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第11讲推理与证明


专题限时集训(十一) [第 11 讲 推理与证明] (时间:10 分钟+35 分钟)

1 1.“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=?4?x 是指数函数(小前提),所以 y= ? ?

?1?x 是增函数(结论)”,上面推理的错误是( ?4?

)

A.大前提错导致结论错 B.小前

提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错 2.用反证法证明命题:“m、n∈N,mn 可被 3 整除,那么 m、n 中至少有一个能被 3 整除”时,假设的内容应为( ) A.m、n 都能被 3 整除 B.m、n 都不能被 3 整除 C.m、n 不都能被 3 整除 D.m 不能被 3 整除 → → → → 3.对于命题:若 O 是线段 AB 上一点,则有|OB|· +|OA|· =0.将它类比到平面的情 OA OB → → → 形是:若 O 是△ABC 内一点,则有 S△OBC· +S△OCA· +S△OBA· =0. OA OB OC 将 它 类 比 到 空 间 的 情 形 应 该 是 : 若 O 是 四 面 体 ABCD 内 一 点 , 则 有 ________________________________. 1 1 1 4.用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n>1,n∈N*)时,在证明过程的第二步从 2 3 2 -1 n=k 到 n=k+1 成立时,左边增加的项数是________. 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1.已知数列: , , , , , , , , , ,?,依它的前 10 项的规律,这个数 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 列的第 2011 项 a2011 满足( ) 1 1 A.0<a2011< B. ≤a2011<1 10 10 C.1≤a2011≤10 D.a2011>10 2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 11-1 的规律 拼成若干个图案,则第 n 个图 案中有白色地面砖的块数是( )

图 11-1 A.4n+2 B.4n-2 C.2n+4 D.3n+3 3.把正整数按一定的规则排成了如图 11-2 所示的三角形数表.设 aij(i,j∈N*)是位于 这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如 a42=8.若 aij=2011,则 i 与 j 的和为( ) 1

2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 24 26 ? 图 11-2 A.105 B.106 C.107 D.108 4.集合{1,2,3,?,n}(n≥3)中,每两个相异数作乘积,所有这些乘积的和记为 Tn,如: 1 T3=1×2+1×3+2×3= [62-(12+22+32)]=11, 2 T4=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4 1 = [102-(12+22+32+42)]=35, 2 T5=1×2+1×3+1×4+1×5+?+4×5 1 = [152-(12+22+32+42+52)]=8 5. 2 则 T7=________.(写出计算结果) 5.在平面几何里,有:“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三角 1 形面积为 S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 A-BCD 的四个 2 面的面积分别为 S1,S2 ,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________”. 6.已知数列{an},ai∈{-1,0,1}(i=1,2,3,?,2011),若 a1+a2+?+a2011=11,且(a1 2 +1) +(a2+1)2+?+(a2011+1)2=2088,则 a1,a2,?,a2011 中是 1 的个数为________.

7.在数列{an}中,a1=3,an=-an-1-2n+1(n≥2 且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; (2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

8.已知函数 f(x)=x3,g(x)=x+ x. (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由; (2)设数列{an}(n∈N*)满足 a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数 M,使得对于任 意的 n∈N*,都有 an≤M.

专题限时集训(十一) 【基础演练】 1.A 【解析】 y=ax 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错. 2.B 【解析】 用反证法证明命题应先否定结论,故选 B. → → → → 3.VO-BCD· +VO-ACD· +VO-ABD· +VO-ABC· =0 【解析】 平面上的线段长度 OA OB OC OD 类比到平面上就是图形的面积,类比到空间就是几何体的体积,故得出结果. 1 1 1 4.2k 【解析】 在证明过程中从 n=k 到 n=k+1 时,左边应是 1+ + +?+ k + 2 3 2 -1 1 + ?+ k+1 ,由 2k 1-2k=2k,故增加 2k 项. 2 -1 【提升训练】 1 2 1 3 1.A 【解析】 这个数列是按如下规则分组:第一组: ;第二组: , ;第三组: , 1 1 2 1 n-r+1 n?n+1? 2 1 n n-1 n-2 1 , ;?;第 n 组: , , ,?, ,?, .由不等式 <2011,即 n(n 2 3 1 2 3 r n 2 n?n+1? +1)<4022,得 n≤62,且当 n=62 时, =1953,2011-1953=58,即 a2011 是上述分组 2 63-58+1 6 1 中的第 63 组的第 58 个数,即 a2011= = ,故 0<a2011< . 63 63 10 2.A 【解析】 观察可知除第一个以外,每增加一个黑色地面砖,相应的白地面砖就 增加四个,因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项,公差是 4 的等差 数列的第 n 项”. 或由图可知,当 n=1 时,a1=6,当 n=2 时,a 2=10,当 n=3,a3=14,由此推测, 第 n 个图案中有白色地面砖的块数是:an=4n+2. 3.D 【解析】 由三角形数表可以看出其奇数行有奇数列,偶数行有偶数列,2011= 2×1006-1,所以 2011 为第 1006 个奇数,又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961,前 32 个奇数行内数的个数的和为 1024,故 2011 在第 32 个奇数行内,所以 i=63,因为第 63 行 的第一个数为 2×962-1=1923,2011=1923+2(j-1),所以 j=45,所以 i+j=108. 1 4.322 【解析】 T7= [(1+2+?+7)2-(12+22+?+72)]=322. 2 1 5. (S1+S2+S3+S4)r 3 【解析】 根据等体积法分割四面体为以侧面为底、内切球的球

1 1 心为顶点的四个小三棱锥,分别计算其体积,体积之和即为四面体的体积.V= S1r+ S2r 3 3 1 1 1 + S3r+ S4r= (S1+S2+S3+S4)r.本题考查的是由平面到空间的类比推理,也考查空间几何 3 3 3 体的体积计算. 在空间几何体的体积计算中, 把所求的几何体进行分割是求体积的重要方法 之一. 6.33 【解析】 设 1 的个数有 x 个,根据 a1+a2+?+a2011=11,则-1 的个数为 x -11 个, 的个数为 201 1-2x+11=2022-2x.由(a1+1)2+(a2+1)2+?+(a2011+1)2=2088, 0 得 4x+2022-2x=2088,解得 x=33. 7. 【解答】 (1)∵a1=3,an=-an-1-2n+1(n≥2,n∈N*), ∴a2=-a1-4+1=-6,a3=-a2-6+1=1.

(2)∵

an+n ?-an-1-2n+1?+n -an-1-n+1 = = =-1,∴数列{an+n}是首项为 an-1+?n-1? an-1+n-1 an-1+n-1
- -

a1+1=4,公比为-1 的等比数列.∴an+n=4· (-1)n 1,即 an=4· (-1)n 1-n, - ∴{an}的通项公式为 an=4· (-1)n 1-n(n∈N*). - (3)∵{an}的通项公式为 an=4· (-1)n 1-n(n∈N*), 所以 Sn= ?ak= ?[4· (-1)k 1-k]= ?[4· (-1)k 1]- ?k
- -

n

n

n

n

k=1

k=1

k =1

k =1

1-?-1?n n?n+1? =4× - 2 1-?-1? 1 =2[1-(-1)n]- (n2+n) 2 n2+n-4 =- -2(-1)n. 2 8. 【解答】 (1)由 h(x)=x3-x- x知,x∈[0,+∞),而 h(0)=0,且 h(1)=-1<0,h(2) =6- 2>0,则 x=0 为 h(x)的一个零点,且 h(x)在(1,2)内有零点.因此,h(x)至少有两个零 点. 1 1 1 1 1 3 解法一:h′(x)=3x2-1- x- ,记 φ(x)=3x2-1- x- ,则 φ′(x)=6x+ x- . 2 2 2 2 4 2 当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,因此 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ(x)在(0,+∞) 内至多只有一个零点. 又因为 φ(1)>0, ? φ 3? 3 <0, φ(x)在? ,1?内有零点, 则 所以 φ(x)在(0, ?3? ?3 ?

+∞)内有且只有一个零点.记此零点为 x1,则当 x∈(0,x1)时,φ(x)<φ(x1)=0;当 x∈(x1, +∞)时,φ(x)>φ(x1)=0. 所以,当 x∈(0,x1)时,h(x)单调递减.而 h(0)=0,则 h(x)在(0,x1]内无零点; 当 x∈(x1,+∞)时,h(x)单调递增,则 h(x)在(x1,+∞)内至多只有一个零点,从而 h(x) 在(0,+∞)内至多只有一个零点. 综上所述,h(x )有且只有两个零点. 1 1 1 3 2 解法二:由 h(x)=x?x -1-x-2?,记 φ(x)=x2-1-x- ,则 φ′(x)=2x+ x- . ? ? 2 2 2 当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,从而 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ(x)在(0,+∞) 内至多只有一个零点.φ(1)<0,φ(2)>0,所以 φ(x)在(0,+∞)上有一个零点.因此 h(x)在(0, +∞)内也有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点.
3 (2)记 h(x)的正零点为 x0,即 x0=x0+ x0. (i)当 a<x0 时,由 a1=a,即 a1<x0.

而 a3=a1+ a1<x0+ x0=x3,因此 a2<x0.由此猜测:an<x0.下面用数学归纳法证明. 2 0 ①当 n=1 时,a1<x0 显然成立. ②假设当 n=k(k≥1)时,ak<x0 成立, 则当 n=k+1 时,由 a3+1=ak+ ak<x0+ x0=x3知,ak+1<x0. k 0 因此,当 n=k+1 时,ak+1<x0 成立. 故对任意的 n∈N*,an<x0 成立. (ii)当 a≥x0 时,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上单调递增,则 h(a)≥h(x0)=0,

即 a3≥a+ a.从而 a3=a1+ a1=a+ a≤a3,即 a2≤a.由此猜测:an≤a.下面用数学归 2 纳法证明. ①当 n=1 时,a1≤a 显然成立. ②假设当 n=k(k≥1)时,ak≤a 成立,则当 n=k+1 时,由 a3+1=ak+ ak≤a+ a≤a3 k 知,ak+1≤a. 因此,当 n=k+1 时,ak+1≤a 成立. 故对任意的 n∈N*,an≤a 成立. 综上所述,存在常数 M=max{x0,a},使得对于任意的 n∈N*,都有 an≤M.


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