当前位置:首页 >> 高中教育 >> 导数复习课

导数复习课


------复习课 复习课
1

一、基本知识
1.什么叫做函数的平均变化率 1.什么叫做函数的平均变化率? 什么叫做
一般地,函数 在区间[x 一般地 函数f(x)在区间 1,x2]上的平均变化率为: 函数 在区间 上的

f (x2 ) ? f (x1) x2 ? x1

y

>f ( x2 )

y = f ( x) y = f ( x2 ) ? f ( x1 )
{

2. 平均变化率的几何 f ( x1 ) 意义是什么 意义是什么? o

x 2 ? x1

x1

x2

x
2

平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。 平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。 几何意义就是两点间的斜率

3.什么叫做导数 3.什么叫做导数? 什么叫做
在区间( 有定义, 函数 y = f ( x )在区间( a , b)有定义,
x0 ∈ a , b ) (

如果自变量 x在 x0 处有增量 ?x, 那么函数 y相应地有 ?y 增量?y = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ); 比值 就叫做函数 ?x y = f ( x )在x0到x0 + ?x之间的 平均变化率 , 即
?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) . = ?x ?x

如果当 ?x → 0 时,

?y ?y → A( 的极限 ), ?x ?x

我们就说函数 y = f ( x )在点 x0 处
'

叫做函数y = f ( x)在点x0处的 导数 , 记为 y′

?y 可导, 可导, 并把 ( 的极限 A ) ?x
x = x0
3

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y y′ x= x0 = f ( x0 ) = lim = lim ?x→0 ?x ?x→0 ?x

导数简单的说就是:函数的平均变化率的极限, 导数简单的说就是:函数的平均变化率的极限,即
?y f (x + ?x) ? f (x) f ′(x) = lim = lim . ?x→0 ? x ?x→0 ?x
由定义求导数( 由定义求导数(三步法) 步骤: 步骤

?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) (2) 算比值 ; = ?x ?x

(3) 求极限 y′ x=x0

?y . = lim ?x→0 ?x

导数的几何意义是什么 4. 导数的几何意义是什么? 答:函数的图象在某点处的切线的斜率。 函数的图象在某点处的切线的斜率。 切线的斜率
4

5.什么叫做瞬时速度? 5.什么叫做瞬时速度? 什么叫做瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 瞬时速度 时位移相对时间的瞬时变化率) (即t=t0时位移相对时间的瞬时变化率)

v | t =t0

?s = lim ?t → 0 ?t

= lim

?t → 0

f (t 0 + ?t ) ? f (t 0 ) 。 ?t

以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 取极限 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
5

6. 基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式: 基本初等函数的导数公式:

(1)C′=0 )

(2)(x ) = αx
α '
x ' x
'

α ?1

(α为常数)

(3)(a ) = a lna(a > 0,且a ≠1)
1 1 (a > 0,且a ≠ 1) (4)(log a x) = log ae = x xlna 1 x ' x ' (5)(e ) = e (6)(lnx) = x
'

(7)(sinx ) = cosx

(8)(cosx) = ?sinx
'

6

导数的运算法则呢 7. 导数的运算法则呢? 法则1 两个函数的和(或差)的导数, 法则 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差), ),即 个函数的导数的和(或差),即:(u ± v)′ = u′ ± v′. 法则2 两个函数的积的导数, 法则 两个函数的积的导数,等于第一个函数的 导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数 的导数, 的导数,即: uv ) ′ = u ′v + u v ′. (
推论: 为常数, 推论:若C为常数, 为常数

(Cu)′ = Cu′.

法则3 两个函数的商的导数, 法则 两个函数的商的导数,等于分子的导数与 分母的积,减去分母的导数与分子的积, 分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即 的平方 即:? u ? u ' v ? uv '
'

? ? = ? v ?

v

2

(v ≠ 0 )

7

8.复合函数求导法则呢 8.复合函数求导法则呢? 复合函数求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u= 复合函数 ′ x g(x)的导数间的关系为 y′ = yu ? u′ . x

8

如何用导数研究函数的单调性呢 9. 如何用导数研究函数的单调性呢? 当函数y 当函数y=f(x)在某个区间内可导时, 在某个区间内可导时, 1)如果在某区间上f′(x)>0,那么f 如果在某区间上f′(x)>0 1)如果在某区间上f′(x)>0,那么f(x)为该 区间上的增函数, 区间上的增函数, 2)如果在某区间上f′(x)<0,那么f 如果在某区间上f′(x)<0 2)如果在某区间上f′(x)<0,那么f(x)为该 区间上的减函数。 区间上的减函数。
y
y=f(x)

y
y=f(x)

o

a

b

x

o

a

b

x
9

注意:如果在某个区间内恒有 ′(x)=0, 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常 某个区间内恒有f 数函数。 数函数。

利用导数求函数的极值 10. 利用导数求函数的极值
可导函数极值的两个必要条件是? 可导函数极值的两个必要条件是? 两个必要条件是 (1)函数在 0处的导数为零,即f (x0)’=0; )函数在x 处的导数为零, (2)函数在 0附近两侧的导数异号。 )函数在x 附近两侧的导数异号。 那么函数什么时候有极大值 什么时候有极小值 极大值, 极小值呢 那么函数什么时候有极大值,什么时候有极小值呢? 判别f(x 是极大 是极大(小 值的方法 当函数f(x)在点x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的方法 ( ) 是: ①如果在 附近的左侧 f/(x)>0 ,右侧 /(x)<0 ,那么 如果在x 右侧f 那么,f(x ) ) 右侧 那么 是极大值; 是极大值 右侧f 如果在x ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 是极小值. 是极小值
0 0

,那么 那么,f(x0) 那么

导数为零的点不一定是极值点 .可导函数的极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 可导函数的极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 可导函数的极值只能在函数的 两侧的导数异号时取到 时取到. 两侧的导数异号时取到
10

求可导函数f(x)极值的 步骤: 极值的 步骤: 求可导函数
(1) 确定函数的定义域; 确定函数的定义域 (2)求导数 ’(x); 求导数f 求导数 ; (3)求方程 ’(x)=0的根; 求方程f ) 的根 的根; 求方程 (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间, 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 ’(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 ?如果左正右负(+ ~ -), 如果左正右负 如果左正右负( ), 那么f(x)在这个根处取得极大值; 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 ?如果左负右正(- ~ +), 如果左负右正 如果左负右正( ), 那么f(x)在这个根处取得极小值; 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极
11

利用导数求函数的最值 11. 利用导数求函数的最值
一般地,求函数 一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小 在 上的最大值与最小 值的步骤是? 内的极值(极大值与极小值 ①:求y=f(x)在(a,b)内的极值 极大值与极小值 求 在 , 内的极值 极大值与极小值); 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) ②:将函数 将函数 的各极值与端点处的函数值 、 比较,其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值. 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值

12

二、导数在研究函数方面的应用
利用导数求切线方程 1. 利用导数求切线方程 1 3 8 y = x 上一点P ( 2, ),求: 例1: 已知曲线 3 3 求
(1)点P处的切线的斜率 (2)点P处的切线方程 点 处的切线的斜率 处的切线的斜率; 处的切线方程. 点 处的切线方程

1 3 2 2 ∴ y′ | 解: ) Q y = x ,∴ y ′ = x . (1 x = 2 = 2 = 4. 3
即点P处的切线的斜率等于 处的切线的斜率等于4. 处的切线的斜率等于 (2)在点 处的切线方程是 在点P处的切线方程是 在点 处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即 即 12x-3y-16=0.
-2 -1

y 4 3

y=

1 3 x 3

P
2 1 O -1 -2 1 2 x

二、导数在研究函数方面的应用
利用导数求切线方程 1. 利用导数求切线方程 例2
求过点 ( , ) 求过点P(2,0)且与曲线 的直线的方程。 的直线的方程。
3

y= x

3

相切

3 ′ = 3 x 2 , 设切点为( x 0 , x 0 ). 解: ) Q y = x ,∴ y (1 3 x0 ? 0 2 则切线的斜率 k = = 3 x0 , x0 ? 2

解得 x 0=0,或 3, ∴ k =0,或 27 ,

∴ 所求的切线方程为:

y =0,或 27 x ? y ? 54 = 0。
14

利用导数判断 导数判断、 2. 利用导数判断、证明函数的单调性?
确定函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间 例3 确定函数 的单调区间 解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得 >2或x<0 > ,解得x> 或 < 12x<0,解得0<x< 令6x2-12x<0,解得0<x<2. 的单调递增区间是(- , ,( ,(2, ∴f(x)的单调递增区间是 -∞,0),( ,+∞); 的单调递增区间是 ; f(x)的单调递减区间是(0,2)。 的单调递减区间是( , 。 的单调递减区间是

说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时, 说明 当函数的单调增区间或减区间有多个时, 当函数的单调增区间或减区间有多个时 单调区间之间不能 不能用 连接,只能分开写, 单调区间之间不能用 U 连接,只能分开写,或 者可用“ 和 连接。 者可用“,”“和”连接。
15

求函数y=x 的极大值与极小值. 例4:求函数 4-2x2+5的极大值与极小值 求函数 的极大值与极小值 解: y ′ = 4 x 3 ? 4 x . 令 y ′ = 0,解得 解得x=-1,0,1. 解得 (1)令f (x)’>0,得-1<x<0 ,或x>1; 令 , ; (2)令f (x)’<0,得x <-1 ,或0<x<1. 令 , 或 随着x的变化 随着 的变化, 的变化

y ′ , 的变化情况如下表 y 的变化情况如下表:
(0,1) 1 (1,+∞) 0 + ↘ 4 ↗

x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 y’ 0 + 0 y 4 5 ↗ ↘

从上表可知,当 = 时 函数有极大值为5,当 = 从上表可知 当x=0时,函数有极大值为 当x=±1时,函 时 数有极小值为4. 数有极小值为

注意:求极值的问题一定要列表,不列表要扣分! 注意:求极值的问题一定要列表,不列表要扣分!
16

求函数y=x 在区间[-2,2]上的最大值与最 例5:求函数 4-2x2+5在区间 求函数 在区间 上的最大值与最 小值. 小值 解: y ′ = 4 x 3 ? 4 x . 令 y ′ = 0,解得 解得x=-1,0,1. 解得 (1)当f (x)’>0,即x>2,或x<-2时; 当 , , 时 (2)当f (x)’>0,即-2<x<2时. 当 , 时 y ′ ,的变化情况如下表 y 在区间[-2,2]上,当x变化时 变化时, 的变化情况如下表: 在区间 上 当 变化时 x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 y’ 0 + 0 y 13 4 5 ↗ ↘ (0,1) 1 (1,2) 2 0 + ↘ 4 ↗ 13

从上表可知,当 = 从上表可知 当x=±2时,函数有最大值为 当x=±1时, 时 函数有最大值为13,当 = 时 函数有最小值为4. 函数有最小值为

17

1.(福建卷)已知函数 3 2 f ( x ) = x + bx + ax + d 的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的 切线方程为 . 6x ? y + 7 = 0 (Ⅰ)求函数 y = f (x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y = f (x )的单调区间.
key:(1)所求的解析式是
f ( x ) = x 3 ? 3 x 2 ? 3 x + 2.

f ( x) = x 3 ? 3 x 2 ? 3 x + 2在( ?∞,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2 ,1 + 2 )

内是减函数,在 (1 + 2 ,+∞ ) 内是增函数.
18

2. (北京卷)已知函数 f(x)=-x 3+3x 2+9x+a, (I)求f(x)的单调递减区间;
(-∞,-1),(3,+∞)

(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值. 最小值为-7
19

三、导数在解决生活中的问题的应用 — ——解应用题(待讲) 解应用题( 解应用题 待讲)
利用导数求瞬时速度 1. 利用导数求瞬时速度

利用导数求最值 2. 利用导数求最值

20


更多相关文档:

导数专题复习练习题

导数专题复习题 暂无评价 13页 免费 高中数学导数练习题 11页 1下载券 函数与导数专题练习题 19页 免费 高三理科数学导数试题 2页 2下载券 2014届高三数学导数...

复习专题:导数

?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围 6 5 二阶导数的意义 二阶导数就是对一阶导数再求导一次, 意义如下: (1)斜线斜率变化的速度,表示的是一阶导数的变化...

导数复习知识点总结

导数复习知识点总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数高考数学复习详细资料...课前预习 1.求下列函数导数 (1) y ? x( x 2 ? 1 1 ? ) x x3 y ...

一堂导数复习课教案

一堂导数复习课教案 隐藏>> 让复习课也充满有效探索与交流 ———记一节市直公开课温州五十一中 张慧玲如何设计好一节好的数学复习课, 过去往往是教师进行数学知...

导数复习经典例题分类(含答案)

导数复习经典例题分类(含答案)_数学_高中教育_教育专区。导数复习;还在找什么;一个现成的经典资料送给你!导数解答题题型分类之拓展篇(一)编制:王平审阅:朱成 ...

导数的应用复习课 优秀教案

复习课: 导数及其应用教学目标重点:能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间、极值和最值. 难点:导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用,方程...

导数复习课教案.doc

导数复习课教案.doc_数学_高中教育_教育专区。全国最大的个性化品牌辅导机构 徐州龙文教育个性化辅导教案教师 授课时间 学生 授课课题 导数复习课 年级 授课类型 高二...

导数复习课教案

导数复习课教案_数学_高中教育_教育专区。兆麟中学优化课堂公开课教案 教师 赵岩 地点 一楼图书馆 班级 高二(11) 授课时间 2015.3 授课课题 导数的应用 授课类型...

高考一轮复习专题:导数及其应用

高考一轮复习专题:导数及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。导数及其应用考点一:导数概念与运算(一)知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com