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学业水平考试专题训练12圆锥曲线


专题训练 12

圆锥曲线Ⅰ

基础过关 1 2 1. 抛物线 y=4x 的焦点坐标是( A. (4,0) B. (1,0) ) C. (0,4) ) C. 2 3 D. 2 ) D. (0,1)

x2 y2 2. 双曲线 2 - 2 =1 的离心率为( A. 2 B. 3

x2 y2 3. “m

>n>0”是“方程m+ n =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y2 4. 已知椭圆的方程为16+m2=1, 焦点在 x 轴上, 则 m 的取值范围是( A. -4≤m≤4 C. m>4 或 m<-4 B. -4<m<4 且 m≠0 D. 0<m<4

)

5. 抛物线 y2=4x 上一点 M 到焦点的距离为 3, 则点 M 的横坐标 x=( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 20 D. 4 x2 y2 6. 椭圆m+ 4 =1 的焦距是 2,则 m 的值是( A. 5 B. 3 或 8 C. 3 或 5

)

7. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,那么这个椭圆的离心率为 ( ) 1 A. 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 3 )

8. 双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是( A. -1 B. 1 10 C. - 20 D. 10 2

9. 抛物线 y2=x 上一点 P 到焦点的距离是 2,则点 P 的坐标为( A. C.
?3 ? ? ,± ?2 ?9 ? ? ,± ?4

)

6? ? 2? ? 3? ? 2? ?

B. D.

?7 ? ? ,± ?4 ?5 ? ? ,± ?2

7? ? 2? ? 10? ? 2 ? ?

x2 y 2 10. 双曲线m- n =1(mn≠0)离心率为 2,且有一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,则 mn 的值为( 3 A. 16 3 B. 8 ) 16 C. 3 8 D. 3 )

x2 y2 11. 已知方程 + =1 的图象是双曲线,则 k 的取值范围是( 2-k k-1 A. k<1 B. k>2 C. k<1 或 k>2 D. 1<k<2

12. 过椭圆 4x2+y2=1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 则 A, B 与椭圆的另一个焦点 F2 构成△ABF2 的周长是( A. 2 B. 4 C. 2 ) D. 2 2

13. 抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离 为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 x2 y2 14. 椭圆25+ 9 =1 上一点 M 到焦点的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则 ON 长等于( A. 2 ) B. 4 C. 6 3 D. 2 )

15. 椭圆 4x2+y2=k 上两点间的最大距离是 8,那么 k=( A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 16. 抛物线 y2=8x 的焦点坐标是________.

17. 设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的 离心率互为倒数,则该椭圆的方程为________. 18. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率为________. 5 19. 求与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦距,且离心率为 5 的椭圆的标准 方程.

20. 抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135° 的直线被抛物线所截得的弦长为 8,试求该抛物线的方程.

冲刺 A 级 21. 已知 A,B 为抛物线 C:y2=4x 上的两个不同的点,F 为抛物线 C 的 → =-4FB → ,则直线 AB 的斜率为( 焦点.若FA 2 A. ± 3 3 B. ± 2 3 C. ± 4 ) 4 D. ± 3

x2 y2 22. 设双曲线a2-b2=1(0<a<b)的半焦距为 c,直线过两点.已知原点到 3 直线 l 的距离为 4 c,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 2 ) D. 2 3 3

23. 已知平面上有三个点

? y? ? → → A(-2,y),B?0,2? ?,C(x,y),若AB⊥BC,则 ? ?

动点 C 的轨迹方程是______________. y2 24. 已知双曲线方程是 x - 2 =1,过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1,
2

P2 两点,并使 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是______________. 25. 已知定点 A(0,-1),点 B 在圆 F:x2+(y-1)2=16 上运动,F 为圆 心,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;若曲线 Q:x2-2ax+y2+a2=1 被轨迹 E 包围着,求实数 a 的最小值; (2)已知 M(-2, 0), N(2, 0), 动点 G 在圆 F 内, 且满足|MG|· |NG|=|OG|2(O → ?NG → 的取值范围. 为坐标原点),求MG

专题训练 12 基础过关

圆锥曲线Ⅰ

1 1. D [提示:方程 y=4x2 化为标准方程为 x2=4y,其焦点在 y 轴正半轴 p 上,且2=1,所以焦点坐标为(0,1).] 2. A [提示: 等轴双曲线的离心率为 2.] x2 y2 3. C [提示:m+ n =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的充要条件是 m>n>0.] 4. B [提示:因为焦点在 x 轴上,故 m2<16 且 m2≠0,解得-4<m<4 且

m≠0.] 5. B [提示:抛物线 y2=4x,焦点 F(1,0),准线 x=-1,∵M 到准线的 距离为 3,∴xM-(-1)=3,∴xM=2.] 6. C [提示:2c=2,c=1,有 m-4=12 或 4-m=12,∴m=5 或 m=3 且同时都大于 0.] c 3 2 7. B [提示:∵a=2b,∴c= (2b) -b2= 3b,e=a= 2 .] x2 y2 3 8. A [提示:把原方程化为标准形式- 1 + 3 =1,∴a2=-m,b2= -m -m 1 3 1 -m.∴c2=-m-m=4,解得 m=-1. ] p 1 7 7 9. B [提示: 设 P(x0, y0), 则|PF|=x0+2=x0+4=2, ∴x0=4, ∴y0=± 2 .] 1 ? m + n m = ? ? 4, ? =2, 3 10. A [提示:由条件知? m 解得? ∴mn=16.] 3 ? n = ? ? m+n=1, ? 4,

(第 12 题) 11. C [提示:由方程的图象是双曲线知,(2-k)(k-1)<0,解不等式得到 答案.] 12. B [提示:∵|AF1|+|AF2|=2,|BF1|+|BF2|=2,∴|AF1|+|BF1|+|AF2| +|BF2|=4,即|AB|+|AF2|+|BF2|=4.] 13. D [提示:抛物线的准线为 y=-1,∴点 A 到准线的距离为 5.又∵ 点 A 到准线的距离与点 A 到焦点的距离相等,∴距离为 5.] 14. B [提示: 设椭圆的另一焦点为 F2, 由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=

2a=10,所以|MF2|=10-2=8.又 N 是 MF1 的中点,O 是的中点,所以 ON 是三角形的中位线,所以 ON=4.] 15. B [提示:由题意得 2a=8,a=4,将椭圆方程化为标准方程.] 16. (2,0) x2 2 x2 y2 17. 2 +y =1. [提示: 双曲线 1 - 1 =1 的焦点为 F1(-1, 0), F2(1, 0). 离 2 2 a2-b2=1, ? 2 2 ? x y 心率 e= 2.设椭圆方程为a2+b2=1,依题意得?1 ∴a2=2,b2=1. ? 2=1, ? ?a x2 2 故椭圆方程为 2 +y =1.] b 18. 3 [提示:设双曲线的一条渐近线为 y=ax,一个顶点 A(a,0),一个 |a?0-ab| |a?0-bc| 焦点 F(c,0).则 =2, =6,即 ab=2c,bc=6c,∴b=6, a2+b2 a2+b2 c c=3a,∴e=a=3.] x2 y2 2 2 19. 解: 把方程 4x +9y =36 写成 9 + 4 =1, 则其焦距 2c=2 5, ∴c= 5. c 5 x2 2 2 2 2 又∵e=a= 5 , ∴a=5.b =a -c =5 -5=20, 故所求椭圆的标准方程为25+ y2 y2 x2 20=1 或25+20=1. 20. 解:依题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则直线方程为 y=-x 1 +2p.设直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,过 A,B 两点分别作准线的 垂线,垂足分别为点 C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| p p =x1+2+x2+2,即 x1+x2+p=8. ① 又 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直

1 ? 2 ?y=-x+ p, p 2 2 线的交点,由? 消去 y,得 x -3px+ 4 =0,所以 x1+x2=3p.将 ? ?y2=2px, 其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x.当抛物线方程设为 y2=- 2px(p>0)时,同理可求得抛物线方程为 y2=-4x.综上,所求抛物线方程为 y2 =4x 或 y2=-4x. 冲刺 A 级 21. D [提示: 由题意知焦点 F(1,0),直线 AB 的斜率必存在且不为 0, 故可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 y2=4x 中化简得 ky2-4y-4k 4 → =-4FB →可 =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=k ①,y1y2=-4②.又由FA 4 得 y1=-4y2③,联立①②③式解得 k=± 3.] 22. A [提示:由已知,直线 l 的方程为 ay+bx-ab=0.原点到直线 l 的 3 ab 3 2 2 2 2 距离为 4 ,则有 2 2 = 4 c. 又∵c = a + b ,∴ 4ab = 3 c ,两边平方得 a +b 4 16a2(c2-a2)=3c4.两边同除以 a4 得 3e4-16e2+16=0,所以 e2=4 或 e2=3.而 2 2 2 a + b b 0<a<b,得 e2= a2 =1+a2>2,所以 e2=4.故 e=2.] ? ? ? y? y? y? ? ? ? ? ? 2 → → 23. y =8x [提示:AB=?0,2?-(-2,y)=?2,-2?,BC=(x,y)-?0,2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y? y? y? ? ? ? ? ? 2 → → → → =?x,2?.∵AB⊥BC,∴AB?BC=0,∴?2,-2???x,2? ?=0,即 y =8x.∴ 动 ? ? ? ? ? ? 2 点 C 的轨迹方程为 y =8x.] y12 2 24. 4x-y-7=0 [提示:设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由 x1 - 2 =1, ? y2-y1 2? 2?4 y22 ?x2+x1? 2 x2 - 2 =1,得 k= = = 2 =4,从而所求方程为 4x-y-7= x2-x1 y2+y1 0.将此直线方程与双曲线方程联立得 14x2-56x+51=0,因为Δ >0,所以此

直线满足条件.] 25. 解:(1)由题意得|PA|=|PB|,∴ |PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2, y2 x2 ∴ 动点 P 的轨迹 E 是以 A,F 为焦点的椭圆.设该椭圆的方程为a2+b2=1 (a>b>0),则 2a=4,2c=2,即 a=2,c=1,故 b2=a2-c2=3,∴ 动点 P 的 y2 x2 轨迹 E 的方程为 4 + 3 =1.曲线 Q:x2-2ax+y2+a2=1,即(x-a)2+y2=1, ∴ 曲线 Q 是圆心为(a, 0), 半径为 1 的圆. 而轨迹 E 为焦点在 y 轴上的椭圆, 其左、右顶点分别为(- 3,0),( 3,0).若曲线 Q 被轨迹 E 包围着,则- 3 +1≤a≤ 3-1,∴ a 的最小值为- 3+1. (2)设 G(x,y),由|MG|· |NG|=|OG|2 得: (x+2)2+y2? (x-2)2+y2 → ?NG → =(x+2,y)· =x2+y2.化简得 x2-y2=2,即 x2=y2+2,∴ MG (x-2,y) =x2+y2-4=2(y2-1). ∵ 点 G 在圆 F: x2+(y-1)2=16 内, ∴x2+(y-1)2<16, → ?NG →的 ∴ 0≤(y-1)2<16?-3<y<5?0≤y2<25,∴-2≤2(y2-1)<48,∴MG 取值范围为[-2,48).
加油,加油,加油!


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