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内蒙古巴彦淖尔市一中2014届高三上学期9月月考数学(理)试题


第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(5 分×12=60 分)每小题给出的四个选项只有一项正确 ? 1.已知函数 f ( x) ? x sin x ? cos x, ,则 f ?( ) 的值为 ( ) 2 ? A. B.0 C.-1 D.1 2 2.与命题“若 a ? M ,则 b? M ” 等价的命题是 ( ) A.若 a ? M , 则 b? M B.若

b? M , 则 a ? M C.若 a ? M , 则 b? M D 若 b? M , 则 a ? M
3.设集合 M= {1,2},N={ a },则“ a ? 1 ”是“ N ? M ”的
2





A.充分不必要条件 C.充分必要条件 4. 若集合 ? =

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

?x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 3?, B ? ? x x ? 2 ? 0? ,则 A ? B=( ? ?
? x ?

A. x ? 1 ? x ? 0 5.函数 y ?

?

?

B.

?x 0 ? x ? 1?

C. x 0 ? x ? 2

?

?

D. x 0 ? x ? 1

?

?

1 ? lg 2 x ? 1 的定义域是( ( ) 3x ? 2



A. [ ,??)

2 3

( ,??) B.

1 2

( ,??) C.
? 1 , x ? 2? ,则 CU P = ( x ?
C. (0,?? ) ) )

2 3

( , ) D.

1 2 2 3

6.已知 U= y y ? log 2 x, x ? 1 ,P= ? y y ?

?

?

? ?

A. [ ,??)

1 2

B.(0, )
2

1 2

D. (??,0) ? [

1 ,??) 2

7.函数 f ( x) ? ln(4 ? 3x ? x ) 的单调递减区间是 ( A. ( ??, ]

3 2

B. [

3 , ?) ? 2

C.

3 (?1, ] 2

4 D. [ ,)

2

3 2

8.下列函数中,既是偶函数又在 (0,?? ) 上单调递增的函数是 A.

) D. y ? 2
?x

y ? x3

B. y ? x ? 1

C. y ? ? x ? 1

9.

1 dx 等于 2 x A. ? 2 ln 2

?

4

( B. 2 ln 2

) C.

? ln 2

D. ln 2
h ?0

10.已知函数 y ? f (x) 在区间 a, b) 内可导,且 x0 ? ( a, b) ,则 lim ( 于 ( ) B. ? 2 f ?( x0 ) C. 2 f ?( x0 )

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 等 h
D.0

A. f ( x0 )

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(5 分×4=20 分)
13. 命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

(要求用数学符号表示);

14. 若集合 A ? x ? 2 ? x ? 1 , B ? x 0 ? x ? 2 ,则集合 A? B =

?

?

?

?

;

? ? ?? sin x,0 ? x ? 2 1 15.已知函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( x0 ) ? ? ,则 x0 = 1 2 ? 3x ? , x ? 0 2 ? 1 2 16.函数 f ( x) ? x ? ln x 的递减区间是 . 2 三、解答题 (12 分+12 分+12 分+12 分+12 分+10 分=70 分)
(Ⅰ)求 f (x) ; (Ⅱ)当函数 f (x) 的定义域为 [0, 1] 时,求函数 f (x) 的值域.



17. (12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 8) x ? a ? ab 的两个零点分别是 ? 3 和 2.

18. (12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? a
x

2x

(a ? 0 ,且 a ? 1) ,求函数 f ( x) 的值域;

19. (12 分) g ( x) ? log a ( x ? 1) ( a ? 0, 且 a ? 1) ,函数 g ( x) 的图象与函数 h( x) 的图 象关于 y 轴对称。 (Ⅰ)试写出函数 h( x) 的解析式; (Ⅱ)设 f ( x) ? g ( x) ? h( x ) ,判断函数 F ( x) 的奇偶性并予以证明; (Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,求 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围

20. (12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 ? a ,若 x ?[?1, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数

a 的取值范围.

21(12分)设函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求函数 f (x) 的最大值; 2

(Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? 斜率 k ≤

1 2 a ax ? bx ? ( 0 ? x ? 3 )其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 2 x

1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2
2

(Ⅲ)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分, ,做答时 请写清题号,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC, AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙O 的直径.

(Ⅰ)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (II)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F ,若 AF ? 2, CF ? 4 ,求 AC 的长.

23. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 且长度单位相 同.圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2 cos? 7? ( ? 为参数),点 Q 的极坐标为 ( 2, ). 4 ? y ? ?1 ? 2 sin ?

(Ⅰ)化圆 C 的参数方程为极坐标方程; (Ⅱ)若点 P 是圆 C 上的任意一点, 求 P , Q 两点间距离的最小值。

巴市一中 2013-2014 学年第一学期 9 月份月考 高 三 理 科 数 学 答案

18、解:设 a ? t , 则 t ? 0, g ?t ? ? 1 ? 2t ? t ? ??t ? 1? ? 2
x
2 2
2

???????5 分

? ? 对称轴t ? ?1? ?0,??? g ?t ? ? ?t ? 1? ? 2 在 ?0, ? ? 上是减函数 ?????12 分 1? g ?t ? ? g ?0? ? 1, 故函数 f ? x ? 的值域为 ?? ?,
19、

故当 0<a<1 时,f(x)>0 的 x 的取值范围是-1<x<0

?????12 分

21、.解: (1)依题意,知 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当a ?b ?

1 1 2 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , 2 4 2

令 f ?( x) ?

1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) ? x? ? x 2 2 2x

=0

????????2 分

解得 x ? 1.(? x ? 0) 因为 g ( x) ? 0 有唯一解, 所以 g ( x2 ) ? 0 , 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 当 此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减。 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? (2) F ( x) ? ln x ? ∴ a ≥ (?

3 ,此即为最大值 4

????????4 分

x ?a 1 a , x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? , 在 x0 ? (0,3] 上恒成立, x0 2 x

1 2 x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 ? 1 时, ? x 0 ? x 0 取得最大值 ,所以 a ≥ ?????8 分 2 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 2mx ? 2m . x

令 g ?( x) ? 0 , x ? mx ? m ? 0
2

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m ? 0 (舍去) x2 ? 因为 m ? 0, x ? 0, 所以 x1 ? , , 2 2

当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增, 当 x ? x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x) 取最小值 g ( x2 ) . ?????10 分

? x2 2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 ? g ( x2 ) ? 0 ? 则? 即? 2 ? x2 ? mx2 ? m ? 0 ? g ?( x2 ) ? 0 ?
所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0, 因为 m ? 0, 所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0(?) 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时, h( x ) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解. ∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即

m ? m 2 ? 4m 1 ? 1 ,解得 m ? 2 2

???12 分

23.解:(1)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ,
2 2

展开得 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

化为极坐标方程 ? ? 2 ? cos? ? 2 ? sin ? ? 2 ? 0
2

?????5 分

(2)点 Q 的直角坐标为 ( 2 ,? 2 ) ,且点 Q 在圆 C 内, 由(1)知点 C 的直角坐标为 (1,?1) 所以 | QC |? 2 ? 2 , 所以 P, Q 两点间距离的最小值为 | PQ |? 2 ? (2 ? 2 ) ?

2

?????10 分


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