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【章节训练】第3章 空间向量与立体几何 -2


【章节训练】第 3 章 空间向量与立体几何 -2

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【章节训练】第 3 章 空间向量与立体几何

-2

一、选择题(共 10 小题) 1.已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=B

D=1,则 D 到 平面 ABC 的距离等于( ) A. B. C. D.1

2.已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD= ( ) A.2 B. C. D.1 3. (2012?张掖模拟)已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,A1D 与 BC1 所成的角为 BB1D1D 所成角的正弦值为( ) ,则 BC1 与平面

A.

B.

C.

D.

4.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2, ( ) 2 A.

,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为

B.

C.

D.1

5. (2013?唐山一模) 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是正三角形, 侧棱垂直于底面, 所有棱长都是 6, 则四面体 A1ABC, B1ABC,C1ABC 的公共部分的体积等于( ) A. B. C. D. 6. (2013?绍兴一模)如图,正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面 α 内,且直线 BC 与平面 α 所成角为 45°,顶点 B 在 平面 α 上的射影为点 O,当顶点 A 与点 O 的距离最大时,直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值等于( )

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www.jyeoo.com A. B. C. D.

7. (2013?绵阳二模)一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面 的距离 分别为 4、5、5,则这只小球的半径是( ) A.3 或 8 B.8 或 11 C.5 或 8 D.3 或 11 8.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( A. B. C. D. )

9. (2012?张掖模拟)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 AB=AA1=4,点 D 是 AA1 的中点,则点 A1 到平面 DBC1 的距离是( )

A.

B.

C.

D.

10. (2013?临沂二模) 多面体 MN﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形, 其正 (主) 视图和侧 (左) 视图如图, 其中正 (主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值) 11. 2007?安徽) ( 在四面体 O﹣ABC 中, (用 a,b,c 表示) 12. (2006?陕西)水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形) .在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面 α 的距离是 _________ . 13. (2006?四川)在三棱锥 O﹣ABC 中,三条棱 OA、OB、OC 两两互相垂直,且 OA=OB=OC,M 是 AB 的中点, 则 OM 与平面 ABC 所成角的大小是 _________ (用反三角函数表示) . , , , 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, D E 则 = _________

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www.jyeoo.com 14. (2006?山东)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 _________ .

15. (2007?四川)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱长为 成的角是 _________ .

,底面三角形的边长为 1,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所

三、解答题(共 6 小题) (选答题,不自动判卷) 16. (2013?湖南)如图,在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (I)证明:AC⊥B1D; (II)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值.

17. (2013?安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5°,AB 和 CD 是底面圆 O 上 的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

18. (2013?北京)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C, AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.

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www.jyeoo.com 19. (2013?福建)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k, AD=4k,BC=5k,DC=6k, (k>0) (1)求证:CD⊥平面 ADD1A1 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值 (3)现将与四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新 四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中, 记其中最小的表面积为 f(k) ,写出 f(k)的解析式. (直接写出答案,不必说明理由)

20. (2013?湖北)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点. (Ⅰ)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; (Ⅱ) (Ⅰ)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足 设 .记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 θ,

异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 α,二面角 E﹣l﹣C 的大小为 β.求证:sinθ=sinαsinβ.

21. (2013?广东) 如图 1, 在等腰直角三角形 ABC 中, ∠A=90°, BC=6, E 分别是 AC, 上的点, D, AB O 为 BC 的中点.将△ ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱椎 A′﹣BCDE,其中 A′O= . (1)证明:A′O⊥平面 BCDE; (2)求二面角 A′﹣CD﹣B 的平面角的余弦



值.

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【章节训练】第 3 章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析

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一、选择题(共 10 小题) 1.已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到 平面 ABC 的距离等于( ) A. B. C. D.1

考点: 专题: 分析: 解答:

点、线、面间的距离计算. 计算题;作图题;转化思想. 画出图形,由题意通过等体积法,求出三棱锥的体积,然后求出 D 到平面 ABC 的距离. 解:由题意画出图形如图: 直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂足, 若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离转化为三棱锥 D﹣ABC 的高为 h, 所以 AD= ,CD= ,BC=
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由 VB﹣ACD=VD﹣ABC 可知 所以,h=

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查点到平面的距离,考查转化思想的应用,等体积法是求解点到平面距离的基本方法之 一,考查计算能力. 2.已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD= ( ) A.2 B. C. D.1 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题. 分析: 根据线面垂直的判定与性质,可得 AC⊥CB,△ ACB 为直角三角形,利用勾股定理可得 BC 的值;进而在 Rt△ BCD 中,由勾股定理可得 CD 的值,即可得答案. 解答: 解:根据题意,直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,可得 AC⊥面 β, 则 AC⊥CB,△ ACB 为 Rt△ ,且 AB=2,AC=1, 由勾股定理可得,BC= ; 在 Rt△ BCD 中,BC= ,BD=1, 由勾股定理可得,CD= ; 故选 C.
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点评: 本题考查两点间距离的计算,计算时,一般要把空间图形转化为平面图形,进而构造直角三角形,在直角 三角形中,利用勾股定理计算求解.

3. (2012?张掖模拟)已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,A1D 与 BC1 所成的角为 BB1D1D 所成角的正弦值为( )

,则 BC1 与平面

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,A1D 与 BC1 所成角为 90°,易判断这是一个棱长为 2 的正方体,设 O 为 B1D1 的中点,证明 C1O⊥平面 BB1D1D,得出∠C1BO 为直线 BC1 与平面 BB1D1D 所 成角,解三角形∠C1BO 即可得到直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的大小. 解答: 解:因为在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2 ∴上下底面为正方形 又∵BC1∥AD1,A1D 与 BC1 所形成的角为 90°, ∴A1D 与 AD1 所成的角为 90°, ∴AA1D1D 为正方形, ∴ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体 设 O 为 B1D1 的中点,则由 C1O⊥B1D1,C1O⊥B1B, 得出 C1O⊥平面 BB1D1D 连接 BO,则∠C1BO 为直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 ∵BC1=2 ; C1O=
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∴sin∠C1BO= ∠C1BO=30° 故选 B. 点评: 本题考查了直线与平面所成的角的概念与计算,考查空间想象能力、推理论证、计算能力.其中判断出棱 柱为正方体且 C1BO 为直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成角,是解答本题的关键.

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www.jyeoo.com 4.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2, ( ) A.2 ,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为

B.

C.

D.1

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A∥平面 BDE,再将线面距离转化为点面距离,最后利用等体积法 求点面距离即可 解答: 解:如图:连接 AC,交 BD 于 O,在三角形 CC1A 中,易证 OE∥C1A,从而 C1A∥平面 BDE, ∴直线 AC1 与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距离,设为 h,
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在三棱锥 E﹣ABD 中,VE﹣ABD= S△ ABD×EC= × ×2×2× 在三棱锥 A﹣BDE 中,BD=2 ∴VA﹣BDE= ×S△ EBD×h= ×2 ∴h=1 故选 D ,BE= ×h= ,DE=

= × =2

,∴S△ EBD= ×2

点评: 本题主要考查了线面平行的判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面 距离的技巧,属基础题 5. (2013?唐山一模) 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是正三角形, 侧棱垂直于底面, 所有棱长都是 6, 则四面体 A1ABC, B1ABC,C1ABC 的公共部分的体积等于( ) A. B. C. D. 考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 可得四面体 A1ABC,B1ABC,C1ABC 的公共部分为四面体 GABC,由已知数据结合三棱锥的体积公式可 得答案. 解答: 解:由题意三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为正三棱柱,如图: 连接 AB1 与 A1B 交于 M,AC1 与 A1C 交于 N,连接 CM,BN 交与 G,
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由已知数据可得 A1M=MB=A1N=NC=3 所以 G 到平面 ABC 的距离 h=

,GB=GC= CM= =2

=4,

四面体 A1ABC,B1ABC 的公共部分为四面体 NABC, 四面体 B1ABC,C1ABC 的公共部分为四面体 MABC 可知四面体 A1ABC,B1ABC,C1ABC 的公共部分为四面体 GABC,

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www.jyeoo.com 可得其体积为:V= SABC×h= 故选 D 9 ×2=6

点评: 本题考查三棱锥(四面体)的体积,得出公共部分为四面体 GABC 是解决问题的关键,属中档题. 6. (2013?绍兴一模)如图,正四面体 ABCD 的顶点 C 在平面 α 内,且直线 BC 与平面 α 所成角为 45°,顶点 B 在 平面 α 上的射影为点 O,当顶点 A 与点 O 的距离最大时,直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值等于( )

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 由题意,可得当 O、B、A、C 四点共面时顶点 A 与点 O 的距离最大,设此平面为 β.由面面垂直判定定理 结合 BO⊥α,证出 β⊥α.过 D 作 DE⊥α 于 E,连结 CE,根据面面垂直与线面垂直的性质证出 DH∥α,从 而点 D 到平面 α 的距离等于点 H 到平面 α 的距离.设正四面体 ABCD 的棱长为 1,根据 BC 与平面 α 所成 角为 45°和正四面体的性质算出 H 到平面 α 的距离,从而在 Rt△ CDE 中,利用三角函数的定义算出
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sin∠DCE=

,即得直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值.

解答: 解:∵四边形 OBAC 中,顶点 A 与点 O 的距离最大, ∴O、B、A、C 四点共面,设此平面为 β ∵BO⊥α,BO?β,∴β⊥α 过 D 作 DH⊥平面 ABC,垂足为 H, 设正四面体 ABCD 的棱长为 1,则 Rt△ HCD 中,CH= ∵BO⊥α,直线 BC 与平面 α 所成角为 45°, ∴∠BCO=45°,结合∠HCB=30°得∠HCO=75° BC=

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www.jyeoo.com 因此,H 到平面 α 的距离等于 HCsin75°= × =

过 D 作 DE⊥α 于 E,连结 CE,则∠DCE 就是直线 CD 与平面 α 所成角 ∵DH⊥β,α⊥β 且 DH?α,∴DH∥α 由此可得点 D 到平面 α 的距离等于点 H 到平面 α 的距离,即 DE= ∴Rt△ CDE 中,sin∠DCE= 故选:A = ,即直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值等于

点评: 本题给出正四面体的一条棱与平面 α 成 45°,在顶点 A 与 B 在平面 α 内的射影点 O 的距离最大时,求直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值,着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义与 求法等知识,属于中档题. 7. (2013?绵阳二模)一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面 的距离 分别为 4、5、5,则这只小球的半径是( ) A.3 或 8 B.8 或 11 C.5 或 8 D.3 或 11 考点: 点、线、面间的距离计算;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 小球在长方体容器内,且与共点的三个面相接触,则小球的球心 A 到三个接触面的距离相等,小球上一点 P 到这三个面的距离分别为 4、5、5,若以三个面的交点为坐标原点,分别以其中两个面的交线为坐标轴建
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立空间直角坐标系后,球心和小球上的点的坐标可知,向量 可得向量 ,向量



的坐标可求,由向量减法的三角形法则

的模就是小球的半径,由半径相等列式可求这只小球的半径.

解答: 解:如图, 设长方体的三个面共点为 O,以 OE,OF,OG 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 因为小球与共点的三个面相接触,所以设球心 A(r,r,r) , 又因为小球上一点 P 到这三个面的距离分别为 4、5、5, 所以点为 P(5,4,5) , 则 由 ∴ 即 r ﹣14r+33=0,解得:r=3 或 r=11. 故选 D.
2



. =(5﹣r,4﹣r,5﹣r) . ,

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点评: 本题考查了求外切多面体,考查了空间点、线、面间的距离的计算,利用空间向量处理该题起到事半功倍 的效果,属中档题. 8.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( A. B. C. D. )

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;压轴题;空间角;空间向量及应用. 分析: 设 AB=1,则 AA =2,分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标 1
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系,设 =(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量,CD 与平面 BDC1 所成角为 θ, 则 sinθ=| |,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可. 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角

解答: 解:设 AB=1,则 AA =2,分别以 1 坐标系, 如下图所示:

则 D(0,0,2) 1(0,1,0) ,C ,B(1,1,2) ,C(0,1,2) , =(1,1,0) , =(0,1,﹣2) , =(0,1,0) ,

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www.jyeoo.com 设 =(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量,则 ,即 ,取 =(﹣2,2,1) ,

设 CD 与平面 BDC1 所成角为 θ,则 sinθ=|

|= ,

故选 A. 点评: 本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向 量夹角关系是解决问题的关键. 9. (2012?张掖模拟)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 AB=AA1=4,点 D 是 AA1 的中点,则点 A1 到平面 DBC1 的距离是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题. 分析: 以 AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴, 以 建立如图所示的空间直角坐标系, 由正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AB=AA1=4, 若
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点 D 是 AA1 的中点,知 的法向量为

=( ,由 ,

) ,

=(0,4,2) , ,知

,设平面 BDC1 ,由此能求出点 A1 到平

面 DBC1 的距离. 解答: 解:以 AC 为 y 轴,以 AA1 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 AB=AA1=4,点 D 是 AA1 的中点, ∴B(2 ,2,0) 1(0,4,4) ,C ,D(0,0,2) 1(0,0,4) ,A , ∴ =( ) , =(0,4,2) , , ,

设平面 BDC1 的法向量为 ∵ , ,



,∴



∴点 A1 到平面 DBC1 的距离 d= 故选 A.

=

=



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点评: 本题考查空间中点、线、面间距离的计算,解题时要认真审题,合理地运用向量法进行求解,向量法求点 到面的距离是向量的一个重要运用. 10. (2013?临沂二模) 多面体 MN﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形, 其正 (主) 视图和侧 (左) 视图如图, 其中正 (主) 视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长( )

A.

B.

C.

D.

考点: 点、线、面间的距离计算;简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 取 E,F 分别为 AD,BC 的中点,则 MNEF 为等腰梯形,利用正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为 等腰三角形,求出 ME,AE 的长,即可求 AM 的长. 解答: 解:如图所示,E,F 分别为 AD,BC 的中点,则 MNEF 为等腰梯形. 由正(主)视图为等腰梯形,可知 MN=2,AB=4, 由侧(左)视图为等腰三角形,可知 AD=2,MO=2
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∴ME=

= =

在△ AME 中,AE=1,∴ 故选 C.

点评: 本题考查三视图与直观图的关系,考查学生的读图能力,考查学生的计算能力,属于中档题. 二、填空题(共 5 小题) (除非特别说明,请填准确值)
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www.jyeoo.com 11.2007?安徽) ( 在四面体 O﹣ABC 中, (用 a,b,c 表示) 考点: 空间向量的加减法;中点坐标公式. 专题: 计算题. 分析: 利用 D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,
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, 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, D E 则

=

= ( , +

+

) ,

= (

+

) ,化简可得结果.

解答:

解:在四面体 O﹣ABC 中, ∴ = ( + + )= + + . =

, + × (

,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, )= + ( + )= + + ,

故答案为:

点评: 本题考查向量中点公式的应用,以及两个向量的加减法的法则和几何意义. 12. (2006?陕西)水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形) .在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面 α 的距离是 3R . 考点: 点、线、面间的距离计算;球的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意可知:球心的连线组成底面边长为 2R 棱长长为 3R 的正四棱锥,求出顶点到底面的距离,即可顶点 小球的球心到水平桌面 α 的距离 解答: 解:水平桌面 α 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形) .在这 4 个球 的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,5 个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥 的底面边长为 4R,侧棱长为 3R,求得它的高为 R,所以小球的球心到水平桌面 α 的距离是 3R. 故答案为:3R 点评: 本题考查点、线、面间的距离计算,球的性质,考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是基础题.
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13. (2006?四川)在三棱锥 O﹣ABC 中,三条棱 OA、OB、OC 两两互相垂直,且 OA=OB=OC,M 是 AB 的中点, 则 OM 与平面 ABC 所成角的大小是 (用反三角函数表示) . 考点: 直线与平面所成的角. 分析: 由题意画出图象,由于三条棱 OA、OB、OC 两两互相垂直,且 OA=OB=OC,所以定点 O 在底面的投影为 底面△ ABC 的中心即为 D,连接 OD, OM,在直角△ OMD 中求解即可. 解答: 解:在三棱锥 O﹣ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两互相垂直, 且 OA=OB=OC,M 是 AB 边的中点,
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设|OA|=a,则





O 点在底面的射影为底面△ ABC 的中心, = ,又 ,

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OM 与平面 ABC 所成角的正切是



故答案为:



点评: 此题重点考查了三条侧棱两两垂直则顶点在底面的投影为底部三角形的垂心,三条侧棱长相等,则顶点在 底面的投影为底部三角形的外心,故为其中心这一结论,另外还考查了直线与平面所成角的概念及反三角 知识. 14. (2006?山东)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 .

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 如图,先证出 B1D⊥平面 AC1,过 A 点作 AG⊥CD,证 AG⊥平面 B1DC,可知∠ADG 即为直线 AD 与平 面 B1DC 所成角,求其正弦即可. 解答: 解:如图,连接 B1D 易证 B1D⊥平面 AC1,过 A 点作 AG⊥CD, 则由 B1D⊥平面 AC1,得 AG⊥B1D 由线面垂直的判定定理得 AG⊥平面 B1DC, 于是∠ADG 即为直线 AD 与平面 B1DC 所成角, 由已知,不妨令棱长为 2,则可得 AD= =CD,
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由等面积法算得 AG=

=

所以直线 AD 与面 DCB1 的正弦值为 ; 故答案为 .

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www.jyeoo.com 点评: 考查正棱柱的性质以及线面角的求法.考查空间想象能力以及点线面的位置关系 15. (2007?四川)在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱长为 成的角是 30° . ,底面三角形的边长为 1,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,取 AC 的中点 E,连接 BE,C1E,证明 BE⊥面 ACC1A1,则∴∠BC1E 就是 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角,解直角三角形 BC1E 即可. 解答: 解:取 AC 的中点 E,连接 BE,C1E, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∴BE⊥面 ACC1A1, ∴∠BC1E 就是 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角,
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,BE= ∴



,θ=30°.

故答案为 30°.

点评: 考查直线和平面所成的角,求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,把空间角转化为平面 角求解,属中档题. 三、解答题(共 6 小题) (选答题,不自动判卷) 16. (2013?湖南)如图,在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (I)证明:AC⊥B1D; (II)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)根据直棱柱性质,得 BB1⊥平面 ABCD,从而 AC⊥BB1,结合 BB1∩BD=B,证出 AC⊥平面 BB1D, 从而得到 AC⊥B1D; (II) 根据题意得 AD∥B1C1, 可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角即为直线 AD 与平面 ACD1 所成的角. 连 接 A1D,利用线面垂直的性质与判定证出 AD1⊥平面 A1B1D,从而可得 AD1⊥B1D.由 AC⊥B1D,可得
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www.jyeoo.com B1D⊥平面 ACD,从而得到∠ADB1 与 AD 与平面 ACD1 所成的角互余.在直角梯形 ABCD 中,根据 Rt△ ABC∽Rt△ DAB,算出 AB= ,最后在 Rt△ AB1D 中算出 B1D= ,可得 cos∠ADB1= ,由此

即可得出直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值. 解答: 解:解: (I)∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥BB1, 又∵AC⊥BD,BB1、BD 是平面 BB1D 内的相交直线 ∴AC⊥平面 BB1D, ∵B1D?平面 BB1D,∴AC⊥B1D; (II)∵AD∥BC,B1C1∥BC,∴AD∥B1C1, 由此可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角,等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ) 连接 A1D, ∵直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,∠BAD=∠B1A1D1=90°, ∴B1A1⊥平面 A1D1DA,结合 AD1?平面 A1D1DA,得 B1A1⊥AD1 又∵AD=AA1=3,∴四边形 A1D1DA 是正方形,可得 AD1⊥A1D ∵B1A1、A1D 是平面 A1B1D 内的相交直线,∴AD1⊥平面 A1B1D,可得 AD1⊥B1D, 由(I)知 AC⊥B1D,结合 AD1∩AC=A 可得 B1D⊥平面 ACD,从而得到∠ADB1=90°﹣θ, ∵在直角梯形 ABCD 中,AC⊥BD,∴∠BAC=∠ADB,从而得到 Rt△ ABC∽Rt△ DAB 因此, ,可得 AB= =

连接 AB1,可得△ AB1D 是直角三角形, 2 2 2 2 2 2 ∴B1D =B1B +BD =B1B +AB +BD =21,B1D= 在 Rt△ AB1D 中,cos∠ADB1= = = ,

即 cos(90°﹣θ)=sinθ=

,可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值为



点评: 本题给出直四棱柱,求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值,着重考查了直四棱柱的性质、 线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识,属于中档题. 17. (2013?安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5°,AB 和 CD 是底面圆 O 上 的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平
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www.jyeoo.com 面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用线面平行的判定与性质,可证平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)先作出 OP 与平面 PCD 所成的角,再求出 OC,OF,求出 cos∠COF,利用二倍角公式,即可求得 cos∠COD. 解答: (1)证明:设平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l,则 ∵AB∥CD,AB?平面 PCD,∴AB∥平面 PCD ∵AB?面 PAB,平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l,∴AB∥l ∵AB 在底面上,l 在底面外 ∴l 与底面平行; (2)解:设 CD 的中点为 F,连接 OF,PF 由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD ∵OP⊥底面,CD?底面,∴OP⊥CD ∵OP∩OF=O
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∴CD⊥平面 OPF ∵CD?平面 PCD ∴平面 OPF⊥平面 PCD ∴直线 OP 在平面 PCD 上的射影为直线 PF ∴∠OPF 为 OP 与平面 PCD 所成的角 由题设,∠OPF=60° 设 OP=h,则 OF=OPtan∠OPF= ∵∠OCP=22.5°,∴

∵tan45°= ∴tan22.5°= ∴OC= =

=1

在 Rt△ OCF 中,cos∠COF=

=
2

=

∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos ∠COF﹣1=17﹣12

点评: 本题考查线面平行的判定与性质,考查空间角,考查学生的计算能力,正确找出线面角是关键. 18. (2013?北京)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C, AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.

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考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (I)利用 AA1C1C 是正方形,可得 AA1⊥AC,再利用面面垂直的性质即可证明; (II)利用勾股定理的逆定理可得 AB⊥AC.通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量的夹角即可 得到二面角;
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(III) 设点 D 的竖坐标为 t,0<t<4)在平面 BCC1B1 中作 DE⊥BC 于 E, ( , 可得 D 利用向量垂直于数量积得关系即可得出. 解答: (I)证明:∵AA1C1C 是正方形,∴AA1⊥AC. 又∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C,平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC, ∴AA1⊥平面 ABC. (II)解:由 AC=4,BC=5,AB=3. ∴AC +AB =BC ,∴AB⊥AC. 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(0,0,4) ,B(0,3,0) 1(0,3,4) 1(4,0,4) ,B ,C , ∴ , , . =(x2,y2,z2) .
2 2 2



设平面 A1BC1 的法向量为

,平面 B1BC1 的法向量为



,令 y1=4,解得 x1=0,z1=3,∴



,令 x2=3,解得 y2=4,z2=0,∴



=

=

=



∴二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为

. ,

(III) 设点 D 的竖坐标为 t,0<t<4)在平面 BCC1B1 中作 DE⊥BC 于 E, ( , 可得 D ∴ ∵ ∴ ∴ . = ,∴ , ,解得 t= . , =(0,3,﹣4) ,

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点评: 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量 求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计 算能力. 19. (2013?福建)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k, AD=4k,BC=5k,DC=6k, (k>0) (1)求证:CD⊥平面 ADD1A1 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值 (3)现将与四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新 四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中, 记其中最小的表面积为 f(k) ,写出 f(k)的解析式. (直接写出答案,不必说明理由)

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线与平面垂直的判定;直线与 平面所成的角. 专题: 压轴题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) DC 得中点 E, 取 连接 BE, 可证明四边形 ABED 是平行四边形, 再利用勾股定理的逆定理可得 BE⊥CD, 即 CD⊥AD,又侧棱 AA1⊥底面 ABCD,可得 AA1⊥DC,利用线面垂直的判定定理即可证明. (2)通过建 立空间直角坐标系,求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出; (3)由题意可与左右平面 ADD1A1,BCC1B1,上或下面 ABCD,后面 DCC1D1 拼接得到方案 新四棱柱共有此 4 种不同方案.写出每一方案下的表面积,通过比较即可得出 f(k) . 解答: (1)证明:取 DC 得中点 E,连接 BE,∵AB∥ED,AB=ED=3k, ∴四边形 ABED 是平行四边形, 2 2 2 2 2 2 ∴BE∥AD,且 BE=AD=4k,∴BE +EC =(4k) +(3k) =(5k) =BC ,∴∠BEC=90°,∴BE⊥CD, 又∵BE∥AD,∴CD⊥AD. ∵侧棱 AA1⊥底面 ABCD,∴AA1⊥CD,
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www.jyeoo.com ∵AA1∩AD=A,∴CD⊥平面 ADD1A1. (2)解:以 D 为坐标原点, 、 、 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

则 A(4k,0,0) ,C(0,6k,0) 1(4k,3k,1) 1(4k,0,1) ,B ,A . ∴ , , .

设平面 AB1C 的一个法向量为 =(x,y,z) ,则 .

,取 y=2,则 z=﹣6k,

x=3.∴

设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 θ,则 k=1,故所求 k=1.

=

=

= ,解得

(3)由题意可与左右平面 ADD1A1,BCC1B1,上或下面 ABCD,A1B1C1D1 拼接得到方案新四棱柱共有此 4 种不同方案.

写出每一方案下的表面积,通过比较即可得出 f(k)=

点评: 本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表 面积、勾股定理的逆定理等基础知识,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力. 20. (2013?湖北)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点. (Ⅰ)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; (Ⅱ) (Ⅰ)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足 设 .记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 θ,

异面直线 PQ 与 EF 所成的角为 α,二面角 E﹣l﹣C 的大小为 β.求证:sinθ=sinαsinβ.

考 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及 点: 求法. 专 空间位置关系与距离;空间角. 题: 分 (I)直线 l∥平面 PAC.连接 EF,利用三角形的中位线定理可得,EF∥AC;利用线面平行的判定定理即可得 析: EF∥平面 ABC. 到 由线面平行的性质定理可得 EF∥l.再利用线面平行的判定定理即可证明直线 l∥平面 PAC. (II) 综合法: 利用线面垂直的判定定理可证明 l⊥平面 PBC. 连接 BE, BF, 因为 BF?平面 PBC, 所以 l⊥BC. 故 ∠CBF 就是二面角 E﹣l﹣C 的平面角,即∠CBF=β. 已知 PC⊥平面 ABC,可知 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影,故∠CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即 ∠CDF=θ.由 BD⊥平面 PBC,有 BD⊥BF,知∠BDF=α,分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论;
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www.jyeoo.com 向量法:以点 C 为原点,向量 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利

用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角. 解 解: (Ⅰ)直线 l∥平面 PAC,证明如下: 答: 连接 EF,因为 E,F 分别是 PA,PC 的中点,所以 EF∥AC, 又 EF?平面 ABC,且 AC?平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC. 而 EF?平面 BEF,且平面 BEF∩平面 ABC=l,所以 EF∥l. 因为 l?平面 PAC,EF?平面 PAC,所以直线 l∥平面 PAC. (Ⅱ) (综合法)如图 1,连接 BD,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD,且 l∥AC. 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 AC⊥BC,于是 l⊥BC. 已知 PC⊥平面 ABC,而 l?平面 ABC,所以 PC⊥l. 而 PC∩BC=C,所以 l⊥平面 PBC. 连接 BE,BF,因为 BF?平面 PBC,所以 l⊥BF. 故∠CBF 就是二面角 E﹣l﹣C 的平面角,即∠CBF=β. 由 ,作 DQ∥CP,且 .

连接 PQ,DF,因为 F 是 CP 的中点,CP=2PF,所以 DQ=PF, 从而四边形 DQPF 是平行四边形,PQ∥FD. 连接 CD,因为 PC⊥平面 ABC,所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即∠CDF=θ. 又 BD⊥平面 PBC,有 BD⊥BF,知∠BDF=α, 于是在 Rt△ DCF,Rt△ FBD,Rt△ BCF 中,分别可得 从而 (Ⅱ) (向量法)如图 2,由 ,作 DQ∥CP,且 . . ,

连接 PQ,EF,BE,BF,BD,由(Ⅰ)可知交线 l 即为直线 BD. 以点 C 为原点,向量 CB=b,CP=2c,则有 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 CA=a,

. 于是 ,



=

,从而



又取平面 ABC 的一个法向量为

,可得



设平面 BEF 的一个法向量为



所以由

可得



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www.jyeoo.com 于是 ,从而 .



,即 sinθ=sinαsinβ.

点 本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、 评: 线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法, 需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力. 21. (2013?广东) 如图 1, 在等腰直角三角形 ABC 中, ∠A=90°, BC=6, E 分别是 AC, 上的点, D, AB O 为 BC 的中点.将△ ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱椎 A′﹣BCDE,其中 A′O= . (1)证明:A′O⊥平面 BCDE; (2)求二面角 A′﹣CD﹣B 的平面角的余弦 ,

值. 考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (1) 连接 OD, OE. 在等腰直角三角形 ABC 中, ∠B=∠C=45°, , AD=AE= , CO=BO=3. 分 别在△ COD 与△ OBE 中,利用余弦定理可得 OD,OE.利用勾股定理的逆定理可证明 ′ ′ ∠A OD=∠A OE=90°,再利用线面垂直的判定定理即可证明; (2)方法一:过点 O 作 OF⊥CD 的延长线于 F,连接 A'F.利用(1)可知:A'O⊥平面 BCDE,根据三垂 线定理得 A'F⊥CD,所以∠A'FO 为二面角 A'﹣CD﹣B 的平面角.在直角△ OCF 中,求出 OF 即可; 方法二:取 DE 中点 H,则 OH⊥OB.以 O 为坐标原点,OH、OB、OA'分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐 标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角. 解答: (1)证明:连接 OD,OE. 因为在等腰直角三角形 ABC 中,∠B=∠C=45°, ,CO=BO=3.
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在△ COD 中, 因为 , . 2 2 2 2 2 2 所以 A'O +OD =A'D ,A'O +OE =A'E . 所以∠A'OD=∠A'OE=90°

,同理得



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www.jyeoo.com 所以 A'O⊥OD,A'O⊥OE,OD∩OE=O. 所以 A'O⊥平面 BCDE. (2)方法一: 过点 O 作 OF⊥CD 的延长线于 F,连接 A'F 因为 A'O⊥平面 BCDE. 根据三垂线定理,有 A'F⊥CD. 所以∠A'FO 为二面角 A'﹣CD﹣B 的平面角. 在 Rt△ COF 中, 在 Rt△ A'OF 中, 所以 . . . .

所以二面角 A'﹣CD﹣B 的平面角的余弦值为

方法二: 取 DE 中点 H,则 OH⊥OB. 以 O 为坐标原点,OH、OB、OA'分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 则

是平面 BCDE 的一个法向量. 设平面 A'CD 的法向量为 n=(x,y,z) , .

所以 所以

,令 x=1,则 y=﹣1, 是平面 A'CD 的一个法向量



设二面角 A'﹣CD﹣B 的平面角为 θ,且

所以

所以二面角 A'﹣CD﹣B 的平面角的余弦值为

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点评: 本题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、 通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法,需要较强的空间想象能力、推理 能力和计算能力.

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