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解三角形单元复习(一)


2013-8-18

解三角形单元复习(一)
一.复习要点 1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . sin A sin B sin C
? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ?

cos B ? . ? 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 2 2 2.余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B 或 ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.解题中利用 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算, 如: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin

A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot . 2 2 2 2 2 2

6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图; (3)求解:正确运用正、余弦定理求解; (4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。 二、题组训练:

1、在△ABC 中, a=12,A= 60 0 ,要使三角形有两解,则对应 b 的取值范围为 2、判定下列三角形的形状 (1)在△ABC 中,已知 a ? 3, b ? 4, c ? 38 ,请判断△ABC 的形状。

(2)在△ABC 中,已知 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,请判断△ABC 的形状。

(3)在△ABC 中,已知 cos A ?

1 2 , a ? bc ,请判断△ABC 的形状。 2

1

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(4)在△ABC 中,已知 b 2 sin 2 C ? c 2 sin 2 B ? 2bc cos B cosC ,请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中,已知 a ? 5, b ? 4, A ? 30 0 ,求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中,若△ABC 的面积为 S,且 2S ? (a ? b) 2 ? c 2 ,求 tanC 的值。

5、在△ABC 中,已知 b 2 ? bc ? 2c 2 ? 0, a ? 6 , cos A ?

7 ,求△ABC 的面积。 8

6、在△ABC 中,已知 ab ? 60 3, sin B ? sin C , △ABC 的面积为 15 3 ,求边 b 的长。

7、在△ABC 中,求证:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

2

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三、典型例题
3 tan A 1、设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? c .求 的值; tan B 5

2、在 △ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?
(Ⅰ)若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ABC 的面积.

? . 3

3、设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ABC 的周长 l .

3


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