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2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)


2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
参考答案及详细评分标准(A卷word版)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1. 设 P 是函数 y ? x ?
2 x

( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向
??? ??? ? ?

直线 y ?

x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A , B ,则 P A ? P B 的值是 解:方法1:设 p ( x 0 , x 0 ?
2 x0 ), 则直线 P A 的方程为 y ? ( x 0 ?
2 x0


2 x0 .

) ? ? ( x ? x 0 ), 即 y ? ? x ? 2 x 0 ?

?y ? x 1 1 ? , x0 ? ). 由? 2 ? A ( x0 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x0 x0 ? x0 ? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 1 ??? 1 2 ? (? x0 ) ? ? 1. 又 B (0, x 0 ? ), 所以 P A ? ( , ? ), P B ? ( ? x 0 , 0 ). 故 P A ? P B ? x0 x0 x0 x0

2. 则

设 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a co s B ? b co s A ? 的值是
c ?a ?b
2 2 2

3 5

c,

ta n A ta n B

.
?b? b ?c ?a
2 2

解:由题设及余弦定理得 a ?
a? ? b?

?

3 5

c ,即 a ? b ?
2 2

3 5

c 故

2

2 ca

2bc
2

a ?c ?b
2 2

8 c ?a ?b
2 2 2

tan A tan B

?

sin A cos B sin B cos A

c c

2

2 ac ? 2 ? 5 2 2 2 2 2 2 b ?c ?a b ?c ?a 2 bc 5
| y?z|?
z? y ?

?4.
2

3.设 x , y , z ? [0,1] ,则 M ?

|x? y|?

| z ? x | 的最大值是
z ? x.

.

解:不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 因为
y?x ? z? y ?

y?x ?

2[( y ? x ) ? ( z ? y )] ? z ? x ? ( 2 ? 1) z ? x ?
1 2

2( z ? x). 2 ? 1. 2 ? 1.

所以 M ?

2( z ? x) ?

当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0, z ? 1, y ?
2

时上式等号同时成立.故 M m ax ?

4.抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ,准线为l, A , B 是抛物线上的 两个动点,且满足 ? A F B ? 则
| MN | | AB |
? 3

.设线段AB的中点 M 在l上的投影为 N , .
AF ? BF 2 .

的最大值是

解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 M N ? 在 ? A F B 中,由余弦定理得 A B
2
2

? AF

2

? BF
2

2

? 2 A F ? B F co s
AF ? BF 2
2

?
3
AF ? BF 2

? ( A F ? B F ) ? 3 A F ? B F ? ( A F ? B F ) ? 3(

) ?(

) ? MN
2

2

.

1

当且仅当 A F ? B F 时等号成立.故

MN AB

的最大值为1.
?

5. 设同底的两个正三棱锥 P ? A B C 和 Q ? A B C 内接于同一个球. 若正三棱锥 P ? A B C 的侧面与底面所成的角为 4 5 , 则正三棱锥 Q ? A B C 的侧面与底面所成角的正切值是
M 为 A B 的中点,且 C M ? A B ,易知 ? P M H , ? Q M H 分别为正三棱锥



解:如图.连结 P Q ,则 P Q ? 平面 A B C ,垂足 H 为正 ? A B C 的中心,且 P Q 过球心 O ,连结 C H 并延长交 A B 于点 M ,则
P ? A B C , Q ? A B C 的侧面与底面所成二角的平面角,则 ? P M H ? 45
?

,从而 P H ? M H ?
2

1 2

A H ,因为 ? P A Q ? 90 , A H ? P Q ,
2

?

所以 A P ? P H ? Q H , 即 A H

?

1 2

AH ?QH . QH MH ? 4
?

所以 Q H ? 2 A H ? 4 M H . ,故 tan ? Q M H ?

6. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x .若对任意的
x ? [ a , a ? 2] ,不等式 f ( x ? a ) ? 2 f ( x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是



解:由题设知 f ( x ) ? ?

? x 2 ( x ? 0) ? ?? x ( x ? 0) ?
2

,则 2 f ( x ) ? f ( 2 x ). 因此,原不等式等价于 f ( x ? a ) ? f ( 2 x ).
2 x , 即 a ? ( 2 ? 1) x . 又 x ? [ a , a ? 2 ], 所以当 x ? a ? 2 时,

因为 f ( x ) 在 R 上是增函数,所以 x ? a ?
? n

( 2 ? 1) x 取得最大值 ( 2 ? 1)( a ? 2 ). 因此, a ? ( 2 ? 1)( a ? 2 ), 解得 a ?

2 . 故 a 的取值范围是 [ 2 , ? ? ).

7.满足

1 4

? sin

?

1 3

的所有正整数 n 的和是
?
6 1 ) 时, 3 x ? sin x ? x , 由此得 sin


?
13 ?

解:由正弦函数的凸性,有当 x ? (0,
sin

?
13

?

?

1 4

, sin

?
12

?

3

?
.

?

?
12

?

1 4

,

?
10

?
1

?
10

?

1 3

, sin
?

?
9

?

3

?

?

?
9

?

. 所以 sin

?
13

?

1 4

? sin

?
12

? sin

?
11

? sin

?
10

?

1 3

? sin

?
9

3

故满足

的正整数 n 的所有值分别为 10,11,12, 它们的和为 3 3 . 3 8.某情报站有 A , B , C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中
4 n

? sin

?

1

等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率是 数表示) 解:用 Pk 表示第 k 周用 A 种密码的概率,则第 k 周末用 A 种密码的概率为
1 ? Pk .于是,有 Pk ? 1 ?
1 3 ? (1 ? Pk ), k ? N ,即 Pk ? 1 ? 3 4 (? 1 3 )
k ?1 ?

.(用最简分

1 4 1 3 )

? ?
k ?1

1 3

( Pk ?

1

3 1 1? ? ) 由 P1 ? 1 知, ? Pk ? ? 是首项为 ,公比为 ? 的等 4 4 3 4? ? 61 243

比数列。所以 Pk ?

1 4

,即 Pk ?

3 4

(?

?

1 4

,故 P7 ?

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数 f ( x ) ? a sin x ?
1 2 co s 2 x ? a ? 3 a ? 1 2 , a ? R, a ? 0

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解:(1) f ( x ) ? sin x ? a sin x ? a ?
2

3 a

. 令 t ? sin x ( ? 1 ? t ? 1), 则 g ( t ) ? t ? a t ? a ?
2

3 a

???? 4 分

2

3 ? g ( ? 1) ? 1 ? ? 0 ? ? a 对任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 ? ? a ? (0,1] ? ? ? 8 分 ? g (1) ? 1 ? 2 a ? 3 ? 0 ? a ?

(2)因为 a ? 2 , 所以 ? 因此 f ( x ) m in ? 1 ?
3

a 2

? ? 1 . 所以 g ( t ) m in ? g ( ? 1) ? 1 ?

3 a

? ? ? ? 12 分

. 于是,存在 x ? R ,使得 f ( x ) ? 0 的充要条件是 1 ?

3 a

? 0 ? 0 ? a ? 3.

a 故 a 的取值范围是 [2, 3].? ? ? ? 16 分

10.(本小题满分20分)已知数列 ? a n ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 3 3 3

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a 2 , a 3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 { a n } ,使得 a 2 0 1 3 ? ? 2 0 1 2 ? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由. 解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? a1 ,由 a 1 ? 0 得 a1 ? 1 .当 n ? 2 时, (1 ? a 2 ) ? 1 ? a 2 ,由 a 2 ? 0 得 a 2 ? 2 或 a 2 ? ? 1 ………5分
2 3 2 3

当 n ? 3 时, (1 ? a 2 ? a 3 ) ? 1 ? a 2 ? a 3 . 若 a 2 ? 2 得 a 3 ? 3 或 a 3 ? ? 2 ;若 a 2 ? ? 1 得 a 3 ? 1 ; 综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分
2 3 3

(2)令 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n , 则 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ( n ? N ) 从而 ( S n ? a n ? 1 ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ? 1 .
2 3 3 3 2 3 3 3 3

?

两式相减,结合 a n ? 1 ? 0 得 2 S n ? a n ? 1 ? a n ? 1 当 n ? 1 时,由(1)知 a1 ? 1 ;
2

当 n ? 2 时, 2 a n ? 2 ( S n ? S n ?1 ) ? ( a n ? 1 ? a n ? 1 ) ? ( a n ? a n ), 即 ( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ? 1) ? 0,
2 2

所以 a n ? 1 ? ? a n 或 a n ? 1 ? a n ? 1 ……………………………………15分又 a1 ? 1, a 2013 ? ? 2012, 所以 a n ? ?
? n (1 ? n ? 2 0 1 2 ) ? 2 0 1 2 ? ( ? 1) ( n ? 2 0 1 3)
n

………………………………20分

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 X O Y 中,菱形 A B C D 的边长为 4 ,且 O B ? O D ? 6 . (1)求证: | O A | ? | O C | 为定值; (2)当点A在半圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求
2 2

点 C 的轨迹. 解:因为 O B ? O D , A B ? A D ? B C ? C D , 所以 O , A , C 山的共线………………………………………5分 如图,连结 B D ,则 B D 垂直平分线段 A C ,设垂足为 K ,于是有 O A ? O C ? ( O K ? A K )( O K ? A K )
? OK
2

? AK

2

? ( OB

2

? BK

2

) ? ( AB

2

? BK

2

) ? OB

2

? AB

2

? 6 ? 4 ? 2 0 (定值)…………10分
2 2

3

(2)设 C ( x , y ), A (2 ? 2 cos ? , 2 sin ? ), 其中 ? ? ? X M A ( ? 因为 O A
2 2 2

?
2

?? ?
2

?
2

), 则 ? X O C ?

?
2

.
?
2

? ( 2 ? 2 co s ? ) ? ( 2 sin ? ) ? 8(1 ? co s ? ) ? 1 6 co s

?
2

, 所以 O A ? 4 co s

…………15分

由(1)的结论得 O C co s

?
2

? 5, 所以 x ? O C co s

?
2

? 5 . 从而 y ? O C sin

?
2

? 5 tan

?
2

? [ ? 5, 5].

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A (5, 5), B (5, ? 5) ……………20分

2012 年全国高中数学联赛加试试题( A 卷)
一、 (本题满分40分) 如图,在锐角 ? A B C 中, A B ? A C , M , N 是 B C 边上不同的两点,使得 ? B A M ? ? C A N . 设 ? A B C 和 ? A M N A 的外心分别为 O 1 , O 2 ,求证: O1 , O 2 , A 三点共线。 证明:如图.连接 A O 1 , A O 2 ,过 A 点作 A O 1 的垂线 A P 交 B C 的延长线于点 P ,则 A P 是 ? O 1 的切线.因此 ? B ? ? P A C ………10 分 因为 ? B A M ? ? C A N , 所以 ? A M P ? ? B ? ? B A M ? ? P A C ? ? C A N ? ? P A N …………20 分 因而 A P 是 ? A M N 的外接圆 O 2 的切线…………………30 分 故 AP ? AO2. 所以 O1 , O 2 , A 三点共线。………………………………40 分 二、 (本题满分40分) 试证明:集合 A ? ? 2, 2 2 , ? , 2 n , ? ? 满足 (1)对每个 a ? A ,及 b ? N ? ,若 b ? 2 a ? 1 ,则 b ( b ? 1) 一定不是 2 a 的 倍数; (2)对每个 a ? A (其中 A 表示 A 在N 中的补集) a ? 1 ,必存在 b ? N ? ,b ? 2 a ? 1 ,使 b ( b ?1) 是 2 a ,且 的倍数. 证 明 : 对 任 意 的 a ? A , 设 a ? 2 k , k ? N ? , 则 2 a ? 2 k ?1 , 如 果 b 是 任 意 一 个 小 于 2 a ? 1 的 正 整 数 , 则 b ? 1 ? 2 a ? 1 ………………………………………10 分 由于 b 与 b ? 1 中,一个为奇数,它不含素因子 2 ,另一个是偶数,它含素因子 2 的幂的次数最多为 k ,因此 b ( b ? 1) 一定不是 2 a 的倍数;…………………20 分 若 a ? A ,且 a ? 1, 设 a ? 2 k ? m , 其中 k 为非负整数, m 为大于 1 的奇数, 则 2 a ? 2 k ? 1 ? m ……………………………………………………………30 分 下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令 b ? m x , b ? 1 ? 2 k ?1 y , 消去 b 得 2 k ? 1 y ? m x ? 1 . 由于 ( 2
k ?1

B

M N

C

? x ? x 0 ? 2 k ?1 t ? , m ) ? 1, 这方程必有整数解; ? ? y ? y0 ? m t ?

其中 t ? z , ( x 0 , y 0 ) 为方程的特解.

把最小的正整数解记为 ( x ? , y ? ), 则 x ? ? 2 k ?1 ,故 b ? m x ? ? 2 a ? 1, 使 b ( b ? 1) 是 2 a 的倍数.……40 分 证法二:由于 ( 2 k ? 1 , m ) ? 1, 由中国剩余定理知,同余方程组
? x ? 0 (m o d 2 k ? 1 ) 在区间 (0, 2 k ? 1 m ) 上有解 x ? b , 即存在 b ? 2 a ? 1, 使 b ( b ? 1) 是 2 a ? ? x ? m ? 1(m o d m )

的倍数.…………40 分

证法三:由于 (2, m ) ? 1, 总存在 r ( r ? N ? , r ? m ? 1), 使 2 r ? 1(m o d m ) 取 t ? N ? , 使 tr ? k ? 1, 则 2 tr ? 1(m o d m )

4

存在 b ? (2 tr ? 1) ? q ? (2 k ? 1 m ) ? 0, q ? N , 使 0 ? b ? 2 a ? 1, 此时 m b , 2 k ? 1 m ? 1, 因而 b ( b ? 1) 是 2 a 的倍数.……………40 分 三、 (本题满分50分) 设 P0 , P1 , P2 , ? , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0 ) 求证: P0 P1 ? P0 P2 ? ? P0 Pn ? ( ) n ( n ? 1) !
3 d

证法一:不妨设 P0 P1 ? P0 P2 ? ? ? P0 Pn . 先证明:对任意正整数 k ,都有 P0 Pk ? 显然, P0 Pk ? d ?
d 3
d 3 k ?1

d 3

k ?1

k ?1

对 k ? 1, 2, ? , 8 均成立,只有 k ? 8 时右边取等号……10 分 即可.
d 2

所以,只要证明当 k ? 9 时,有 P0 Pk ? 以 Pi ( i ? 0,1, 2, ? , k ) 为圆心,
d 2
k ?1 ?1 2 ?
d 2

为半径画 k ? 1 个圆,它们两两相离或外切;以 P0 圆心, P0 Pk ?
d 2

为半径画

圆,这个圆覆盖上述 k ? 1 个圆………………20 分 所以 ? ( P0 Pk ? 由 k ? 9 易知 所以 P0 Pk ?
d 3

) ? ( k ? 1) ? (
2

d 2

) ? P0 Pk ?
2

( k ? 1 ? 1) ……………………30



k ?1 3

…………………………………………40 分

k ?1

对 k ? 9 时也成立.
d 3 k ?1

综上,对任意正整数 k 都有 P0 Pk ?
d 3

.

因而 P0 P1 ? P0 P2 ? ? P0 Pn ? ( ) n ( n ? 1) ! ………………………………50 分 证法二: 不妨设 P0 P1 ? P0 P2 ? ? ? P0 Pn . 以 Pi ( i ? 0,1, 2, ? , k ) 为圆心,
d 2 1 2 3 2

为半径画 k ? 1 个圆,它们两两相离或外切;…10 分

设 Q 是是圆 Pi 上任意一点,由于
P0 Q ? P0 Pi ? Pi Q ? P0 Pi ? d 2 ? P0 Pk ? P0 Pk ? P0 Pk

……………………………20 分

因而,以 P0 为圆心, 故? (
3 2
2

3 2

P0 Pk d 2
2

为半径的圆覆盖上述个圆…………………30 分
d 3 k ? 1 ( k ? 1, 2, ? , n )

P0 Pk ) ? ( k ? 1) ? (

) ? P0 Pk ? d

……………………40 分

所以 P0 P1 ? P0 P2 ? ? P0 Pn ? ( ) n ( n ? 1) ! ………………………………………50 分
3

四、 (本题满分50分) 设 Sn ? 1 ?
1 2 ?? ? 1 n

,n是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a , b ,数列 { S n ? [ S n ]} 中有无穷

多项属于 ( a , b ) .这里, [ x ] 表示不超过实数x的最大整数. 证法一:(1)对任意 n ? N ? ,有

5

) n 2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( n ? ? ? n ) ? 1 ? ? ? ? ? ? n …………………………10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? N0, ? b ? a , S n ? m ? m ? n ………20 分 ] ? 1, m ? [ S n ] ? 1, 则 令N0 ? [ 0 0 b?a N0 b?a 2 3 2
n

S 2n ? 1 ?

1

?

1

?? ?

1

? 1?

1

?(

1

2

1

?

1

2

)?(

1

n ?1

?? ?

1



又令 N 1 ? 2 t ( m ? 1) ,则 S N ? S 2
1

t ( m ?1 )

? m ? 1 ? m ? b,

因此存在 n ? N ? , N 0 ? n ? N 1 , 使得 m ? a ? S n ? m ? b , 所以 S n ? [ S n ] ? ( a , b ) ……………..30 分 不然一定存在 N 0 ? k , 使得 S k ?1 ? m ? a , S k ? m ? b , 因此 S k ? S k ?1 ? b ? a , 这与 S k ? S k ? 1 ?
1 k ? 1 N0
j

? b ? a 矛盾.所以一定存在 n ? N ,

?

使得 S n ? [ S n ] ? ( a , b ) ………40 分
j

( j (2) 假 设 只 有 有 限 个 正 整 数 n1 , n 2 , ? , n k , 使 得 S n ? [ S n ]? a b, ) , ?( 1 ? k 令) c ?
a ? c ? b , 则不存在 n ? N , n ? N ,
? ?

m in ? S
1? j ? k

nj

? [Sn ] ,
j

?



使得 S n ? [ S n ] ? ( a , c ), 这与(1)的结论矛盾.

所以数列 ? S n ? [ S n ]? 中有无穷多项属于 ( a , b ) .终上所述原命题成立…………………50 分 证法二:(1) S 2 ? 1 ?
n

1 2

?

1 3 1

?? ?

1 2
n

2 ?1 2 2 ?1 2 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? n …………………10 2 2 2 2 2 1
1 2 n

? 1?

1

?(

1

?

1

)?(

n ?1

?? ?

1

) ? 1?

1 2

?(

1 2
2

?

1 2
2

)?? ? (

1 2
n

?? ?

1 2
n

)


1 b?a ] ? 1, 则 N 0 ? 1 b?a ,当k ? N0

因此,当 n 充分大时, S n 可以大于如何一个正数,令 N 0 ? [
S k ? S k ?1 ? 1 k ? 1 N0
0

时,

? b ? a ……………………………………20



因此,对于如何大于 S N 的正整数 m , 总存在 n ? N 0 , 使 S n ? m ? ( a , b ), 即 m ? a ? S n ? m ? b , 否则,一定存在 k ? N 0 , 使 S k ?1 ? m ? a , 且 S k ? m ? b , 这样就有 S k ? S k ?1 ? b ? a , 而 S k ? S k ?1 ?
0

1 k

?

1 N0

? b ? a , 矛盾.故一定存在 n ? N 0 ,

使得 m ? a ? S n ? m ? b , ………30 分

令 m i ? [ S N ] ? i ( i ? 1, 2, 3, ? ), 则 m i ? S N , 故一定存在 n1 ? N 0 ,
0

使 m i ? a ? S n ? m i ? b ,因此 a ? S n ? m i ? S n ? [ S n ] ? b ………………..40 分
i i i i

这样的 i 有无穷多个,所以数列 ? S n ? [ S n ]? 中有无穷多项属于 ( a , b ) ……………50 分

6


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