 = .] S12 10 4.C [由 an=?
? ?S1 ?Sn-Sn-1 ?

a15-a2

?n=1? ?n≥2?



解得 an=5-4n. 2 ∴a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴nan=5n-4n , 2 2 ∵na1-Sn=n-(3n-2n )=2n -2n=2n(n-1)>0. Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0. ∴na1>Sn>nan.] 5.C [由 S5<S6,得 a6=S6-S5>0. 又 S6=S7? a7=0.由 S7>S8? a8<0, 因此,S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0.] 6.2n-2 7.5 或 6 解析 d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0 且 a3+a9=0, ∴a6=0, ∴a1>a2>…>a5>0,a6=0,0>a7>a8>…. ∴当 n=5 或 6 时,Sn 取到最大值. 8.10 解析 由已知,a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,两式相加,得 (a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=93, 即 a1+an=31. n?a1+an? 31n 由 Sn= = =155,得 n=10. 2 2 2 9.(1)证明 f(x)=[x-(n+1)] +3n-8,

7

∴an=3n-8,∵an+1-an=3,∴{an}为等差数列. (2)解 bn=|3n-8|. 当 1≤n≤2 时,bn=8-3n,b1=5. n?5+8-3n? 13n-3n2 Sn= = . 2 2 当 n≥3 时,bn=3n-8, Sn=5+2+1+4+…+(3n-8) 2 ?n-2??1+3n-8? 3n -13n+28 =7+ = . 2 2 13n-3n ? ? 2 ∴S =? 3n -13n+28 ? ? 2
n
2 2

?1≤n≤2?, ?n≥3?. 12×11 12a1+ d>0, 2
1

10.解

? ? 13×12 (1)根据题意,有:? 13a + d<0, 2 ? ?a +2d=12,
1

2a1+11d>0, ? ? 整理得:?a1+6d<0, ? ?a1+2d=12. 24 解之得:- <d<-3. 7 (2)∵d<0,∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…, 13?a1+a13? 而 S13= =13a7<0,∴a7<0. 2 12?a1+a12? 又 S12= =6(a1+a12)=6(a6+a7)>0, 2 ∴a6>0. ∴数列{an}的前 6 项和 S6 最大.

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