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导数及其应用单元练习


<<导数及其应用>>单元练习
命题人:

一.选择题(5′×12=60′)
1. 函数 y ? (2 x ? 1) 3 的图象在 (0,?1) 处的切线的斜率是 A.3 B.6 C.12 ( D. ? 1 ( B. 极小值 ? 2 ,极大值 3; D. 极小值 2,极大值 3 ) ) )

2.函

数 y ? 1 ? 3x ? x 3 有 A.极小值 ? 1 ,极大值 1; C. 极小值 ? 2 ,极大值 2;

3.函数 y ? 4 x ? x 4 ,在 [?1,2] 上的最大、最小值分别为( A. f (1), f (?1) B. f (1), f (2) C. f (?1), f (2)

D. f (2), f (?1)

4.下列结论中正确的是 ( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极 大值 C. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极 小值 D. 如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极 大值
3 5.函数 y ? ( x ? 1) 当 x ? ?1 时





A. 有极大值

B. 有极小值 D.无法判断

B. C.即无极大值,也无极小值

第 1 页 共 13 页

6.已知 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值 范围为。 。 ( ) B. ? 3 ? a ? 6 D. a ? ?3或a ? 6

A. ? 1 ? a ? 2 C. a ? ?1或a ? 2

7.函数 y ? x 3 ? 2ax ? a 在 (0,1) 内有极小值,则实数 a 的取值范围为 ( ) A.(0,3) B. (??,3) C. (0,??) D. (0, )

3 2

8.函数 y ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 5 的极值情况是( ) A.在 x ? ?1 处取得极大值,但没有最小值 B. 在 x ? 3 处取得极小值,但没有最大值 C.在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 3 处取得极小值 D.既无极大值也无极小值 9.下列结论正确的是( ) A. 在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值 B. 在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值 C. 在区间[a,b]上,,函数的最大值、最小值在 x=a 和 x=b 时达到 D. 一般地,在闭区间[a,b]上的连续函数 f ( x) 在[a,b]上必有最大值与最 小值 10.下列说法正确的是( A. )

当 f ' ( x) ? 0 时,则 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值

B. 当 f ' ( x) ? 0 时,则 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极小值 C. 当 f ' ( x) ? 0 时,则 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值

第 2 页 共 13 页

D.

当 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值时。则有 f ' ( x) ? 0

11.设 M,m 分别是函数 f ( x) 在[a,b]上的最大值和最小值,若 M ? m , 则 f ' ( x) 。 。 ( A.等于 0 ) B.小于 0 C.等于 1 D.不确定 )

12.抛物线 y ? x 2 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为(

A.

2

B。

7 2 8

C。 2 2

D。以上答案都不对

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题(4′×4=16′) 13.已知函数 y ? x 3 ? ax2 ? bx ? 27 在 x ? ?1 处有极大值,在 x ? 3 处 极小值,则 a ? ,b ?
3 2



14.已知函数 y ? f ( x) ? x ? px ? qx 的图象与 x 轴切于非原点的一 点,且 y极小 ? ?4 ,那么 p ? ,q ? 时,材料最

15.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,则它的高为 省。

16. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 1有极大值又有极小值,则
3 2

a 的取值范围是
三、解答题(共 76′) 17.求 f ( x) ? x ? 3x ? 6x ? 2, x ? [?1,1] 的最大值和最小值。 (12′)
3 2

第 3 页 共 13 页

18.已知函数 y ? f ( x) ? ax5 ? bx3 ? c 在 x ? ?1 处有极值,且极大值是 4,极小值是 0,试求 f ( x) 的表达式。 (12′)

19.设函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P 点,
3 2

曲线在点 P 处的切线方程为 12x ? y ? 4 ? 0 。若函数在 x ? 2 处取得极值 0,试求函数的单调区间。 (12′)

第 4 页 共 13 页

20.已知函数 y ? f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b在[?1,2] 上的最大值为 3,最小 值为 ? 29 ,求 a 、 b 的值。 (12′)

21.从长 32 cm ,宽 20cm 的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形,做一 个无盖的箱子,问剪去的正方形边长为多少时,箱子的容积最大,最大容 积是多少?(12′)

第 5 页 共 13 页

22.已知函数 y ? f ( x) ? 16x 3 ? 20ax2 ? 8a 2 x ? a 3 ,其中 a ? 0 。 (1)求 f ( x) 的极大值和极小值; (2)设(1)问中函数取得极大值的点为 P( x, y) ,求 P 点所在的曲线。 (14′)

第 6 页 共 13 页

参考答案 一、选择题 1.B.解析: y' ? 3(2x ? 1) 2 ? 2 ? 6(2x ? 1) 2 ,? k ? y' 2.C. 解 析 :
x?0

?6
, 讨 论

y' ? ?3x 2 ? 3 ? ?3( x ? 1)(x ? 1)

(??,?1),?1, (?1,1),1, (1, ?) ,得答案 C
3.B.解析: y ' ? 4 ? 4 x ? 4(1 ? x)(1 ? x ? x ) ? 4(1 ? x)[( x ? ) ? ] ,
3 2 2

1 2

3 4

讨论点 ? 1, (?1,1),1, (1,2),2 ,得答案为 B. 4.B.解析:根据函数的单调性与导数的关系和极值点的定义 5.C. 解 析 :

y' ? 3( x ? 1) 2 , 令y' ? 0得x ? ?1, 但在(??,?1)和(?1, ?)上y' ? 0 ,函数都
单调递增,所以 x ? ?1 不是极值点.
2 6.D.解析: f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? (a ? 6) ,要使 f ( x) 有极大值和极小值, 2 只需 f ' ( x) ? 0 有两个不同的根即可。即: 4a ? 4 ? 3(a ? 6) ? 0 ,解得:

a ? ?3或a ? 6
7.D. 解 析 :

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2a ? 0, x ? ?

2a ,由题意知只要 3

0?

2a 3 ? 1,即0 ? a ? 3 2
2

8.C.解析: y' ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)(x ? 1) ? 0, x ? 3或x ? ?1,见下 表 x

(??,?1)

?1

(-1,3)

3

(3,??)

第 7 页 共 13 页

y'
y

+ 增函数

0 极大值

- 减函数

0 极小值

+ 增函数

易知答案为 C。 9.D.解析:极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定 是极大(小)值,在闭区间上,函数的最值不一定在区间端点取得。 10.D.解析:例如 f ( x) ? x 3 , f ' ( x) ? 3x 2 ,当f ' ( x) ? 0时,x ? 0;

当x ? 0时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(??,0)上为增函数;
故 x ? 0 即 不是 当x ? 0时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0,??)上为增函数; 极大值点,也不是极小值点,A、B、C 三个选项均不正确,故选 D。 11.A.解析:因为 M ? m ,所以 f ( x) 为常数函数,故 f ' ( x) ? 0 12.B 。由 y ? x , 得y ' ? 2 x, 令y ' ? 1, 则x ?
2

1 2 ,所以抛物线 y ? x 上点 2

1 1 ? ?2 1 1 7 2 2 4 ( , ) 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离, 最短距离为 , ? 2 4 8 2
故选 B 二、填空题 13 . ? 3,?9 . 解析: 由题意y' ? 3x ? 2ax ? b ? 0的两根为? 1和3,?由
2

根与系数的关系得,

?1? 3 ? ?

2a b ,?1 ? 3 ? ,? a ? ?3, b ? ?9 3 3

2 14 . 6 , 9 . 解 析 : y' ? 3x ? 2 px ? q , 令 切 点 ( a,0) , 则

f ( x) ? x( x 2 ? px ? q) ? 0 有 两 个 相 等 实 根 a , 且 a ? 0 , ∴

第 8 页 共 13 页

x 2 ? px ? q ? ( x ? a) 2 ,? f ( x) ? x( x ? a) 2
f ' ( x) ? ( x ? a)(x ? 3a) ,令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? a或x ?
a ? x ? a时, f (a) ? 0 ? ?4,? f ( ) ? y极小 ? ?4 3 4 3 a ? ?4, a ? ?3 , 27
∴ x 2 ? px ? q ? ( x ? 3) 2 ,? p ? 6, q ? 9 15 。解析:设方底无盖水箱的底面边长为 x 分米,高为 h 分米,则

a 。 3
, 即

x 2 h ? 256
S ? x 2 ? 4 xh ? x 2 ?









1024 1024 ,? 令S ' ? 2 x ? 2 ? 0,得 x ? 8,? h ? 4 , x x

由本题的实际意义可知当高为 4 分米时,材料最省。 16. 解析: f ( x) 为三次多项式, 从而 f ' ( x) 为二次函数。 若 f ' ( x) ? 0 无 实数根或有重根,则 f ' ( x) 为非负或非正。从而 f ( x) 是单调函数,不会有 极值。故若 f ( x) 有极值,则应是 f ' ( x) ? 0 有不同实根 ? 、 ? (? ? ? ) , 此时 f ' ( x) 在 (? , ? ) 与在 (??, ? ) ? ( ? ,??) 上符号相反, 所以 f ( x) 在 ? 、

? 处取得极值,且一为极大一为极小。综上所述,可知 f ( x) 有极大值又
有极小值的充分必要条件是 f ' ( x) ? 0 有两个不同实根。

f ' ( x) ? 3x 2 ? 6ax ? 3(a ? 2) 3x 2 ? 6ax ? 3(a ? 2) ? 0






f ' ( x) ? 0







??0



(2a) 2 ? 4(a ? 2) ? 0,即a 2 ? a ? 2 ? 0,? a ? (??,?1) ? (2,??)

第 9 页 共 13 页

17









? f ' ( x) ? 3x 2 ? 6x ? 6 ? 3( x 2 ? 2x ? 2) ? 3[(x ? 1) 2 ? 1] ? 0
∴函数 f ( x)在[?1,1] 上为单调递增函数, ∴ f ( x) max ? f (1) ? 2, f ( x) min ? f (?1) ? ?12 18.解析: f ' ( x) ? 5ax4 ? 3bx2 ,∵函数 y ? f ( x) ? ax5 ? bx3 ? c 在

x ? ?1 处有极值,

? f ' (?1) ? 0,即5a ? 3b ? 0,? f ' ( x) ? 5ax2 ( x 2 ? 1)
∵ 当 x ? (?1,0)或x ? (0,1)时,f ' ( x) 的 符 号 不 变 ,∴ x ? 0 不 是

f ( x) 的极值点。

?a ? ?3 ?a ? 3 ? f (1) ? 4 ? f (1) ? 0 ? ? 由题意得, ? ,解得 ?b ? ?5或?b ? 5 或? ? f (?1) ? 0 ? f (?1) ? 4 ?c ? 2 ?c ? 2 ? ?

? f ( x) ? ?3x 5 ? 5x 3 ? 2或f ( x) ? 3x 5 ? 5x 3 ? 2
19。 解析: ∵函数 y ? f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为
3 2

P 点, ∴点 P(0, d ),? y'
x ?0

? c, ∴曲线在 P 点处的切线方程为 y ? cx ? d

由 题 设 知 , 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 12x ? y ? 4 ? 0 ,

? c ? 12, d ? ?4 ? f (2) ? 0, f ' (2) ? 0,? a ? 2, b ? ?9 又函数在 x ? 2 处取得极值 0,

? f ( x) ? 2x 3 ? 9x 2 ? 12x ? 4, f ' ( x) ? 6( x ? 1)(x ? 2)

第 10 页 共 13 页

由 f ' ( x) ? 0,得x ? 2或x ? 1; f ' ( x) ? 0, 得1 ? x ? 2 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,1)和(2, ?) ,单调递减区间为

(1,2) 。
20 。 解 析 :

f ' ( x) ? 3ax2 ? 12ax ? 3ax( x ? 4)





f ' ( x) ? 0, 得,x ? 0或x ? 4
若 a ? 0 ,则由 f ' ( x) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 0;f ' ( x) ? 0, 得0 ? x ? 2 , 所 以

f (0) ? 3,





b?3


。 所

由 以

f (?1) ? ?29,得 a ?

32 491 , 此时 f (2) ? ? ? ?29 7 7

f (2) ? ?29,? a ? 2 ;
若 a ? 0 ,则由 f ' ( x) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 0;f ' ( x) ? 0, 得0 ? x ? 2 , 所以 f (0) ? ?29,

b ? ?29 。 由 f (?1) ? 3,得 a ? ?

32 309 , 此时 f (2) ? ?3 , 所 以 7 7

f (2) ? 3,? a ? ?2
综上所述, ?

?a ? 2 ?a ? ?2 ,或? ?b ? 3 ?b ? ?29

21。解析:设剪去的正方形的边长为 xcm(0 ? x ? 10) ,则做成的无盖的 箱子的底是长、宽分别为 (32 ? 2 x) 、 (20 ? 2 x)cm 的矩形,而且箱 子的高为 xcm ,所以其容积为

V ? (32 ? 2x)(20 ? 2x) ? x ? 4( x 3 ? 26x 2 ? 160x) ,

第 11 页 共 13 页

?V ' ? 12( x ? 4)( x ?

40 V ' ? 0 仅有 x ? 4 一解。 )。 当 0 ? x ? 10 时, 3

在 x ? 4 附近,V ' 是左正、右负,所以 V 在 x ? 4 处取得极大值即为 最大值,所以 x ? 4cm 时 V 有最大值。 22。解析: (1)? y ? f ( x) ? 16x 3 ? 20ax2 ? 8a 2 x ? a 3 ,其中 a ? 0

? f ' ( x) ? 48 x 2 ? 40 ax ? 8a 2 ? 8(2 x ? a)( 3x ? a),由f ' ( x) ? 0得x ?

a a ,x ? 2 3

① 当 a ? 0时, ? x

a ,见下表 2 a a (?? , ) 3 3
+ 增函数 0 极大

a 3

a a ( , ) 3 2
- 减函数

a 2
0 极小

a ( , ?) 2
+ 增函数

f ' ( x)
f ( x)
∴当 x ? 当x ?

a a a3 时,函数取得极大值, f ( ) ? ; 3 3 27

a a 时,函数取得极小值, f ( ) ? 0 2 2 a a ② 当 a ? 0时, ? ,见下表 2 3 a a a a (?? , ) ( , ) x 2 2 2 3

a 3
0 极小

a ( , ?) 3
+ 增函数

f ' ( x) f ( x)
当x ?

+ 增函数

0 极大

- 减函数

a a 时,函数取得极大值, f ( ) ? 0 ; 2 2

第 12 页 共 13 页

当x ?

a a a3 时,函数取得极小值, f ( ) ? 3 3 27

a ? x? ? ? 3 (2)当 a ? 0 时, ? ,消去 a 得, y ? x 3 ( x ? 0) ; 3 ?y ? a ? 27 ?

a ? ?x ? 当 a ? 0 时, ? 2 ,消去 a 得, y ? 0( x ? 0) , ? ?y ? 0
所以 P 点的轨迹方程为: y ? ?

? x 3 ( x ? 0) ?0( x ? 0)

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