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【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题11


【备战 2013 年】历届高考数学真题汇编专题 11 排列组合 二项 式定理最新模拟
1、 (2012 日照一中模拟)在小语种提前招生考试中,某学校获得 5 个推荐名额,其中 俄语 2 名,日语 2 名,西班牙语 1 名。并且日语和俄语都要求必须有男生参加。学校通 过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象,则不同的推荐方法共有 (A)20 种 (B)22 种 (C)

24 种 (D)36 种

2、 (2012 威海二模)将 a, b, c 三个字母填写到 3×3 方格中,要求每行每列都不能出现重 复字母,不同的填写方法有________种.(用数值作答)

3、 (2012 临沂 3 月模拟)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有 重复数字的四位数的个数为 (A)300 【答案】C
2 2 4 1 1 2 3 【解析】若不选 0,则有 C2 C3 A4 ? 72 ,若选 0,则有 C3 C2C3 A3 ? 108,所以共有 180

(B)216

(C)180

(D)162

种,选 C. 4、 (2012 济南一中模拟) 如右图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有 A. 11 种 C. 21 种 B. 20 种 D. 12 种

【答案】C
1 2 3 【解析】 若前一个开关只接通一个, 则后一个有 C3 此时有 2 ? 7 ? 14 种, ? C3 ? C3 ? 7, 1 2 3 若前一个开关接通两一个,则后一个有 C3 ? C3 ? C3 ? 7 ,所以总共有 14 ? 7 ? 21 ,选 C.

用心 爱心 专心

-1-

5、 (2012 滨州二模)如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,他们是由正整数的倒 数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为

1 ( n ? 2) ,每个数是它下一行左右相邻两数的和, n


如: 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 ?,则第 n(n ? 3) 行第 3 个数字是 1 2 2 2 3 6 3 4 12

6、 (2012 德州二模)2012 年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志 愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲、乙只能从事前 三项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.18 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种

7、 (2012 济南三模)将 1,2,3,?,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左 到右,每一列从上到下分别依次增大,当 3,4 固定在图中的位 置时,填写空格的方法数为 A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种

用心 爱心 专心

-2-

8、 (2012 烟台二模)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门相同的选法种数为(用数字作答)___ 答案:30 解析: 可先求出所有两人各选修 2 门的种数 C4 C4 =36, 再求出两人所选两门都都不同的
2 2 种数均为 C4 C2 =6,故只至少有 1 门相同的选法有 36-6=30 种。 2 2

9、 (2012 德州一模) 已知 ( x ? m )7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ...a7 x7 的展开式中 x 的系数是 189,
5

则实数 m=



10、 (2012 临沂二模)二项式 (2 x ? (A) 120 【答案】D 【解析】展开式的通项为 (B) ?120

1 6 ) 的展开式中的常数项为 x
(D) ?160

(C) 160

Tr ?1 ? C (2 x )
r 6

6? r

(?

1 x

) ? (?1) ? 2
r r

6? r

C x

r 6

6? r 2

x

?

r 2

r 3? r ? (?1) r ? 2 6?r C6 x





3 3 ? r ? 0 ,得 r ? 3 ,所以常数项为 T4 ? (?1) 3 ? 23 C6 ? ?160 ,选 D.

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-3-

11、 (2012 青岛二模)设 a ?

? 0(1 ? 3x )dx ? 4 ,则二项式 ( x
2

2

2

a 3 ? ) 6 展开式中不含 ..x 项的 x

系数和是 A. ?160 B. 160 C. 161 D. ?161

2 12、 (2012 青岛 3 月模拟) (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为
6

1 x

A. ?240

B. 240

C. ?60

D. 60

13、 (2012 日照 5 月模拟)已知 ( (A)1 (C)3 答案:C 解析:由题意得: C6
4

2 x 6 20 ? ) 的展开式中常数项为 ,那么正数 p 的值是 2 27 p x

(B)2 (D)4

1 20 4 ? 22 ? ,整理得 p ? 81 , 又 p 为正数,解得 p ? 3 .选 C. 4 P 27

1? ? 14、 (2012 泰安一模) ? x 3 ? ? 展开式中常数为 x? ?
【答案】 ? 4 【解析】二项展开式为 Tk ?1 ? C 4 ( x )
k 3 4? k

4

.

1 k 12 ?3 k k 12 ? 4 k (? ) k ? C 4 x (?1) k x ? k ? C 4 x (?1) k , x
-4-

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所以当 12 - 4k ? 0 ,即 k ? 3 时,为常数项,所以常数项为 - 4 .

15、 (2012 威海二模) 设 (x ?

2 6 ) 的展开式中 x3 的系数为 A ,二项式系数为 B ,则 A : B ? x
C. 2
6

A. 4

B. ?4

D. ? 2

6

【山东实验中学 2012 届高三第三次诊断性考试理】 6. 二项式 的展开式中的常数项是( )

(A).第 10 项 (B).第 9 项 (C).第 8 项 (D):第 7 项

【2012 山东青岛市模拟理】在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点, 如果函数 f ( x ) 的图象恰好通过 n(n ? N* ) 个整点,则称函数 f ( x ) 为 n 阶整点函数.有下列函 数: ① f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) x

② g ( x) ? x3 )

x ③ h( x ) ? ( )

1 3

④ ? ( x) ? ln x

其中是一阶整点函数的是( A.①②③④ 【答案】D 【解析】① f ( x) ? x ? B.①③④

C.④

D.①④

1 1 ( x ? 0) 只过 (1, 2)是一阶整点函数,③ h( x) ? ( ) x 过整点 x 3

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-5-

(0,1), (?1,3), (?2,9) 等,不是一阶整点函数,故可知选D。
【山东省济南一中 2012 届高三模拟试题(理) 】15、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的不恒为零 的 函 数 , 且 对 任 意 实 数

a



b





f (a ? b ? af ) b ? bf (a f ) ?

an (?

f( n 2 ) f n ( 2 ) ) n,? N (bn ? 2 n ) n ? N 2 ,有以下结论: , ( n 2

*

)

① f (0) ? f (1) ② f ( x ) 为偶函数;③数列{an}为等比数列;④数列{bn}为等差数列。 其中正确结论的序号是 。

【山东省日照市 2012 届高三模拟理】 (13)我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切 圆,那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半径 r 之间的关系为 S ?

1 cr 。类比这个结论, 2

在空间中,果已知一个凸多面体有内切球,且内切球半径为 R,那么凸多面体的体积 V、表面 积 S'与内切球半径 R 之间的关系是 【答案】V ? 。

1 S ?R 3

解析:类比平面中凸多边形的面积的求法,将空间凸多面体的内切

球与各个顶点连接起来,将凸多面体分割成若干个小棱锥,每个棱锥都以多面体的面为底面, 以内切球的半径为高,从而 V ?

1 1 1 1 1 S1 R ? S 2 R ? ? ? S n R ? ( S1 ? S 2 ? ? ? S n ) R ? S ?R 3 3 3 3 3

( S1 , S2 ,?, Sn 为凸多面体的各个面的面积) 。

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-6-

【2012 黄冈市高三模拟考试理】 对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) , 给出定 义:设 f '( x) 是函数 y ? f ( x) 的导数, f '' 是 f '( x) 的导数,若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”。某同学经过探究发现:任何一个三次函数都 有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。若

f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据这一发现,求: 3 2 12 1 3 1 2 5 (1)函数 f ( x) ? x ? x ? 3 x ? 对称中心为 3 2 12 1 2 3 4 )? f ( )? f ( )? f ( )? (2)计算 f ( 2011 2011 2011 2011



? f(

2010 )= 2011



【2012 安徽省合肥市质检理】 若函数 f ( x) ?| sin x | 的图象与直线 y ? kx(k ? 0) 仅有三个公共 点,且其横坐标分别为 α ,β , ? (? ? ? ? ? ) ,给出下列结论:

① k ? ? cos ? ;② ? ? (0, ? ) ;③ ? ? tan ? ;④ 其中正确的是 【答案】①③④

sin 2? ?

2? 1? ? 2

(填上所有正确的序号)

x ? ? 与 函数 f ( x) ?| sin x | 相切,故 【解析】画 出图象可知, 直线 y ? kx( k ? 0) 在

k ? ? cos? , ? ? (? , 2? ) , 故①对; ②错; 由 | sin ? |? ? cos ? ? ? ,? ? (? , 2? ) 可得 ? ? tan ? ,

用心 爱心 专心

-7-

故③对;由③知 ? ? tan ? ,故 ①③④。

sin2 ? ?2sin ? cos ? ??

2sin ? ?cos ? 2? ? 2 2 sin ? ?cos ? 1 ?? 2 ,④对,故填

【2012 厦门模拟质检理 14】二维空间中圆的一维测度(周长)l=2π r,二维测度(面 积)S=π r ,观察发现 S′=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4π r ,三维测度(体 积)V=
2 2

4 3 3 π r ,观察发现 V′=S。则四维空间中“超球”的三维测度 V=8π r ,猜想其四维 3


测度 W=

y ? 3x ?
【2012 浙江宁波市模拟理】已知函数 上分别取点 P, Q ,则线段 PQ 长的最小值为 .

1 x 的图象为双曲线,在此双曲线的两支

【2012 江西南昌市调研理】 已知 a∈R , 不等式 则 a 的值为 【答案】 n ; 【解析】根据题中所给表达式的规律可得 a ? nn 。
n

+



.

【2012 广东韶关市调研理】对于函数 f ( x ) ,在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我 们把 M 的最大值称为 f ( x ) 的"下确界", 则函数 f ( x) ? 1 ? 4 x ? 确界"等于_________. 【答案】 ?2 , 【解析】因 x ? (??, ) ,所以 5 ? 4 x ? 0 ,则
用心 爱心 专心 -8-

1 5 , x ? (??, ) 的"下 5 ? 4x 4

5 4

f ( x) ? 1 ? 4 x ?

1 1 ? 5 ? 4x ? ? 4 ? 2 ? 4 ? ?2 ,即 M ? ?2 . 5 ? 4x 5 ? 4x 1 时, ?EFB 的面积取得 2

【2012 宁德质检理 15】在面积为 S 的正三角形 ABC 中,E 是边 AB 上的动点,过点 E 作 EF//BC,交 AC 于点 F,当点 E 运动到离边 BC 的距离为 ?ABC 高的 最大值为

1 S . 类比上面的结论,可得,在各棱条相等的体积为 V 的四面体 ABCD 中,E 是棱 AB 4

上的动点,过点 E 作平面 EFG//平面 BCD,分别交 AC、AD 于点 F、G,则四面体 EFGB 的体积的 最大值等于 V。

【2012 韶关第三次调研理 13】在平面中 ?ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分 ? ABC 面积所成 的比

S?AEC AC , 将这个结论类比到空间:在三棱锥 A ? BCD 中,平面 DEC 平分二面角 ? S?BEC BC

A ? CD ? B 且与 AB 交于 E , 则类比的结论为______________.

【2012 黑龙江绥化市一模理 16】把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行的
用心 爱心 专心 -9-

奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成 一列,得到数列 {an } ,若 an ? 2011 ,则 n ? ____.
1 2 5 6 3 7 4 8 9 16 5 2 7 1 4 9

10 11 12 13 14 15 17 18 19 … … … …

10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 34 36 … … … … … … … 图乙 …

20 21 22 23 24 25 … … … … … … 图甲

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

【答案】1028 【解析】 an ? 2011 是第 45 行的第 38 个数,1+2+3+。 。 。+44+38=1028

a? ? 【2012 粤西北九校联考理】二项式 ? 2 x ? 2 ? 的展开式中的常数项为 15,则实数 a 的值 x ? ?
为 ;

6

【2012 粤西北九校联考理】从 8 名女生 4 名男生中,选出 3 名学生组成课外小组,如果按性 别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为 ;

【2012 韶关第一次调研理】 2 ? x 【答案】1,

?

? 展开式中含 x 项的系数为
8
4

.

r 8?r 【解析】由二项式通项公式得: Tr ?1 ? C8 2 (?x)r , r ? 4 , r 8? r 系数为 C8 2 =1

【2012 ? 黑龙江绥化市一模理】 有 5 盆菊花, 其中黄菊花 2 盆、 白菊花 2 盆、 红菊花 1 盆, 现把它们摆放成一排,要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻,则这 5 盆花的不同摆 放种数是( )
用心 爱心 专心 - 10 -

A. 12 【答案】B

B. 24

C.36

D.48

2 2 2 【解析】利用相邻问题捆绑法,间隔问题插空法得: A2 A2 A3 ? 24

【2012 浙江瑞安模拟质检理】某校一社团共有 10 名成员,从周一到周五每天安排两人 值日,若甲、乙必须排在同一天,且丙、丁不能排在同一天,则不同的安排方案共有( ▲ ) A.21600 B.10800 C.7200 D.5400



2012























( x2 ? 1)(2x ? 1)9 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ?
则 a0 ? a1 ?

? a11 ( x ? 2)11 ,

? a11 的值为

.

【山东省枣庄市 2012 届高三上学期模拟理】20.(本题满分 12 分) 观察下表: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, ?? 问: (1)此表第 n 行的第一个数与最后一个数分别是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2012 是第几行的第几个数? 【答案】20.此表 n 行的第 1 个数为 2
n ?1

, 第 n 行共有 2 n ?1 个数,依次构成公差为 1 的等差

数列.??????????????????????????????????4 分 (1)由等差数列的通项公式,此表第 n 行的最后一个数是 2
n?1

? 22?1 ?1 ?1 ? 2n ?1 ;8 分

?

?

用心 爱心 专心

- 11 -

(2)由等差数列的求和公式,此表第 n 行的各个数之和为

?2

n ?1

? 2n ? 1 ? 2n?1 ? 22 n?2 2

?

??

? 22n?3 ? 2n?2 , 或 2n?1 ? 2n?1 ?

2n?1 ? 2n?1 ? 1 ?1 ? 22 n?2 ? 22 n?3 ? 2n?2. ?????8 分 2

?

?

【烟台市莱州一中 2012 届高三模块检测理】19.(本题满分 12 分) 集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x ) 组成的: 函数 f ( x ) 的定义域是 [0, ??) ; 函数 f ( x ) 的值域是 [?2, 4) ; 函数 f ( x ) 在 [0, ??) 上是增函数,试分别探究下列两小题: (1)判断函数 f1 ( x) ? 并简要说明理由; (2)对于(1)中你认为属于集合 A 的函数 f ( x ) ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 是 否对于任意的 x ? 0 恒成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 【答案】19.解: (1)函数 f1 ( x) ?

x ? 2( x ? 0) 及 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 是否属于集合 A?

1 2

x ? 2( x ? 0) 不属于集合 A.

因为 f1 ( x) 的值域是 [?2, ??) .??????????????????????3 分

1 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 在集合 A 中. 2
因为:①函数 f 2 ( x) 的定义域是 [0, ??) ;② f 2 ( x) 的值域是[-2,4) ; ③函数 f 2 ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.????????????????????7 分
用心 爱心 专心 - 12 -

(2)

1 1 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 6 ? ( ) x ( ? ) ? 0, 2 4

? 不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对任意 x ? 0 恒成立.?????????12 分
【山东潍坊诸城一中 2012 届高三模拟试题理】 (本小题满分 12 分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)为她们刺绣最简单的四 个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小 正方形的摆放规律相同) ,设第 n 个图形包含 f(n) 个小正方形.

(Ⅰ)求出 f(5) ; (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n ? 1) 与 f(n) 的关系式,并根据你得到的 关系式求 f(n) 的表达式.

f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) ???????????????????????? 10 分
用心 爱心 专心 - 13 -

? f(n)-f(1)=4[1+2+?+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)·n, ? f(n)=2 n 2 ? 2 n ? 1 .?????????????????????????? 12 分

【山东省淄博一中 2012 届高三模拟试题理】已知 f ( n ) ? 1?

1 1 1 ? ? 23 3 3 4 3

?

1 , n3

g ( n) ?

3 1 ? 2 , n ? N* . 2 2n

(1)当 n ? 1, 2 , 3 时,试比较 f ( n) 与 g (n) 的大小关系; (2)猜想 f ( n) 与 g (n) 的大小关系,并给出证明.

用心 爱心 专心

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