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2014年高考数学一轮复习 考点热身训练 2.1函数及其表示


2014 年高考一轮复习考点热身训练: 2.1 函数及其表示
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2011·广东高考)函数 f(x)= ( )(-∞,1) (C)(-1,1)∪(1,+∞)
x

1 1? x

+lg(1+x)的定义域是(

)

( )(1,+∞)

(D)(-∞,+∞)
x ? 1 },则 M∩P=(

2.若集合 M={y|y=2 ,x∈R},P={x|y= ( )(1,+∞) (C)(0,+∞) ( )[1,+∞) (D)[0,+∞)

)

3.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图, 不含端点), f(f( 则 ( )(C)1 3 2 3

1 3

))=(

)

( ) (D)
2 3

1 3

4.(预测题)已知函数 f(x)= ? ( )2 010 (C)2 012 ( )2 011 (D)2 013

? x ? 1, ? ?f ? x ? 1? ? 1, ?

x<0 x?0

,则 f(2 013)=(

)

5.(2012·厦门模拟)设甲、乙两地的距离为 a(a>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20 分钟,在 乙地休息 10 分钟后,他又匀速从乙地返回甲地用了 30 分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和 其所用的时间 x 的函数的图象为( )

1

? 2 ? 2,x ? ( ??, 2] ? 6.(2012·三明模拟)函数 y= ? 的值域为( 1? x ? 2 ? 2,x ? (2, ??) ?

x ?1

)

( )(-

3 2

,+∞)
3 2

( )(-∞,0] (D)(-2,0]

(C)(-∞,-

)

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.已知函数 f(x)的图象如图所示,则函数 g(x)= log
2

f(x)的定义域是______.

8.(2012· 皖南八校联考)对于实数 x,y,定义运算 x*y= ?

?ax ? y(xy>0) ? x ? by(xy<0)

,已知 1*2=4,-1*1=2,则下列

运算结果为 3 2 的序号为______.(填写所有正确结果的序号) ① 2* 2 ③-3 2 *2 2 ②- 2 * 2 ④3 2 *(-2 2 )

2

9.(2012·福州模拟)函数 y ?

x ?1 ?

1 lg ? 3 ? x ?

的定义域是________.

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(易错题)设 x≥0 时,f(x)=2;x<0 时,f(x)=1,又规定:g(x)= (x>0) ,试写出 y=g(x)的解析式,并画出其图象. 11.(2012·深圳模拟)已知 f(x)=x -1,g(x)= ? (1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式 【探究创新】 (16 分)如果对 ? x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)·f(y),且 f(1)=2, (1)求 f(2),f(3),f(4)的值. (2)求
f ? 2? f ?1? ? f ? 4? f ? 3? ? f ?6? f ?5? ? ?? f ? 2 008 ? f ? 2 007 ? ? f ? 2 010 ? f ? 2 009 ? ? f ? 2 012 ? f ? 2 011?
2

3f ? x ? 1? ? f ? x ? 2 ? 2

? x ? 1, x>0 ? 2 ? x, x<0

.

的值.

答案解析 1.【解析】选 C.要使函数有意义,当且仅当 ? ∞),故选 C. 2.【解析】选 .因为 M={y|y>0}=(0,+∞), P={x|x-1≥0}={x|x≥1}=[1,+∞), ∴M∩P=[1,+∞). 3.【解析】选 .由图象知,当-1<x<0 时,f(x)=x+1, 当 0<x<1 时,f(x)=x-1, ∴f(x)= ? ∴f(f(
1 3

?1 ? x ? 0 ?1 ? x ? 0

,解得 x>-1 且 x≠1,从而定义域为(-1,1)∪(1,+

? x ? 1, ?1<x<0 1 ? x ? 1, 0<x<

, ∴f(
1 3

1 3

)=

1 3

-1=-

2 3

,

))=f(-

2 3

)=-

2 3

+1=

.

4.【解析】选 C.由已知得 f(0)=f(0-1)+1= f(-1)+1=-1-1+1=-1, f(1)=f(0)+1=0, f(2)=f(1)+1=1, f(3)=f(2)+1=2, … f(2 013)=f(2 012)+1=2 011+1=2 012.
3

5.【解析】选 D.注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间,纵坐标是经过的路程, 故选 D. 6.【解析】选 D.∵x≤2,∴x-1≤1 得 0<2 ≤2, x-1 ∴-2<2 -2≤0 同理:x>2 得-2<2 -2<综上可得-2<y≤0. 【变式备选】设函数 g(x)=x -2(x∈R),f(x)= ? ( )[(C)[9 4 9 4
2 1-x x-1

3 2

.

?g ? x ? ? x ? 4, x<g ? x ? ? 则 , f(x)的值域是( ?g ? x ? ? x, x ? g ? x ? ?

)

,0 ]∪(1,+∞)

( )[0,+∞) (D)[2

,+∞)

9 4

,0]∪(2,+∞)

【解析】选 D.由 x<g(x)得 x<x -2, ∴x<-1 或 x>2; 2 由 x≥g(x)得 x≥x -2,∴-1≤x≤2, ∴f(x)= ?
? x + x + 2, x<- 1或x>2 ? ? x - x - 2, -1≤x ≤2 ?
2
2 2

.

?? 1? 7 ?? x + ? + , x<- 1或x>2 2? 4 ?? 即 f(x)= ? . 当 x<-1 时,f(x)>2; 2 1? 9 ?? x - ? - , -1≤x ≤2 ?? 2? 4 ??

当 x>2 时,f(x)>8. ∴当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时, 函数的值域为(2,+∞). 当-1≤x≤2 时,9 4

≤f(x)≤0.
9 4

∴当 x∈[-1,2]时,函数的值域为[综上可知,f(x)的值域为[9 4

,0].

,0]∪(2,+∞).

7.【解析】要使函数有意义,须 f(x)>0,由 f(x)的图象可知, 当 x∈(2,8]时,f(x)>0. 答案:(2,8] 8.【解析】∵1*2=a+2=4,-1*1= -1+b=2,得 a=2,b=3. ∴x*y= ?
? 2x ? y(xy>0) ? x ? 3y(xy<0)

∴① 2 * 2 =2 2 + 2 =3 2

4

②- 2 * 2 =- 2 +3 2 =2 2 ③-3 2 *2 2 =-3 2 +3×2 2 =3 2 ④3 2 *(-2 2 )=3 2 +3×(-2 2 )=-3 2 . 答案:①③
?x ? 1 ? 0 ? 9.【解析】要使函数有意义,必须 ?3 ? x ? 0 , 解得 1≤x<2 或 2<x<3. ?3 ? x ? 1 ?

答案:{x|1≤x<2 或 2<x<3} 10.【解析】当 0<x<1 时,x-1<0,x-2<0, ∴g(x)=
3 ?1 2

=1.

当 1≤x<2 时,x-1≥0,x-2<0, ∴g(x)=
6 ?1 2 6?2 2 ? 5 2

;

当 x≥2 时, x-1>0,x-2≥0, ∴g(x)= =2.
(0<x< 1) (1 ? x<2) , (x ? 2)

?1 ? ?5 故 g(x)= ? ?2 ?2 ?

其图象如图所示.

11.【解析】(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 2 2 故 f(g(x))=(x-1) -1=x -2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 2 2 故 f(g(x))=(2-x) -1=x -4x+3; ∴f(g(x))= ?
? x ? 2x, ?
2 2

x>0 ,

? x ? 4x ? 3, x<0 ?

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 2 故 g(f(x))=f(x)-1=x -2;
5

当-1<x<1 时,f(x)<0, 2 故 g(f(x))=2-f(x)=3-x , ∴g(f (x))= ?
? x - 2, x>1或x<- 1 ? . 2 ?3 - x , -1<x<1 ?
2

【探究创新】 【解析】(1)∵对 ? x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y), 且 f(1)=2, 2 f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=2 =4, 3 f(3)=f(2+1)=f(1)·f(2)=2 =8. 4 f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=2 =16. (2)由(1)知
f ? 2? f ?1? ? 2, f ? 4? f ?6? f ? 2 012 ? ? 2, ? 2, , ? ? 2, f ? 3? f ?5? f ? 2 011?

故原式=2×1 006=2 012.

6


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