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高中数学圆的方程典型例题 (1)


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高中数学圆的方程典型例题
类型一:圆的方程 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关系.

解法一: (待定系数法)

解法二: (直接求出圆心坐标和半径)

例 2 求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.

例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 ,在满足条件 (1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,求过点 P?2, 4? 与圆 O 相切的切线.

例 6 两圆 C1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、 B 两 点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程.

例 7、过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、 B ,求
2 2

直线 AB 的方程。

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练习: 1.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 相切的直线 l 的方程. 2、过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

5 ? 0 相切的直线的方程为 2

类型三:弦长、弧问题 例 8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长. 例 9、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 例 10、求两圆 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 5 的公共弦长、

类型四:直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2

例 12、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

例 13 圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?

练习 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是
2 2 练 习 2 : 若 直 线 y ? kx ? 2 与 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 k 的 取 值 范 围

是 3、

. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有( ) . (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个
2 2

4、 过点 P?? 3, ? 4? 作直线 l ,当斜率为何值时,直线 l 与圆 C: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? 4 有公共点,如 图所示.

类型五:圆与圆的位置关系 类型七:圆中的最值问题
2 2 例 18:圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是

例 19 (1)已知圆 O1: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , P( x , y) 为圆 O 上的动点,求 d ? x 2 ? y 2 的最大、最 小值.
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(2)已知圆 O2: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,P( x , y) 为圆上任一点.求 最大、最小值.

y?2 的最大、 最小值, 求 x ? 2y 的 x ?1

例 20:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 上运动,则 PA ? PB 的最小 值是 练习: 1:已知点 P ( x, y ) 在圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上运动. .

2

2

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2 y?2 2 2 2 设点 P( x , y) 是圆 x ? y ? 1 是任一点,求 u ? 的取值范围. x ?1
(1)求

3、已知点 A(?2,?2), B(?2,6), C (4,?2) ,点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,求 PA ? PB ? PC 的 最大值和最小值. 类型九:圆的综合应用 例 25、 已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且

2

2

2

OP ? OQ ,求实数 m 的值.

2 2 例 26、已知对于圆 x ? ( y ?1) ? 1上任一点 P( x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的

取值范围.

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