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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 (2)


??新课导入??
??回顾旧知??
???同一平面内的直线有哪些位置关系??

??a??
??o??
??相交??

??b??
??平行??

??a?? ??b??

??????? ??????

?????? ?????????? ?-1???????? ???????

如何判断两直线相交? a o b
两直线有公共交点。

如何判断两直线平行? a b 两直线在同一平面,且无公共交点。
??????? ?????? ???????? ???????-1 ?????? ???????????

??2.1.2 空间中直线与直线之间的位?? ??置关系??

??????? ??????

?????? ?????????? ?-1???????? ???????

教学目标
知识与能力
?了解空间中两条直线的位置关系。 ?理解并掌握公理4和等角定理。

?异面直线所成角的定义、范围及应用。

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???????? ???????-1 ?????? ???????????

过程与方法 ?师生的共同讨论与讲授法相结合。

情感态度与价值观 ?让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性, 提高学生的学习兴趣。

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???????? ???????-1 ?????? ???????????

??教学重难点??
??重点?? ?。??异面直线的概念?? ?。??公理4及等角定理?? ??难点??

?。??异面直线所成角的计算??

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?????? ?????????? ?-1???????? ???????

??黑板两侧所在的直线与课桌边沿所?? ???在直线是什么位置关系?? ??既非平行?? ??又非相交??

??????? ??????

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??旗杆所在的直线与其正后方跑道所?? ???在直线是什么位置关系?? ??既非平行?? ??又非相交??

??????? ??????

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在正方体的面ABCD中,AB与AD相交, AB与CD平行.AB和CC'的位置关系是平行还是 相交还是两者都不是?
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

两者都不是

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???????? ???????-1 ?????? ???????????

不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线(skew lines)
空间两条直线的位置关系: 相交直线 同一平面内,有且只有一个公共点 共面直线 平行直线同一平面内,没有公共点; 异面直线 不同在任何一个平面内,没有公共点。

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??异面直线的画法??

??b??

?????

??b??
??a??

?????

??a??

?????

?。?为表示异面直线不共面得特点,常以平面衬托??

??????? ??????

?????? ?????????? ?-1???????? ???????

探 究 下图是一个正方体的展开图,如果将它还原 为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段 所在的直线是异面直线的有 3 对。
C G

A

G(C )
E
B

A D F ( B)

D
H E

H

F

直线EF和直线HG

直线AB和直线HG

直线AB和直线CD

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???????? ???????-1 ?????? ???????????

观察
如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中, BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与DD'平行吗?
D?

C?
B?

A?
D

C

A
平行

B

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

思 考 在同一平面内,如果两条直线都与第三条 直线平行,那么这两条直线相互平行.在空间 中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否 也有类似的规律?

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行。
———平行线的传递性 推广:

在空间平行于一条已知直线的所有 直线都互相平行。
??????? ?????? ???????? ???????-1 ?????? ???????????

例2 如图 ,空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形 A EFGH是平行四边形。 H 证明:连接BD, E 因为 EH是 ΔABD 的中位线,
D G B F C

所以EH//BD,且 EH ?

1 同理FG//BD,且 FG ? BD 2

1 BD 2

所以 EH//FG,且EH=FG
所以,四边形EFGH是平行四边形。

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

探 究
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH是什么图形?
A H E D G B F C

四边形EFGH是菱形。

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

思 考 在平面上,如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行,那么这两个角相等或互补.

AO //C P//EQ ? ??AO B? ?C O D ??? BO //DP//FQ? ??AO B? ?EQ F ? 180?
A O P F C B D E

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

Q

空间中,该结论是否仍然成立?
?ADC 与?A?D?C?, 在长方体 ABCD ? A?B?C?D? 中, ?ADC 与?A?B?C? ,的两对边分别对应平行,这两组角 的大小关系如何? D? C? B? A?

D
?ADC ? ?A?D?C?

C

A

B

?ADC ? ?A?B?C? ? 180? ??????? ?????? ???????? ???????-1 ?????? ???????????

??定理??

??空间中如果有两个角的两边分别对应平?? ?。?行,那么这两个角相等或互补??
??———等角定理??

??????? ??????

?????? ?????????? ?-1???????? ???????

AC//A?C?, ?AB//A?B?
C C
B
C?

? A

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

?CAB ? ?C?A?B?

?CAB? ?C?A?B? ? 180?
???????? ???????-1 ?????? ???????????

??????? ??????

在平面内两直线相交成四个角,不大于 90°的角成为夹角。 夹角 a

b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜 程度,异面直线通过异面直线所称的角来刻画。

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

异面直线所成的角
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作 直线a`//a, b`//b,我们把a`与b`所成的锐角(或直 角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。
b
b?
a
O

b
a?

?

?

O

a? a

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

为简便,O点常取 在某一直线上

??如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这?? ??两条直线相互垂直.??

??b??

?????

??a??

??a ? b.?? ??记作:??

??????? ??????

?????? ?????????? ?-1???????? ???????

探 究 (1)在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,有没有两条 棱所在的直线是相互垂直的异面直线?
D?

C?
B?

A?
D

C

A
??????? ??????

B

有,如AB和CC‘,AB和DD’。

???????? ???????-1 ?????? ???????????

(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线 垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直? 相交直线的垂直 垂直分为两种:

异面直线的垂直

c
?
??????? ??????

b a
垂直

c
?

b a

???????? ???????-1 ?????? ???????????

(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

c
?
b
a

如图,若c⊥α,则c垂直于α内所有直线, 而α内任意两条直线的关系可能是平行,也可能 是相交。 不一定

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???????? ???????-1 ?????? ???????????

例3

如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE 的中心,求(1)哪些棱所在直线与直线BE是异面 直线(2)BE与CG所成的角。 H G E
F D C

B -1 ?????? ??????????? ? ?????? ??????A ???????? ???????

H E F
D

G

C

A B 解: (1)与直线BE异面的棱是CG,DH,CD,HG,AD, FG所在直线
(2)∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直 线 BE与CG所成的角,又 ? BEF中∠EBF =45°,所以BE与CG所成的角是45°。

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

课堂小结
异面直线的定义:
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线

空间两直线的 位置关系

平行直线 异面直线

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

异面直线所成的角:

平移,转化为相交直线所成的角。
公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理: 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补。

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

??练习答案??
?。 ' ?1.(1)3条,分别是BB ',CC ',DD??
?。?(2)可能相等,也可能互补??

??2.(1)45°??
??(2)60°??

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随堂练习
一、下图长方体中 ㈠说出以下各对线段的位置关系? E ①EC和BH是 相交 直线
H
F D A B C G

②BD和FH是 平行 直线
③BH和DC是 异面 直线

㈡与棱AB所在直线异面的棱共有 4 条? 分别是 :CG、HD、GF、HE

??????? ??????

???????? ???????-1 ?????? ???????????

二、判断

错 1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。 2)a ? α,b ? α,则a,b一定异面。 错

3)a与b是异面直线,b与c是异面直线,则a与c是 异面直线。 错
4)a与b是共面,b与c是共面,则a与c共面。 错

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三、选择
1. 两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则 直线a,b的位置关系是( B ) A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线,也可能是相交直线 2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它 和另一条的位置关系是( D ) A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面

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3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( D) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 4. 异面直线a,b满足a??,b??,?∩?=l,则l与a,b的 位置关系一定是( B ) A. l与a,b都相交 B .l至少与a,b中的一条相交 C. l至多与a,b中的一条相交 D. l至少与a,b中的一条平行

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??作业??
??优化设计2.1.2: 课前预习,?? ??自我测评,?? ??随堂训练.??
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