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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.3.3


1.3.3
一、基础过关

函数的最大(小)值与导数

1. 函数 f(x)=-x2+4x+7,在 x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 A.f(2),f(3) C.f(2),f(5) B.f(3),f(5) D.f(5),f(3)

(

)

2. f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B.0 C .2 D.4

(

)

ln x 3. 函数 y= 的最大值为 x A.e
-1

( B .e 10 D. 3 (

)

C.e2 4x 4. 函数 y= 2 在定义域内 x +1 A.有最大值 2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.有最大值 2,最小值-2 D.无最值

)

15 5. 已知函数 y=-x2-2x+3 在区间[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于 4 3 A.- 2 1 C.- 2 1 B. 2 1 3 D. 或- 2 2

(

)

6.函数 f(x)=xex 的最小值为________. 7. 已知 f(x)=-x2+mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函数 f(x)的极大值,则 m 的取 值范围是________. 二、能力提升 8. 设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为 A.1 C. 5 2 1 B. 2 D. 2 2 ( )

9.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________.

10.已知函数 f(x)=2x3-6x2+a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值及 f(x)在[-2,2]上的最 大值. 11.已知函数 f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,试求 a,b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求 c 的取值范围. 12.函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求 a,b; (2)求函数 f(x)在[0,t] (t>0)内的最大值和最小值. 三、探究与拓展 13.已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.

答案
1.B 2.C 3.A 4.C 1 6.- e 7.[-4,-2] 8.D 9.(-∞,2ln 2-2] 10.解 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) -40+a -2 (-2,0) + 0 0 极大值 a (0,2) - 2 0 -8+a 5.C

∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a =-37,得 a=3. 当 x=0 时,f(x)的最大值为 3. 11.解 (1)f′(x)=3x2-2ax+b,

∵函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值, ∴-1,3 是方程 3x2-2ax+b=0 的两根.

?-1+3=3a ∴? b ?-1×3=3

2

?a=3 ? ,∴? . ? ?b=-9

(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2-9x+c, f′(x)=3x2-6x-9. 当 x 变化时,f′(x),f(x)随 x 的变化如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + -1 0 极大值 c+5 (-1,3) - 3 0 极小值 c-27 (3,+∞) +

而 f(-2)=c-2,f(6)=c+54, ∴当 x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为 c+54, 要使 f(x)<2|c|恒成立,只要 c+54<2|c|即可, 当 c≥0 时,c+54<2c,∴c>54; 当 c<0 时,c+54<-2c,∴c<-18.

∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞),此即为参数 c 的取值范围.
? ?f?1?=0 12.解 (1)f′(x)=3x2+2ax,由已知条件? ?f′?1?=-3 ? ?a+b+1=0 ?a=-3 ? ? 即? ,解得? . ? ? ?2a+3=-3 ?b=2

(2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2, f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况如下: x f′(x) f(x) 由 f(x)=f(0),解得 x=0,或 x=3. 因此根据 f(x)图象, 当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2, 最小值为 f(t)=t3-3t2+2; 当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=-2; 当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t3-3t2+2,最小值为 f(2)=-2. 13.解 (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令 f′(x)=0,得 x=k-1, f(x)与 f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - k-1 0 -e
k -1

(-∞,0) +

0 0 2

(0,2) -

2 0 -2

(2,+∞) +

(k-1,+∞) +

所以 f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时, 函数 f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,由(1)知 f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1)上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-ek 1.


当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e.


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