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河南省洛阳市2016届高三3月统一考试数学(理)试题(A卷)(word解析版)


2015-2016 学年高中三年级第二次统一考试 数学(理)试卷解析
一、选择题: 1. A.1 设复数 z 满足 ( z ? 1)(1 ? i) ? 2 (i 为虚数单位) ,则|z|= B.5 C. 5 D. 13

【答案】C 【考点】复数运算,复数的模 【解析】因式展开得 z(1 ? i) ? 2 ? (1 ? i) 从而复数 z ?

/>3?i ,分母实数化得到 z ? 2 ? i 1? i

因此 | z |? 22 ? 1 ? 5 ,故选 C 【点评】 :分式形式的复数运算,注意分母实数化的步骤,分子分母要求同乘分母的共轭复数; 求模运算注意正确选取实部和虚部;本题属于基本题型 1 2 ? x0 ? 1 ? 0 ,则下列命题为真命题 2. 若命题 p : ?x ? (0, ??), log 2 ( x ? ) ? 1 ,命题 q : ?x0 ? R, x0 x 的是 A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? q D. (?p) ? (?q)

【答案】A 【考点】命题的逻辑运算,基本不等式,对数运算,二次函数 【解析】命题 p,由基本不等式可判定为真命题 1 2 3 关于命题 q,使用配方法可得 ( x0 ? ) ? ? 0 ,故为假命题 2 4 综上可知,选项 A 为正解 【点评】 :命题的逻辑运算并不难,但首先要对命题做出基本判断;本题属于基本题型 1 3. 若 f ( x) ? ae? x ? e x 为奇函数,则 f ( x ? 1) ? e ? 的解集为 e A. (??, 0) B. (??, 2) C. (2, ??) D. (0, ??)

【答案】D 【考点】函数奇偶性和单调性的综合运用 【解析】根据奇函数特性得 aex ? e? x ? ex ? ae? x 即 a=1 得到 f ( x) ? e? x ? ex , f '( x) ? ?e? x ? e x ? 0
1 因此这是单调递减函数, f ( x ? 1) ? e ? ? f (?1) e 故 x ? 1 ? ?1 即 x>0
1

【点评】 :严格按照定义挖掘已知条件,注意观察函数特殊值;本题属于中档题 4. 执行如图所示的程序框图,则输出 i 的值为 A.4 B.5 C.6 D. 55 【答案】B 【考点】流程图,平方数列前 n 项和公式 【解析】本程序作用是对平方数列求和 n(n ? 1)(2n ? 1) Sn ? 12 ? 22 ? ... ? n 2 ? 6 容易得到 S4 ? 30, S4 ? 55 ? 50 ,故输出 5 【点评】 :注意识记典型数列前 n 项和公式;本题属于基本题型 ? ? ?) ? s i? xn ? ( ? ? ) ?( ? 满 0 足 , | f ( x| ?) ? f ) x ? ( 5. 已 知 f ( x 2 2 ? g( x ? ) 2? c? ? o x 在区间 s ( [0, ] 上的最大值为 ) 2 A.4 B. 3 C.1 D. -2
1 ) ? , 2

f

( 0 , 则)

【答案】B 【考点】三角函数的频率、相位及初相,诱导公式 1 ? 【解析】由 f(0)确定三角函数的初相, sin ? ? ? ? ? 2 6 ? ? ? sin(? x ? ) ? ? sin[? ( x ? ) ? ] 6 2 6 ?? ?? ?? ? 2 由诱导公式可知 2 ? ? ? 7? 因此 g ( x) ? 2 cos(2 x ? ) 且 2 x ? ? [ , ] 6 6 6 6 ? 故 g max ( x) ? 2 cos ? 3 6 【点评】 :考查三角函数相关知识,属于基本题型 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6. 在矩形 ABCD 中,AB=3,BC= 3, BE ? 2 EC ,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 3 ,则 AE ?BF 的值为 8 3 A.4 B. 3 C.0 【答案】D 【考点】平面向量,建系知识 D. -4

??? ? ??? ? 2 2 3 【解析】如图所示, BE ? 2EC ? BE ? BC ? 3 3

??? ? ??? ? AB ? AF ? 3 ? AF cos ? ? 1 ? DF ? 1
以 A 为原点建立平面直角坐标系,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,则

2

2 3 ??? ? B(0,3),F( 3,1),E( 3 , 3),因此 BF ? ( 3, ?2)
??? ? ??? ? 2 3 AE ? BF ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 6 ? ?4 3

【点评】 :平面解析几何问题,可以使用三角函数,也可以使用建系方法,利用平面向量的坐 标运算,统一处理;属于中档题型 7.
?x ? 0 ? 设 D 为不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域, 圆 C: ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点与区域 D 上 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?

的点之间的距离的取值范围是 5 2 A.[ 2 -1, 34+1) B.[ 17-1, 34+1] 1] 【答案】B 【考点】简单线性规划,点与圆位置关系

C.[ 17,

34]

D. [ 17-1,

34-

【解析】首先求解平面区域的顶点,确定各顶点到圆心的距离 d ? ( x ? 5) 2 ? y 2 最后求出最小距离减半径和最大距离加半径,即为所求范围 交点 (0,0) (0,3) 距离 d 5 34 所求范围 [ 17-1, 34+1] (1,1) 17

【点评】 :锁定目标函数,完成线性规划;本题属于中档题型 8. 如图所示是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为 A.57+24π B. 57+15π C. 48+15π D. 48+24π 【答案】D 【考点】三视图,简单空间组合体 【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体 注意表面积分为三部分, 圆锥侧面展开图,即扇形面积 5 ? 6? / 2 ? 15? 圆锥底面圆, S ? ? r 2 ? 9? 直四棱柱侧面积, 3 ? 4 ? 4 ? 48 总面积为 48+24π 【点评】 :简单空间组合体,注意表面积可用投影法求得,不易误算;本题属于基本题型 9. 已知双曲线 C: x 2 ?
y2 ? 1的左右焦点分别是 F1, F2 ,过 F2 的直线 l 与 C 的左右两支分别交 8

于 A,B 两点,且 AF1 ? BF1 ,则 AB = A. 2 2 B.3 C.4 D. 2 2 ? 1
3

【答案】 :C 【考点】 :双曲线的概念 【解析】 :由双曲线定义可知: AF2 ? AF1 ? 2a , BF1 ? BF2 ? 2a ;

?① 两式相加得: AF2 ? AF 1 ? BF 1 ? BF 2 ? 4a
又? AF1 ? BF1 ,? ①式可变为 AF2 ? BF2 ? 4a =4 即 AB =4 【点评】 :属于基本题,考查学生的转化能力. 10. 设 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 其 前 项 之 积 为 Tn , 并 且 满 足 条 件 :
a1 ? 1, a2015 a2016 ? 1, a2015 ? 1 ? 0 .给出下列结论: (1)0 ? q ? 1; (2)a2015a2017 ? 1 ? 0;(3)T2016 a2016 ? 1

的值是 Tn 中最大的(4)使 Tn ? 1 成立的最大自然数等于 4030.其中正确的结论为 A.(1),(3) B.(2),(3) 【答案】 :C 【考点】 :等比数列性质 【解析】 :由 C. (1),(4) D. (2),(4)

a2015 ? 1 ? 0 可知: a2015 ? 1 或 a2016 ? 1 . a2016 ? 1

2015 如果 a2015 ? 1 ,那么 a2016 ? 1 ,若 a2015 ? 0 ,则 q ? 0 ; ,又因为 a2016 ? a1q ,所以 a2016 应与 a1 异

号,即 a2016 ? 0 ,这假设矛盾,所以 q ? 0 . 若 q ? 1 , 则 a2015 ? 1 且 a2016 ? 1 , 与 退 出 的 结 论 矛 盾 , 所 以 0 ? q ? 1 , 故 ( 1 ) 正
2 确. a2015a2017 ? a2016 ? 1 ,故(2)错误.

由结论(1)可知 a2015 ? 1 , a2016 ? 1 ,所以数列从 2016 项开始小于 1,所以 T2015 最大.故(3) 错误. 由结论 (1) 可知数列从 2016 项开始小于 1, 而 Tn ? a1a 所以当 Tn ? ? a2015 ? 时, 求得 Tn ? 1 2 3a ?an ,
2

对应的自然数为 4030,故(4)正确 【点评】 :本题难度中等,解题的关键是熟练等比数列的性质. 11. 已知正四面体 S ? ABC 的外接球 O 的半径为 6 ,过 AB 中点 E 作球 O 的截面,则截面面积 的最小值为 A. 4? B. 6? C.
16 ? 3
4 ? 3
4

D.

【答案】 :A 【考点】 :正四面体的特征,圆的面积公式以及空间想象能力 【解析】 :由正四面体的外接球的半径 R 与棱长 a 关系可知: R ?
6 6 a ,所以正 a .即 6 = 4 4

四面体的棱长 a =4.因为过 E 作球 O 的截面,当截面与 OE 垂直时,截面圆的半径最小,此时 截面圆的面积有最小值.此时截面圆的半径 r ? 2 ,截面面积 S ? ? r 2 ? 4? 【点评】 :本题属于基础题目,正四面体外接球的半径与棱长关系是解题的关键.
x 2 ? ?b 12. 若 函 数 f ? x? ? e ? x ? a x ? , 且 f ( x1 ) ? x1 , 则 关 于 x 的 方 程 有 极 值 点 x1, x2 ? x1? x2

f 2 ? x ? ? ? 2 ? a ? f ? x ? ? a ? b ? 0 的不同实根个数为
A.0 B.3 C.4 D.5 答案:B 【考点】 :导数、解一元二次方程、分析转化与数形结合能力
/ x 2 【解析】 :函数 f ? x ? 有两个不相同的极值点,即 f ? x ? ? e ? ? x ? ? 2 ? a ? x ? a ? b? ? =0 有两个不相

2 同 的 实 数 根 x1 , x2 , 也 就 是 方 程 x ? ? 2 ? a ? x ? a ? b ? 0 有 两 个 不 相 同 的 实 数 根 , 所 以 2 ? ? ? 2 ? a ? ? 4 ? a ? b ? ? 0 .由于方程 f ? x ? ? ? 2 ? a ? f ? x ? ? a ? b ? 0 的判别式 ? / ?? ,故此方程的
2

两个解为 f ( x) ? x1 或 f ( x) ? x2 . 由 于 函 数 y ? f ? x? 的 图 像 和 直线 y ? x1 的 交 点 个 数 即 为 方程 f ( x) ? x1 的 解 的 个 数 , 函 数

y ? f ? x? 的图像和直线 y ? x2 的交点个数即为方程 f ( x) ? x2 的解的个数.根据函数的单调性以
及 f ( x1 ) ? x1 ,我们作出函数的大致图像.由图可知 y ? f ? x ? 的图像和直线 y ? x1 的交点个数为

y ? f ? x ? 的图像和直线 y ? x2 的交点个数为 1.所以 f ( x) ? x1 或 f ( x) ? x2 共有三个不同的实数 2,
2 根,即关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 2 ? a ? f ? x ? ? a ? b ? 0 的不同实根个数为 3

【点评】 :本题难度中等偏上,是导数单调性、极值点与解一元 二次方程的综合题目,求解的 关键是判断出函数的单调性,画出大致图像,并将方程解的个数问题转化为函数图像的交点个 数问题. 二、填空题 1.

1? ? ?1 ? x ? ? 的展开式中常数项为_____________. x? ?

6

【答案】141 【考点】二项式定理.

5

? ? 1 ?? 【 解 析 】 将 原 式 看 做 ?1 ? ? x ? ? ? , 由 二 项 式 定 理 可 得 展 开 式 的 通 项 为 x ?? ? ?

6

1? 1? ? ? m r ?m ?1 m m r ?2m r ,则取常数 Tr ?1 ? C6 ?16?r ? ? x ? ? .又 ? x ? ? 的展开式通项为 Tm?1 ? Cr ? x ? ? x ? =Cr ? x x? x? ? ?
项时 r ? 2m ,由题可知 r ??0,1,2,3,4,5,6?,m ??0,1,2,3,4,5,6? ,则 m 的可能取值为 0,1,2,3,对 应的 r 分别为 0,2,4,6.m ? 0, r ? 0 时,常数项为 1;m ? 1, r ? 2 时,常数项为 30;m ? 2, r ? 4 时, 常数项为 90; m ? 3, r ? 6 时,常数项为 20;故原式常数项为 1 ? 30 ? 90 ? 20 ? 141 . 【点评】 :利用已知的二项式定理,将多项式合理组合,变形为二项式,进而再用公式逐步分 析. 2. 已知 F 为抛物线 y 2 ? 4x 的焦点, P ? x, y ? 是该抛物线上的动点,点 A 是抛物线的准线与 x 轴的交点,当 【答案】 ?1, ?2? 【考点】抛物线焦半径公式,基本不等式. 【 解 析 】 由 题 可 知 焦 半 径 PF ? x ?1 , 则 PA ? ? x ? 1? ? y 2 ? ? x ? 1? ? 4 x ? x 2 ? 6 x ? 1 , 则
2 2 2

r

r

PF PA

最小时,点 P 的坐标为_____________.

? PF ? 1 ? 2 x ? x 2 1 ? 6 x ? x 2 ? 4 x 4x P x, y ? 在抛物线上,所以 x ? 0 , ? ? PA ? ? ? 1 ? 6 x ? x 2 ? 1 ? 6 x ? x 2 ? 1 ? 1 ? 6 x ? x 2 ,因为点 ? ? ?

2

4x 4 4 1 PF 1 1 ? ? ? 2 ? ,且取最小值 1 (当且仅当 ? x即x ? 1 时取等号),则 则 1 ? 6x ? x 2 ? 6 2 ?6? x PA 2 x x
时 x ? 1 ,此时点 P 的坐标为 ?1, ?2? . 【点评】 :会利用焦半径公式将几何意义转化为函数运算,分式型最值要善于变形,联想基本 不等式. 3. 如图所示,若在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落在 阴影部分的概率为________________.

【答案】

1 e2

6

【考点】定积分,几何概型. 【解析】由图可知正方形关于直线 y ? x 对称,又 y ? ex 与 y ? ln x 图象也关于直线 y ? x 对称,
x 如下图,则 ?1 ? ln x ? dx ? ?0 ? e ? e ? dx ? 1 ,正方形面积为 e2 ,则概率为 e 1

1 e2

【点评】 :遇到较难的指数或对数函数问题,可以先联系反函数,被积函数为对数函数时不好 求,可根据图象特征等价转化为指数函数. 4.
* 对于数列 ?an ? ,若 ?m, n ? N ? m ? n? ,都有

a n ? am ? t ? t为常数 ? 成立,则称数列 ?an ? 具有 n?m a ,且具有性质 P ?10? ,则实数 a 的取值范 n

2 性质 P ? t ? .若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ?

围是_______________.

+?? 【答案】 ?36,
【考点】全称命题,推理运算.
? 2 a? ? 2 a ? n ? ???m ? ? 【解析】由数列通项公式且数列具有性质 P ?10? 可知 an ? am ? ,则 n? ? m? ? ? ? 10 n?m n?m ? 2 a? ? 2 a ? ? n ? ? ? ?m ? ? n? ? m? ? ? 10 ? n? m a ? 2 ?n ?10 n ? n ? a ? ? 2 ? ? ?m ?10 m ? m ? ? n? m ? ? 恒成立,则数列 ?n2 ? 10n ? a ? 为 ? ? ?? 0 n? ?

单 调 递 增 数 列 , 则 有

? n ? 1? ? ? n ? 1? ?
2

a ? 2 a? ? ? n ? 10n ? ? ? 0 恒 成 立 , 化 简 得 n+1 ? n?

a ? ?n ? n ?1?? 2n ? 9? ,由数轴标根法作图观察可知 n ? 3 时最值成立,则带入可得 a ? 36 .
【点评】 :恒成立问题一般转化为求最值,构造新的数列形式后要利用递推关系建立不等式. 三、解答题 (本小题满分 12 分) 1. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , cos B sin C ? (a ? sin B) cos(A ? B) ? 0, c ? 3

(1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值.

7

? 3 (2) 3 4 【考点】正弦定理,三角恒等变换 【解析】 (1) ? c o B ssin C ? (a ? s i n B) c o sA (? B ) ? 0 ?c o B ssin C ? (a ? s i n B) c o C s ?0 ? s i nB( ? C ) ? a c o C s ?0 ?s i n A ? ac o C s a 1 c ? ? ? ,? c ? 3 sin A coC s sin C ? ?t a n C ? 3 ,? C ? . 3
【答案】 (1)

2? 1 ? 1 ? A) ? sin(2 A ? ) ? 3 2 6 4 2? ? ? 7? ? A ? (0, ),? 2 A ? ? (? , ), 3 6 6 6 1 ? 1 3 ? sin(2 A ? ) ? ? (0, ]. 2 6 4 4 3 ? sin A ? sin B ? (0, ]. 4 (2) sin A ? sin B ? sin A ? sin(
【点评】 :正确使用正弦定理和三角恒等变换是解决问题的关键,解题时要注意三角形内角和 的应用.本题考查学生逻辑推理能力和灵活运用知识的能力. (本小题满分 12 分) CD 的中点, F 分别为 AB 、 2. 如图 1, E、 在边长为 4 的正方形 ABCD 中, 沿 EF 将矩形 ADFE 折起使得二面角 A ? EF ? C 的大小为 90 ? (如图 2) ,点 G 是 CD 的中点. ???? ???? ? (1)若 M 为棱 AD 上一点,且 AD ? 4MD ,求证: DE ? 平面 MFC ; (2)求二面角 E ? FG ? B 的余弦值 【考点】 : (1)线面垂直; (2)空间向量求二面角余弦值 【解析】 :解法一(几何法) : (1)证明: 在矩形 ADFE 中, AD ? FE ? 4 , AE ? DF ? 2 , ???? ???? ? 由 AD ? 4MD 得: MD ? 1 又由勾股定理得: DE ? 2 5 , MF ? 5 所以: sin ?ADE ?
AE 5 MD 5 , cos ?DMF ? ? ? DE 5 MF 5

所以: ?ADE +?DMF =

,即: DE ? MF 2 ABCD 为正方形,二面角 A ? EF ? C 为直二面角, E 、 F 为中点
8

?

所以: CF ? 面 MFC ; 所以: CF ? DE
? DE ? CF ? 故有: ? DE ? MF ,所以, DE ? 面 MFC ?CF ? MF ? F ?

解法二(坐标法) (略) (2)以 F 为坐标原点,分别以 FD,FC,FE 为 x,y,z 轴,如图所示构建空间直角坐标系,则:

E ? 0,0,4? , F ? 0,0,0? , G ?1,1,0? , B ? 0,2,4?
??? ? ??? ? ??? ? FE ? ? 0,0, 4 ? , FG ? ?1,1,0? , FB ? ? 0, 2, 4 ?

?? ? 设面 EFG 的法向量为 m ? ( x1, y1, z1 ) ,面 BFG 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则有:
?? ??? ? ? ??? ? ? ?m?FE ? 0 ? ?n?FB ? 0 ? ? , ? ? ??? ? ?? ??? ? ?m?FG ? 0 ? ?n?FG ? 0

?4 z1 ? 0 ?2 y2 ? 4 z2 ? 0 即: ? ,? ? x1 ? y1 ? 0 ? x2 ? y2 ? 0 ?? ? 故可取: m ? ?1, ?1,0? , n ? ? 2, ?2,1? ?? ? m?n 2 2 cos ? m, n ?? ?? ? ? 3 m ?n
【点评】 : (1)本小题考察巧妙,打破一部分同学认为证明题无需计算的思维误区,同互余角 三角函数关系证明垂直; (2)常规向量法求二面角余弦值,同学们在备考中要注意:图形中二 面角锐钝不明显的情况 (本小题满分 12 分) 3. 已知某水库近 50 年来年入流量 X (单位:亿立方米)的频数分布如下表: 40 ? X ? 80 80 ? X ? 120 X ? 120 年入流量 10 35 5 年数 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.现计划在 该水库建一座至多安装 3 台发电机组的水电站, 已知每年发电机组最多可运行台数 Y 受当年年 入流量 X 的限制,并有如下关系: 40 ? X ? 80 80 ? X ? 120 X ? 120 年入流量 3 1 2 最多运行台数 (1)求随机变量 Y 的数学期望; (2) 若某台发电机组正常运行, 则该台发电机组年利润为 5000 万元; 若某台发电机组未运行, 则该台发电机组年亏损 800 万元.为使水电站年总利润的期望达到最大,应安装发电机组多少 台? 【答案】 (1)1.9 (2)2 台 【考点】离散随机变量的分布 10 ? 0.2. 【解析】 (1)依题意, p1 ? p (40 ? X ? 80) ? 50
9

p2 ? p(80 ? X ? 120 ) ? p3 ? p ( X ? 120 ) ?

35 ? 0.7 50

5 ? 0.1. 50 随机变量 Y 的分布列为 Y 1 0 .2 P

2 0 .7

3 0 .1

随机变量 Y 的数学期望为

E (Y ) ? 1? 0.2 ? 2 ? 0.7 ? 3 ? 0.1 ? 1.9.

记水电站总利润为 Z (单位:万元) ? 安装 1 台发电机的情形. 由 于 水 库 年 流 入 量 总 大 于 40 , 故 一 台 发 电 机 运 行 的 概 率 为 1 , 对 应 的 年 利 润
Z ? 5000 , E (Z ) ? 5000?1 ? 5000 .

?

安装 2 台发电机的情形.

, 因此 依 题 意 , 当 40 ? X ? 80 时 , 一 台 发 电 机 运 行 , 此 时 Z ? 5000? 800 ? 4200 P(Z ? 4200 ) ? P(40 ? X ? 80) ? 0.2 ;当 X ? 80 时,两台发电机运行,此时 Z ? 5000? 2 ? 10000 , ) ? P( X ? 80) ? 0.8 .由此 因此 P(Z ? 10000
Z P Z 的分布列如下:

4200 0 .2

10000 0 .8

E (Z ) ? 4200? 0.2 ? 10000? 0.8 ? 8840 .

?

安装 3 台发电机的情形. 因此

, 依 题 意 , 当 40 ? X ? 80 时 , 一 台 发 电 机 运 行 , 此 时 Z ? 5000? 1600? 3400

P(Z ? 3400 ) ? P(40 ? X ? 80) ? 0.2 ; 当 80 ? X ? 120 时 , 两 台 发 电 机 运 行 , 此 时 Z ? 5000? 2 ? 800 ? 9200 , 因此 P(Z ? 9200 ) ? P(80 ? X ? 120) ? 0.7 . 当 X ? 120 时,三台发电机 , 因此 P(Z ? 15000 ) ? P( X ? 120) ? 0.1 . 运行,此 Z ? 5000? 3 ? 15000

由此 Z 的分布列如下:
Z P

40 ? X ? 80 0 .2

80 ? X ? 120 0 .7

X ? 120 0 .1

E (Z ) ? 3400? 0.2 ? 9200? 0.7 ? 15000? 0.1 ? 8620 .

综上,欲使水电站年总利润的期望达到最大,应安装发电机 2 台. 【点评】正确理解题意是基础,准确写出各分布列是关键.本题考查学生逻辑推理能力和离散 随机变量的分布. (本小题满分 12 分)

10

4.

已知椭圆 C:

1 x2 y 2 右焦点为 F , 离心率 e ? , 点P ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A,B, 2 2 a b

是椭圆 C 上异于 A,B 两点的动点,△APB 的面积最大值为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 AP 与直线 x ? 2 交于点 D ,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并作 出证明. 【考点】 (1)椭圆基本量; (2)联消判韦,点线距离,线圆位置关系,分类讨论 【解析】
?1 b?2 3 ? 2 ?2a ? ?a ? 2 ? 2 ? 2 2 (1)由题意得, ? a ? b ? c ,解得: ?b ? 3 ?c 1 ?c ? 1 ? ? ? ?a 2

所以,椭圆方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明:设直线 AP : y ? k ? x ? 2? (k ? 0) ,则: D(2, 4k ) , BD 的中点为 M 为 (2, 2k )
? x2 y 2 ?1 ? ? 联立 ? 4 3 ,消去 y 整理得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ?12 ? 0 ? y ? k ( x ? 2) ?

设 P ? x0 , y0 ? ,由韦达定理得: ?2 x0 ?

16k 2 ? 12 , 3 ? 4k 2

12k 6 ? 8k 2 y ? k x ? 2 ? ? ? 解得: x0 ? ,故有: 0 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

3? 1 ? 又 F ?1,0 ? ,所以当 k ? ? 时, P ?1, ? ? , D ? 2, ?2? ,此时 PF ? x 轴, 2? 2 ?

以 BD 为直径的圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 与直线 PF 相切.
2 2

当k ? ?

y0 4k 1 ? 时, kPF = , x0 ? 1 1 ? 4k 2 2
4k 4k 4k x ? 1? ,即: x? y? ?0, 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

y? 所以直线 PF:

11

8k 4k ? 2k ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?2k 所以点 E 到直线 PF 的距离 d ? 4k 2 ( ) ?1 1 ? 4k 2
1 BD ,所以以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切 2 【点评】 :解法常规,难度适当 (本小题满分 12 分) 1 5. 设函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ? bx (a, b ? R, a ? 0) , x ? 1 为函数 f ( x) 的极值点. 2

而 BD =4k ,即知: d ?

(1)若 x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点,求 f ( x) 的单调区间(用 a 表示) ; (2)若函数 f ( x) 恰有一个零点,求实数 a 的取值范围. 【点评】 :本题属于导数问题的中档题,主要考查导数和函数单调性、零点问题,涉及的主要 a 思路是对参数范围的分类讨论,其中 f (a) ? a(ln a ? 1 ? ) 的正负问题用到构造函数再求导分 2 析,难度不大. 【解析】 :由题意可得:定义域为 x ? (0,??)
? f ?( x) ? x 2 ? bx ? a 且 x ? 1 为极值点,? f ?(1) ? 1 ? b ? a ? 0 ? b ? 1 ? a x
1 2 ( x ? 1)( x ? a) x ? (1 ? a ) x 且 f ?( x) ? ( a ? 1) 2 x

故 f ( x) ? a ln x ?

(1)? x ? 1 为函数 f ( x) 的极大值点 当 x ? (0,1) 时, f ( x) 的单调递增;
x ? (1, a) 时, f ( x) 的单调递减; x ? (a,??) 时, f ( x) 的单调递增.

?a ?1

(2)①若 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? (0,1) 的单调递减;在 x ? (1,??) 时单调递增
? f ( x) 恰有一个零点,? f ( x) min ? f (1) ?
1 1 ? (1 ? a) ? 0 ? a ? ? 2 2

②若 0 ? a ? 1 时,
f ( x) 在 x ? (0, a) 单调递增;在 x ? (a,1) 单调递减;在 x ? (1,??) 单调递增.

a ?x ? a 为极大值点 f (a) ? a(ln a ? 1 ? ) ? 0 2

1 x ? 1 为极小值点 f (1) ? ?( a ? ) ? 0 2

(2a ? 2) ?0 又? f (2a ? 2) ? a ln

? f ( x) 恰有一个零点
12

③若 a ? 1 时,
f ( x) 在 x ? (0,1) 单调递增;在 x ? (1, a) 单调递减;在 x ? (a,??) 单调递增.

1 a x ? a 为极小值点 f (a) ? a(ln a ? 1 ? ) ? x ? 1 为极大值点 f (1) ? ?( a ? ) ? 0 2 2 x 1 1 设 g ( x) ? ln x ? 1 ? 则 g ?( x) ? ? ,故 g ( x) max ? g (2) ? ln 2 ? 2 ? 0 2 x 2 a ? f (a ) ? a(ln a ? 1 ? ) ? 0 2

(2a ? 2) ?0 又? f (2a ? 2) ? a ln

? f ( x) 恰有一个零点

?1 ? 综上所述:若函数 f ( x) 恰有一个零点,则实数 a ? (0,1) ? (1,??) ? ? ? ?2?

四、选做题(本小题满分 10 分) 1. 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P,作圆 O 的切线 PM,M 为切点,过 PM 的中点 N,作割线 NAB,交圆于 A、B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C,连接 PB 交圆 O 于点 D,若 MC =BC. (1)求证:△APM∽△ABP; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. M 【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. N 【解析】 (1)∵PM 是圆 O 的切线,NAB 是圆 O 的割线,N 是 PM 的 C P O A 中点, NB,∴ ∴MN2=PN2=NA·
PN NA ? , NB PN

B

D

又∵∠PNA=∠BNP,∴△PNA∽△BNP, ∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA. ∵MC=BC,∴∠MAC=∠BAC,∴∠MAP=∠PAB, ∴△APM∽△ABP. (2)∵∠ACD=∠PBN,∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM, ∴PM∥CD, ∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA, ∵PM 是圆 O 的切线,∴∠PMA=∠MCP, ∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC, ∴MC∥PD, ∴四边形 PMCD 是平行四边形. 【点评】 本题考查的知识点是和圆有关的切割线定理, 圆周角定理, 三角形相似的判定与性质, 平行四边形的判定,熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键. 2. 选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半

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? 3 t?m ?x ? . 轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? 2 ?y ? t / 2 ?
求曲线 C 的直角坐标系方程与直线 l 的普通方程. 设点 P(m,0),若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数 m 的值. 【答案】略 【考点】极坐标方程、参数方程与直角坐标系方程的转化;直线和圆的位置关系 【解析】 (1)由 ? ? 2cos? 可知:曲线 C 的直角坐标系方程为: 由直线的参数方程可知,直线过过点 P(m,0),则直线 的方程为: x ? m ? 3 y (2)由直线参数方程的参数意义可知
( 3 t2 t ? m ? 1)2 ? ? 1 ,整理为 t 2 ? 3(m ?1)t ? m2 ? 2m ? 0 2 4

t1t2 ? m2 ? 2m 且 | m2 ? 2m |? 1
解得 m=1 或 m ? 1 ? 2 【点评】 :本题第一问考察极坐标和参数方程的转化,属于基本问题;第二问涉及到直线和圆 几何关系的应用,有一定难度;善于挖掘几何关系并建立合适的方程是求解的关键. 3. 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围. 【答案】略 【考点】绝对值不等式的求解,分类讨论,以及含参不等式成立的问题 【解析】首先转换为分段函数
x ? ?2 ? 3? x ? f ( x) ? ??3x ? 1 ?2 ? x ? 1/ 2 ? x ?3 x ? 1/ 2 ?

(1)当 x<-2 时,即 3-x>0,求交集得 x<-2 当-2≤x≤1/2 时,即-3x-1>0,求交集得-2≤x<-1/3 当 x>1/2 时,即 x-3>0,求交集得 x>3 综上所述,x<-1/3 或者 x>3
2 (2)依题意得 4m ? 2m ? f ( x0 ) ,不等式恒成立转化为函数最值问题

即只需大于 f(x)的最小值即可 如图所示,根据函数单调性可得最小值为 f(1/2)=-5/2
14

5 1 5 2 则 4m ? 2m ? ? ,解得 ? ? m ? ? 2 2 2 【点评】 :第一问考察了绝对值不等式的求解,需要进行分类讨论;第二问考察含参不等式问 题,需要对问题转化为最值不等式问题,有一定难度.正确的分类讨论和不等式转化是本题求 解的关键.

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