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肇庆2013-2014高三数学文科解析版


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高三数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {?2, ?1,1, 2,} ,集合 N={x|x 是大于 ?2 且小于 5 的整数},则 M ? N ? A. {?1,1, 2} 【解析

】 B. {?1,0,1, 2} C. {?2, ?1,1, 2} D. {?2, ?1, 0,1, 2}

M ? { ?2 , ? 1 , 1 , , 2 ,N } ? {?1,0,1, 2,3, 4} ,所以 M ? N ? {?1,1, 2}

2.函数 f ( x) ? A. [1, ??)

x?2 的定义域是 lg( x ? 1)
B. (1, ??) C. [1, 2) ? (2, ??) D. (1, 2) ? (2, ??)

【解析】 由 ?

?x ?1 ? 0 得 x ? 1且 x ? 2 ?x ?1 ? 1

3.若 iz ? 3 ? 4i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 z ? A. ?4 ? 3i 【解析】 B. ?4 ? 3i C. ? ? ?i D. ? ? ?i

z?

3 ? 4i ? 4 ? 3i ? z ? 4 ? 3i i

4.已知平面向量 a ? (1,?2) , b ? (4, m) ,且 a ? b ,则向量 5a ? 3b ? A. (?7, ?34) B. (?7, ?16) C. (?7, ?4) D. (?7,14)

【解析】 ∵ a ? b ,∴ a ? b ? 4- 2m ? 0 ? m ? 2 ,∴ 5a ? 3b ? (?7, ?16)

?y ? x ? 3 ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件 ?? 1 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ?y ? 1 ?
A. 4 B. 5 C. 14 D. 15 【解析】 “角点”坐标分别为 A(1,1), B(1, 4), C (?1, 2), D(?1,1) , 6.执行如图 1 所示的程序框图.若 n=4,则输出 s 的值是 A. ?23 B. ?5 C. 9 D. 11

zmax ? 2 ?1 ? 3 ? 4 ? 14

【解析】 第一次循环: s ? 1 ? (?2) ? ?1, i ? 2 ;第二次循环: s ? 3, i ? 3 ;第三次循环:

s ? ?5, i ? 4 ; 第四次循环: s ? 11, i ? 5 ,结束;输出 s ? 11
7.在?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边长.
高三数学(文科)试题 第 1 页 共 8 页

已知 a=6,b=4,C=120° ,则 sinB= A.

21 7
2 2 2

B.

57 19

C.

3 38

D. ?

57 19

【解析】 ∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 76 ,∴ c ?

76



b sin C b c = ,∴sinB= = c sin B sin C
2 2 2 2

4?

3 2 = 57 . 19 76

8.已知圆 x ? y ? 4 和圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 ? 0

2 2 【解析】方程 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 经配方,得 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 圆心坐标是 C (?2, 2) ,半径长是 2. 圆

x 2 ? y 2 ? 4 的圆心坐标是 O(0,0) ,半径长是 2.因为两圆关于直线 l 对称,所以直线 l 是线段 OC 的垂直平分线.线段
OC 的中点坐标是 M (?1,1) , 直线 OC 的斜率 k ? ?1 ,所以直线 l 的斜率 kl ? 1 , 方程是 y ? 1 ? x ? 1 , 即x? y?2?0. 9.某圆台的三视图如图 2 所示(单位:cm),则该圆台的体积是 A. 21? cm
3 3 B. 9 10 cm

C ..

7 10 cm3 3
2

D. 7?

cm3

【解析】 圆台上底面积为 S1 ? ? ?1 ? ? ,下底面积为 S2 ? ? ? 2 ? 4? , 高为 h ?
2 10 ? 1 ? 3 ,体积 V ?

1 1 S1 ? S1S2 ? S2 h ? ? ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 7? 3 3

?

?

?

?

10.已知集合 M ? {( x, y) | y ? f ( x)} ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则 称集合 M 是“好集合”. 给出下列 4 个集合: ① M ? {( x, y ) | y ? x } ③ M ? {( x, y) | y ? sin x} 其中所有“好集合”的序号是( A.①②④ B.②③
?1

② M ? {( x, y ) | y ? x }
2

④ M ? {( x, y) | y ? ln x} ) C.③④ D.①③④

【解析】对于① x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?

1 ? 0 ? ( x1 x2 ) 2 ? 1 ? 0( x ? 0) 不成立,故选项 A、D 错;对于④, x1 x2

y y 1 f ?( x) ? ? ln x ?? ? ( x ? 0) ,由 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? 1 2 ? ?1 , x1 x2 x
高三数学(文科)试题 第 2 页 共 8 页

即 f ?( x1 ) f ?( x2 ) ? ?1,

1 1 ? ? ?1 ,不成立. 故选项 C 错;所以选 B. x1 x2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, S 8 ? 4a3 , a 7 ? ?2 ,则 a9 ? ▲ .

【解析】设公差为 d,则 8a1+28d=4a1+8d,即 a1=-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以 a9=a7+2d=-6. 12.若曲线 y ? kx 2 ? ln x 在点(1,k)处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 k ? 【解析】 y? ? 2kx ? ▲ .

1 1 1 ? y? |x ?1 ? 2k ? 1 ,由 ? 2k ? 1? ? (? ) ? ?1 得 k ? x 2 2

x2 y 2 13.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 的左焦点 F1 和一个顶点 B. 则该椭圆的离心率 e= a b
▲ .

【解析】由 x ? 2 y ? 2 ? 0 得 y ?

a2 ? c2 1 1 b 1 = . x ? 1 ,∴ = ,即 c2 c 2 2 2



a2 5 c 2 5 = ,e= = 2 5 c 4 a

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 已知点 P ( 2,

?
3

则过点 P 且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ▲ . ),

【解析】先将极坐标化成直角坐标表示, P ? 2,

? ?

??

? 转化为点 x ? 2 cos ? 1, y ? 2sin ? 3 ,即 1, 3 过点 3? 3 3

?

?

?

?

?1, 3? 且平行于 x 轴的直线为 y ?

3 ,再化为极坐标为 ? sin ? ? 3

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,过⊙O 外一点 A 分别 作切线 AC 和割线 AD,C 为切点,D,B 为割线与⊙O 的 交点,过点 B 作⊙O 的切线交 AC 于点 E. 若 BE⊥AC, BE=3,AE=4,则 DB= ▲ .

【解析】由条件得 CE ? BE ? 3 ,所以 AC ? 7 ,又 AB ?

AE 2 ? BE 2 ? 5 ,由切割线定理有 AD ?

AC 2 49 ? ,故 AB 5

DB ? AD ? AB ?

49 24 ?5 ? 5 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
高三数学(文科)试题 第 3 页 共 8 页

已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? (1)求 f (0) 的值; (2)若 cos? ? ? , ? ? ( 16【解析】(1)由

?
6

) ( ? ? 0, x ? R )的最小正周期为 2? .

2?

3 5

?
2

, ? ) ,求 f (? ?
(2 分)

?
3

).

?

? 2? ,得 ? ? 1

∴ f ( x) ? 2sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(3 分)

?? ? 1 ? ∴ f ? 0 ? ? 2sin ? 0 ? ? ? ?2sin ? ?2 ? ? ?1 6? 6 2 ?
(2)∵ cos ? ? ? , ? ? ?

(5 分)

3 5

4 ?? ? , ? ? ,∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 5 ?2 ?

(7 分)

∴ f ?? ?

? ?

??

?? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2sin ? cos ? 2 cos ? sin 6? 6 6 3? ?
(12 分)

(9 分)

4 3 ? 3? 1 4 3 ?3 ? 2? ? ? 2? ? ?? ? 5 2 5 ? 5? 2
17. (本小题满分 12 分)

从一批柚子中,随机抽取100个,获得其重量(单位:克)数据按照区间 [900,950) ,[950,1000) ,[1000,1050) ,

[1050,1100) 进行分组,得到频率分布直方图(如图4).
(1)根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值; (2)用分层抽样的方法从重量在 [950,1000) 和 [1050,1100) 的柚子中共抽取5个,其中重量在 [1050,1100) 的有 几个? (3)在(2)中抽出的5个柚子中,任取2个,求重量在 [1050,1100) 的柚子最多有1个的概率. 【解析】 (1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 1025 (克) (2 分) (2)从图中可知,重量在 [950,1000) 的柚子数

n1 ? (1000 ? 950) ? 0.004 ?100 ? 20 (个)
重量在 [1050,1100) 的柚子数

(3 分)

n2 ? (1050 ? 1100) ? 0.006 ?100 ? 30 (个)

(4 分)

从符合条件的柚子中抽取 5 个,其中重量在 [1000,1050) 的个数为

n?

5 5 ? n2 ? ? 30 ? 3 (个) n1 ? n2 50

(6 分)
高三数学(文科)试题 第 4 页 共 8 页

(3) 由 (2) 知, 重量在 [1050,1100) 的柚子个数为 3 个, 设为 a, b, c , 重量在 [950,1000) 的柚子个数为 2 个, 设为 d , e , 则所有基本事件有: (a, b),(a, c),(a, d ),(a, e) , (b, c),(b, d ),

(b, e),(c, d ),(c, e),(d , e) 共 10 种

(9 分)

其中重量在 [1050,1100) 的柚子最多有 1 个的事件有: (a, d ),(a, e) , (b, d ), (b, e),(c, d ),

(c, e), (d , e) 共 7 种

(11 分)

所以,重量在 [1050,1100) 的柚子最多有 1 个的概率 P ? 18. (本小题满分 14 分)

7 . 10

(12 分)

如图 5,在三棱锥 P—ABC 中,底面 ABC 为等腰直角三角形,?ACB=90° ,棱 PA 垂直底面 ABC,PA=AB=4, ,
BD ?

3 3 BP , CE ? CP ,F 是 AB 的中点. 4 4
(1)证明:DE//平面 ABC; (2)证明:BC?平面 PAC; (3)求四棱锥 C—AFDP 的体积.

PD PE 3 3 【解析】 (1)证明:∵ BD ? BP , CE ? BC ,∴ , ? 4 4 PB PC
∴ DE // BC (2 分) 又∵ DE ? (3 分) ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC;∴ DE // 平面 ABC; (2)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. ∵ ?ACB ? 90 ,∴即 BC?AC.
o

(1 分)

(4 分) (5 分) (7 分)

又∵ PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC .

(3)∵ ABC 为等腰直角三角形,F 是 AB 的中点,∴ FC ? AB, FC ? ∴ ?BCF 的面积 S?BCF ?

1 AB ? 2 , 2

1 CF ? BF ? 2 2

(8 分)

过 D 作 DG ? AB 于 F ,则 DG / / PA , ∴ DG ? 平面 ABC ,且 DG 三棱锥 D ? BCF 的高, (9 分)

3 3 又 BD ? BP ,∴ DG ? PA ? 3 , 4 4
∴三棱锥 D ? BCF 的体积 VD ? BCF ? 又三棱锥 P ? ABC 的体积

(10 分)

1 1 S?BCF ? DG ? ? 2 ? 3 ? 2 (11 分) 3 3

高三数学(文科)试题

第 5 页 共 8 页

1 1 1 1 1 16 VP ? ABC ? S?ABC .PA ? ? AB ? CF ? PA ? ? ? 4 ? 2 ? 4 ? 3 3 2 3 2 3
∴四棱锥 C ? AFDP 的体积 V ? VP ? ABC ? VD ? BCF ?
16 10 ?2 ? 3 3

(13 分) (14 分)

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 1( n ? N ).
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 S n 为数列 {

2n } 的前 n 项和,求 S n ; an ? 1

(3)证明:

1 1 1 5 ? ??? ? ( n ? N * ). a1 a 2 an 3
(2 分) (3 分) ? a n ? 1 ? 2 ,a n ? 2 ? 1
n n

【解析】 (1)? a n ?1 ? 2a n ? 1 ,? a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) 故数列 {a n ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 (2)∵

(4 分) (6 分)

2n 2n n ? n ? n ?1 an ? 1 2 2

(5 分)∴ Sn ? 1 ?

2 3 n ? 2 ? ? ? n?1 2 2 2
以上两式相减,得

1 1 2 3 n? 1 n Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n? 1? n 2 2 2 2 2 2
n

(7 分)

?1? 1? ? ? n n?2 1 1 1 1 n 2 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? ? ? n ? 2 ? n 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
(3)?

(9 分)∴ S n ? 4 ?

n?2 2n ?1

(10 分)

1 1 1 1 1 ? n ?1 ? n ?1 ? ? an ?1 2 ? 1 2 ? 2 2 an

(11 分)

设T ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? , a1 a2 a3 an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ) ? ? (T ? ) a1 2 a1 a2 an a2 2 an ?1
(12 分)

则T ?

∴T ?

5 3

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 F1 F2 ? 2 ,点 P 在椭圆上,且 ?PF1 F2 的 a2 b2
高三数学(文科)试题 第 6 页 共 8 页

周长为 6. 过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 AB 中点的横坐标为

1 ,求直线 l 的方程; 2
| DP | | AB |
2

(3)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D. 设弦 AB 的中点为 P,试求 【解析】 由已知得 2c ? 2 ,且 2a ? 2c ? 6 ,
2

的取值范围.

(2 分)解得 a ? 2, c ? 1 ,又 b ? a ? c ? 3 , (3 分)
2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(4 分)

(2)设过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

将其代入

x2 y2 ? ? 1 中得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 4 3

(5 分)

? ? (3 ? 4k 2 )2 ? 4 ? 8k 2 ? (4k 2 ? 12) ? 144k 4 ? 360k 2 ? 9

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , (6 分)

8k 2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 12 则 x1,2 ? ,∴ x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 2(3 ? 4k 2 ) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4k 2 1 3 1 因为 AB 中点的横坐标为 ,所以 ? ,解得 k ? ? 2 2 3 ? 4k 2 2
所以,直线 l 的方程 y ? ?

(7 分)

3 ( x ? 1) 2

(8 分)

(3)由(2)知 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4k 2 ?3k , ) 所以 AB 的中点为 P( 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2
所以 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]

??? ?

? (k 2 ? 1)[

64k 4 4(4k 2 ? 12) 12(k 2 ? 1) ? ] ? (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 4k 2 ? 3

(10 分)

直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 k2 ? ? ( x ? ) x ? , 由 , 得 , y ? 0 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
(12 分)

??? ? 3 k 2 (k 2 ? 1) k2 ,0) , 所以 DP ? 则 D( 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

高三数学(文科)试题

第 7 页 共 8 页

??? ? 3 k 2 ( k 2 ? 1) DP 2 1 1 1 k2 1 4 k ? 3 ? 1? 2 ? 所 以 ??? 又 因 为 k 2 ?1 ? 1 , 所 以 0 ? 2 ?1 . 所 以 ? ? 2 2 12( k ? 1) k ?1 4 k ?1 4 k ?1 AB 4k 2 ? 3 ??? ? DP 1 1 1 ? 1? 0? 1? 2 ? . 所以 ??? (14 分) ? 的取值范围是 ? 0, ? 4 k ?1 4 ? 4? AB
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4(a ? R) .(1) 若 a ? 2 ,求 f ( x) 在 [?1,1] 上的最小值;
3 2

(2)若存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.
3 2 2 【解析】 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 , f ?( x) ? ?3x ? 4 x (1 分)

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ?

4 3

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

?1
?7

(?1,0)


0

(0,1)
+ ↗

1

0

1
?3
(5 分)

?1

?4

∴当 x ?[?1,1] 时, f ( x) 最小值为 f (0) ? ?4 (2)∵ f ?( x) ? ?3x( x ?

(6 分)

2a ) 3

①若 a ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减。 又 f (0) ? ?4 ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ?4 。∴当 a ? 0 时,不存在 x0 ? (0, ??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ②若 a ? 0 ,则当 0 ? x ? (9 分)

2a ? 2a ? 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 ? 0, (10 分) ? 上单调递增; 3 ? 3 ?
(11 分)

当x?

2a ? 2a ? 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在在 ? , ?? ? 上单调递减. 3 ? 3 ?

∴当 x ? (0, ??) 时, f max ( x) ? f ?

8a 3 4a 3 4a 3 ? 2a ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 (12 分) ? 27 9 27 ? 3 ?
(13 分) 综上, a 的取值范围是 (3, ??) . (14 分)

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0 ,∴ a ? 3 27

高三数学(文科)试题

第 8 页 共 8 页


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