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专题(3)三角形“五心”与向量相关知识


高 2016 届数学(理科)第二轮专题复习 专题(3)三角形“五心”与向量相关知识 一、三角形“五心”基本概念 1、 三角形的外心: 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心). 三角形的外心到三 角形的三个顶点距离相等. 都等于三角形的外接圆半径. 锐角三角形的外心在三角形内; 直角三角形的外心在斜边 中点;钝角三角形的外心在三角形外. A A D E F O B D C F O B C E 外心 内心 2、 三角形的内心: 三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心). 三角形的内心到三边的 距离相等,都等于三角形内切圆半径. 设三角形面积为 S , 内切圆半径为 r , 并记 p ? 1 S (a ? b ? c) , 则r ? . 特 2 p A 1 别的,在直角三角形中,有 r ? ( a ? b ? c ) . 2 A A E B C F F G B D E D H C F D O B E C 重心 垂心 旁心 3、三角形的重心:三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心.三角形的重心到边的中点与到相应顶点的 距离之比为 1∶ 2. 4、三角形的垂心:三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心. 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点.所以把这样的四个点 称为一个“垂心组”. 5、 三角形的旁心: 三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心). 每个三 角形都有三个旁切圆. 二、从静止的角度看向量的五“心” 1、已知点 O 是三角形 ABC 所在平面上一点,若 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 是三角形 ABC 的( ). (A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? AO ? B 分析: 若 OA ? OB ? OC ? 0 , 则O ? O ? C ??? ? ??? ? OB 为邻边的平行四边形为 OAC ?B , OC 与 AB , 设以 OA 、 1 交于点 D ,则 D 为 AB 的中点,由 OA ? OB ? OC? 得, OC ? ?OC? ,即 C 、 O 、 D 、 C ? 四点共线,故 CD 为 ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ?ABC 的中线,所以 O 在边 AB 的中线上,同理可证, O 在边 AC 的中线上, O 在边 BC 的中线上所以 O 是三角 形 ABC 的重心. 2、已知点 O 是三角形所在平面上一点,若OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 是三角形 ABC 的( ). ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? (C)重心 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 分 析 : 由 OA ? OB ? OB ? OC 得 , OB ? (OA ? OC) ? 0 , 即 OB ? CA ? 0 , 所 以 O B? C ,A同 理 可 证 : O C? A ,B O ? A ,所以 B C O 是 ?ABC 的垂心. (A)内心 (B)外心 (D)垂心 3、已知点 O 是三角形所在平面上一点,若 aOA ? bOB ? cOC ? 0 ,则

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