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北京市昌平区2013届高三数学仿真模拟试卷4 文 2


北京市昌平区 2013 届高三仿真模拟数学文科试卷 4
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设集合 M ? ?x | x ? 1 ? 0 ? , N ? ?x | 2 ? 1? ,则 M ? N 等于
2 x

A C

?x | x

?x | x

? ? 1? ? 0?

B

?x | ? 1 ?

x ? 1?

D ?x | 0 ? x ? 1?

( , ( 2.已知 e 1 ? 1, 0)e 2 ? 0 ,1) a ? 2 e 1 ? e 2 , b ? ? e 1 ? e 2 ,当 a ∥ b 时,实数 ? 等于 ,

A

?1

B

0

C

?

1 2

D

?2

3.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题正确的是 A C 若 m ? n , n ? ? ,则 m ? ? 若 m // ? , n // ? ,则 m // n
1 2

B 若 m ? ? , n // m ,则 n ? ? D 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?
a8 ? a9 a6 ? a7

4.已知等比数列 ?a n ? 中,各项都是正数,且 a 1 ,

a 3 , 2 a 2 成等差数列,则

等于

A

1?

2

B

1?

2
x
2

C
y
2

3? 2

2

D

3? 2

2

5.设抛物线 y

2

? px 的焦点与椭圆

?

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为



6

2

A -4 6. a=0 是函数 f ( x ) ? ax A 充分但不必要条件 件
2

B

4

C

- 8

D

8

? bx ? c 为奇函数的

B 必要但不充分条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要条

x ?1 ? ? y ? x 7.已知点 P ( x , y ) 的坐标满足条件 ? , 那么点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离的 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

最小值为 A
14 5

B
? ?

6 5

C

2

D
?

1
?

8.已知定义在区间 ? ? ? ,

? ?

上的函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 对称, x ? ? 时, 当 4 4 2? ?

-1-

f ( x ) ? sin x ,如果关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有解,记所有解的和为 S, 则 S 不可能为 ...

A

?

5 4

?

B

??

C

?

3 4

?

D

?

?
2

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.在复平面内,复数
1 ? 2i 1? i

对应的点的坐标为________________________.

10. 在两个袋内,分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片,今从每个袋中任取一张 卡片,则两数之和等于 5 的概率为______________________. 11.在△ABC 中,若 b=1,c= 3 , ? A ?
?
6

,则 a=________, sin B ? ________________.

12.如图是一个正三棱柱的三视图,若三棱柱的体积是 8 3 ,则 a ? ____________________.

a

正视图

2 3 侧视图

俯视图

13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度 是棉花质量 的重要指标) 。所得数据均在区间 ?5 , 40 ? 中,其频率分布直方图如图所示,由图中数据可知
a ? _______,

在抽测的 100 根中,棉花纤维的长度在 ?20 , 30 ? 内的有__________根。 14.给定集合 A,若对于任意 a , b ? A ,有 a ? b ? A ,且 a ? b ? A ,则称集合 A 为闭集合,给 出如下三个结论: ①集合 A ? ?? 4 , ? 2 , 0 , 2 , 4 ? 为闭集合; ②集合 A ? ?n | n ? 3 k , k ? Z ? 为闭集合; ③若集合 A1 , A 2 为闭集合,则 A1 ? A 2 为闭集合; 其中正确结论的序号是________________________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin x cos x ?
3 cos 2 x , x ? R
-2-

(1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的最小值及 f(x)取最小值时 x 的值。 16. (本小题满分 13 分) 已知 ?a n ? 是公差不为零的等差数列, a 1 ? ? 10 ,且 a 2 , a 4 , a 5 成等比数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若 a>0,求数列 ?a
a n ? 12

? 的前 n 项和公式.
P

17. (本小题满分 13 分) 已知三棱锥 P-ABC 中, PA ? 平面 ABC,
AB ? AC , PA ? AC ? 1 2 AB ,N 为 AB
M _ A _ N _ D _ S _ C _

上一点,AB= 4AN, M ,D ,S 分别为 PB,AB, BC 的中点。 (1)求证: PA//平面 CDM; (2)求证: SN ? 平面 CDM. 18. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) ? ax ?
3
'

B

b 2

x

2

? c ,其图像过点(0,1). 1 2

(1)当方程 f ( x ) ? x ? 1 ? 0 的两个根分别为是 (2)当 a ?
2 3

,1 时,求 f(x)的解析式;

, b ? 0 时,求函数 f(x)的极大值与极小值.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的左,右焦点坐标分别为 F1 ??
3 ,0 , F 2

? ?

3 , 0 ,离心率是

?

3 2

。椭圆 C 的左,
10 3

右顶点分别记为 A,B。 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 点 直线 AS,BS 与直线 l : x ? ? 别交于 M,N 两点。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 求线段 MN 长度的最小值; (3) 当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上的 T 满足:T 到直线 AS 的距离等于 试确定点 T 的个数。
2 4



.

-3-

20. (本小题满分 14 分) 对于定义域分别为 M , N 的函数 y ? f ( x ), y ? g ( x ) ,规定:
? f ( x ) ? g ( x ), 当 x ? M 且 x ? N , ? f ( x ), 当 x ? M 且 x ? N , 函数 h ( x ) ? ? ? g ( x ), 当 x ? M 且 x ? N , ?

(1) 若函数 f ( x ) ?

1 x ?1

, g (x) ? x

2

? 2 x ? 2 , x ? R ,求函数 h ( x ) 的取值集合;

(2) 若 g ( x ) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数,且 ? ? ?0 , 2 ? ? ,请问,是否存在一个定义域为 R 的 函数 y ? f ( x ) 及一个 ? 的值,使得 h ( x ) ? cos x ,若存在请写出一个 f ( x ) 的解析式及一 个 ? 的值,若不存在请说明理由。

参考答案 一.ADBC DBCA 二.9. ? 14. ② 三. 15.解(1) f ( x ) ? 2 sin x cos x ?
? sin 2 x ?
1 2 ?3 1? , ? ?2 2?

10.

1 6

11. 1,

1 2

12.

2

13.

0 . 05 , 55

3 cos 2 x

3 cos 2 x
3 2

? 2(

sin 2 x ?

cos 2 x )

-4-

? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

…………………………………………………………5 分 以 函 数
f (x)


? 。















………………………………………………… 6 分 2
?
3 ? 4? 3


0 ? 2x ?

) ,
?
3 ?



?

?
6

? x ?

?
2



………………………………………………………….9 分
4 3
? ?

所以当 2 x ?

? 时,即
?

x ?

?
2

时,函数 f(x)取得最小值,且最小值为
?
2

?

3

故函数 f(x)在区间 ? ?

? ? , 上的最小值为 ? 6 2? ?

3 ,此时 x ?

.

……………………………………………………………… .13 分 16. 解(Ⅰ) 设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ( d ? 0 ) 因为 a 1 ? ? 10 , a 2 , a 4 , a 5 成等比数列
( 所以 a 1 ? 3 d ) ? ( a 1 ? d )( a 1 ? 4 d )
2

即 ( ? 10 ? 3 d ) ? ( ? 10 ? d )( ? 10 ? 4 d )
2

解 (舍). 所

得 d=2 或 ……………………………………………….4 分

d=0 以

a n ? ? 10 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 12

……………………………………………….6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n ? 2 n ? 12 所以 a 当
Sn ? n
a n ? 12

? a

2n

(a ? 0)

a=1









?a

a n ? 12

?





n





……………………………………………….9 分 当 a ? 1 时,令 b n ? a 所以
b n ?1 bn ? a
2n?2 2n 2
a n ? 12

? a

2n

( a ? 0 ) ,则 b n ? 1 ? a

2n?2

.

? a (n ? N )
*

a

-5-

故 ?b n ? 为等比数列,所以 ?b n ? 的前 n 项和 S n ?

a (1 ? a
2

2n

)

1? a

2

.

因此,数列 ?a

a n ? 12

?( a ? 0 ) 的前 n 项和 S

n

? n , a ? 1, ? ? ? a 2 (1 ? a 2 n ) , a ? 0且 a ? 1 . ? 2 ? 1? a

……………………………………………….13 分 17.(1)证明:在三棱锥 P ? ABC 中 因为 M,D,分别为 PB,AB 的中点, 所以 MD // PA 因为 MD ? 平面 CMD , PA ? 平面 CMD 所以 PA // 平面 CMD ……………………………………………….5 分

(2)证明:因为 M,D,分别为 PB,AB 的中点 所以 MD // PA 因为 PA ? 平面 ABC 所以 MD ? 平面 ABC 又 SN ? 平面 ABC 所以 MD ? SN 分 在△ABC 中,连接 DS 因为 D,S 分别为 AB,BC 的中点 所以, DS ∥AC 且
DS ? 1 2
P _

……………………………………………………9

AC
0

又 AB⊥AC,所以, ? ADS ? 90 .
M _

因为 AC ? 所以 AC=AD

1 2

AB
N _ D _

A _ C _

S _

所以, ? ADC ? 45 ,因此 ? CDS ? 45 .
0 0

又 AB=4AN 所以 DN ?
1 2 AD ? 1 2 AC

B _

即 DN=DS,故 SN ? CD 分 又 MD ? CD ? D

……………………………………………………12

-6-


SN ? 平面 C M D ………… ………………………. ……………………….13 分



18.

















f(0)=1





c=1

………… ………………………. ……………………….1 分 (Ⅰ) 由 f ( x ) ? ax
'

3

?

b 2

x

2

? 1, 得
2

f ( x ) ? 3 ax
'

2

? bx

.
1 2 ,1

因为 f ( x ) ? x ? 1 ? 0 ,即 3 ax
1 b 1 ? ?1? 0 ?3a ? ? ? 所以 ? 4 2 2 ?3a ? b ? 1 ? 1 ? 0 ?

? bx ? x ? 1 ? 0 的两个根分别为

2 ? ?a ? 解得 ? 3 ?b ? 2 ?



f (x) ?

2 3

x ? x
3

2

?1

………… ………………………. ……………………….6 分 (Ⅱ) 所
f (x) ? 2 x
' 2

f (x) ?

2 3

x ?
3

b 2

x

2

?c


? bx ? 2 x ( x ? b 2 )



………… ………………………. ……………………….7 分
'

①若 b>0,则当 x ? ( ?? , 0 ) 时, f ( x ) ? 0 函数 f(x)单调递增 当 x ? ( 0 , ) 时, f ( x ) ? 0 函数 f(x)单调递减
'

b

2

当 x ? ( , ?? ) 时, f ( x ) ? 0 函数 f(x)单调递增
'

b

2

因此,f(x)的极大值为 f(0)=c=1, f(x) 的
f( b 2 ) ?1? b
3









……… ………………………. ……………………….10 分
b

24
'

②若 b<0,则当 x ? ( ?? , ) 时, f ( x ) ? 0 函数 f(x)单调递增
2

当 x ? ( , 0 ) 时, f ( x ) ? 0 函数 f(x)单调递减
'

b

2

当 x ? ( 0 , ?? ) 时, f ( x ) ? 0 函数 f(x)单调递增
'

因此,f(x)的极大值为 f (

b 2

) ?1?

b

3

24
-7-

f(x)的极小值为 f(0)=1. 综上所述,当 b>0 时, f(x)的极大值为 1, 极小值为 1 ?
b
3

,

24 b 2
3



b<0



,

f(x)











1?

,
4









1. ………………. ……………………….13 分

19.解(1)因为 所
x
2

c a

?

3 2

,且 c ? 椭

3 ,所以 a ? 2 , b ?

a

2

?c

2

?1





C









? y

2

?1

…………………………………………….3 分

4

(2 ) 易知椭圆 C 的左,右顶点坐标为 A ( ? 2 , 0 ), B ( 2 , 0 ) ,直线 AS 的斜率 k 显然存在,且
k ? 0

故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) ,从而 M ( ?
? 由? ?
y ? k ( x ? 2) x
2

10 3

,?

4 3

k)

? y

2

?1

得 (1 ? 4 k ) x ? 16 k x ? 16 k ? 4 ? 0
2 2 2 2

4

设 S ( x 1 , y 1 ) ,则 ( ? 2 ) x 1 ?

16 k

2

? 4
2

1 ? 4k 2 ? 8k 1 ? 4k
2 2

,得 x 1 ?

2 ? 8k 1 ? 4k

2 2

从而 y 1 ?

4k 1 ? 4k
2

,即 S (

,

4k 1 ? 4k
2

)

又 B ( 2 , 0 ) ,故直线 BS 的方程为 y ? ?

1 4k

( x ? 2)

1 10 ? ? y ? ? ( x ? 2) x ? ? ? ? 4k 3 ,所以 N ( ? 10 , 4 ) 由? 得? 10 4 3 3k ? ? y ?? x ? ? 3 3k ? ?

故 MN ?

4k 3

?

4 3k

-8-

又 k ? 0 ,所以 MN ?
4k 3 ? 4 3k

4k 3

?

4 3k

? 2

4k 3

?

4 3k

?

8 3

当且仅当

时,即 k ? 1 时等号成立
8 3

所以 k ? 1 时, 线段 MN 的长度取最小值

………………………………..9 分

(3)由(2)知,当线段 MN 的长度取最小值时, k ? 1 此时 AS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , S ( ?
2 4 2 4
N _ D _ S _ B _ A _ O _ x _

6 4 , ), 5 5
y _

因为点 T 到直线 AS 的距离等于



所以点 T 在平行于 AS 且与 AS 距离等于
t?2 2

的直线 l 上

'

设l : x ? y ? t ? 0 , 则由
'

?

2 4

, 解得 t ?

3 2

或t ?

5 2

M _

? x2 2 ? y ?1 ? 3 2 4 ① 当 t ? 时,由 ? 得 5 x ? 12 x ? 5 ? 0 3 2 ?x ? y ? ? 0 2 ?

由于 ? ? 44 ? 0 ,故直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点
'

? x2 2 ? y ?1 ? 5 2 ② t ? 时,由 ? 4 得 5 x ? 20 x ? 21 ? 0 5 2 ?x ? y ? ? 0 2 ?

由于 ? ? ? 20 ? 0 ,故直线 l 与椭圆 C 没有交点
'

综 2.



所 求 点 T 的 ……………………………………………..14 分
1 x ?1







20.解(1)由函数 f ( x ) ?

, g (x) ? x

2

? 2 x ? 2, x ? R

可得 M ? ?x | x ? ? 1?, N ? R 从
? x2 ? 2x ? 2 ? , x ? ?1 h(x) ? ? x ?1 ? 1, x ? ? 1 ?



……………………………………………..2 分



x ? ?1





-9-

h(x) ?

x

2

? 2x ? 2 x ?1

?

( x ? 1) ? 1
2

x ?1

? x ?1?
x ? ?1

1 x ?1

? 2 …………………….4 分


h(x) ? x
2


1 ? x ?1 ) ? ? 2 …………….6 分



? 2x ? 2 x ?1

?

( x ? 1) ? 1
2

x ?1
h(x)

? ? (? x ? 1 ?

















?y |

y ? ? 2 , 或 y ? 2 或 y ? 1?

…………………………….7 分

(2)由函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,得 g ( x ) ? f ( x ? a ) 的定义域为 R 所以,对于任意 x ? R ,都有 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 即对于任意 x ? R ,都有 cos x ? f ( x ) ? f ( x ? a ) 所以,我们考虑将 cos x 分解成两个函数的乘积,而且这两个函数还可以通过平移 相互转化
cos x ? cos ?
2

x 2

? sin x 2 ?

2

x 2

? (cos 2 cos(

x 2

? sin x 2 ?

x 2

)(cos

x 2

? sin

x 2

)

2 cos(

?
4

)?

?
4

) x 2 ?

所 可







f (x) ?

2 cos(

?
4

)





? ??





………………………………..14 分 又 cos x ? 1 ? 2 sin
2

x 2

? (1 ? 2 sin x 2

2 sin

x 2

)( 1 ?

2 sin

x 2

)

所以,令 f ( x ) ? 1 ?

,且 ? ? 2 ? ,即可(答案不唯一)

- 10 -


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