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北京师大附中2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年北京师大附中高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.数字 0,1,2,3,4 可以组成( )个无重复数字的五位数. A.96 B.120 C.625 D.1024 2.二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中 x2 的系数为 15,则 n=( A.7 B.6 C.5 D.4 3.抛掷

一枚均匀的硬币 4 次,则恰有 2 次正面向上的概率( ) A. B. C. D.



4. 抛掷一枚均匀的骰子 2 次, 在下列事件中, 与事件“第一次得到 6 点”不相互独立的是 ( ) A.“第二次得到 6 点” B.“第二次的点数不超过 3 点” C.“第二次的点数是奇数” D.“两次得到的点数和是 12” 5. 在兴趣小组的 4 名男生和 3 名女生中选取 3 人参加某竞赛, 要求男生女生都至少有 1 人, 则不同的选取方法有( )种. A.20 B.30 C.35 D.60 6.一个口袋中装有 4 个红球,2 个白球.每次从袋中随机摸出一个球,不放回地摸两次, 在摸出的第一个是红球的条件下,摸出的第二个球是白球的概率是( A. B. C. D. )

7.设某一随机变量 X~N(0,1) ,记 P1=P(﹣2≤X≤﹣1) ,P2=P(0≤X≤1) ,则 P1P2 的 关系是( ) A.P1<P2 B.P1>P2 C.P1=P2 D.无法确定 8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1: (θ 为参数,r>0)有一个公共点在 y 轴上,则 r=( A. B.2 C. D.1 (t 为参数) 与曲线 C2: )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.二项式(3 ﹣1)6 的展开式中各项系数的和是______. 10. 某次联欢会的抽奖规则如下: 观众从一个装有 8 个红球和 2 个白球的箱子中一次摸出两 个球,若都是白球,则为一等奖,若恰有一个白球,则为二等奖.那么,这名观众中奖的概 率是______. 11.极坐标系(ρ,θ) (0≤θ<2π)中,点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的极坐标是 ______. 12.已知圆的极坐标方程 ρ=2cosθ,直线的极坐标方程为 ρcosθ﹣2ρsinθ+7=0,则圆心到直 线距离为 ______. 13.如图,AB 是圆 O 的直径,且 AB=6,CD 是弦,BA、CD 的延长线交于点 P,PA=4, PD=5,则∠COD=______.

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14.已知集合 A={1,2,3,4},函数 f(x)的定义域、值域都是 A,且对于任意 i∈A,f (i)≠i.设 a1,a2,a3,a4 是 1,2,3,4 的任意一个排列,定义数表 , 若两个数表的对应位置上至少有一个数不同, 就说这是两 张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为______. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 15.某篮球运动员在上赛季的三分球命中率为 25%,场均三分球出手 10 次,教练建议他在 新赛季减少三分球出手次数, 若在新赛季的第一场比赛中该球员计划出手 3 次, 每次出手均 相互独立,设其命中 X 次. (1)若将频率视为概率,求 X 的分布列; (2)请给该队员一些建议,如何才能提高他在一场比赛中的三分球得分的期望? 16.在某校开展的“阳光体育”系列活动中,甲、乙两班之间进行了一次 200 米跑的团体比 赛.每个班各派出 5 名同学比赛,讲每名同学的 200 米成绩记录以后(单位:秒,且已知每 个成绩都是整数) ,总用时少的班级获胜, 成绩记录如表所示: 1 2 3 4 5 队员编号 31 34 33 29 28 甲班成绩 27 31 30 X 31 乙班成绩 表格中的 x∈[30,40) (1)若 x=36,从甲班的 5 名同学中任取 3 名,记这 3 人中用时少于乙队平均用时的人数为 随机变量 η,求 η 的分布列; (2)若最终乙班获胜,那么当乙班同学的成绩方差最大时,x 的取值是多少(直接写出结 果,不用证明)? 17.北京市人社局今日发布了“关于公布 2015 年度北京市职工平均工资的通知”,透露 2015 年度全市职工平均工资为 85038 元, 月平均工资 7086 元, 某网站整理了 2011﹣2015 年北京 市职工年平均工资,如表,网友纷纷吐槽:“对不起,我又拖后腿了”“还没赶上去年的平均 值,你们又涨了…”“我周围很多人这 5 年工资都没变过,这数据肯定有问题” 2011﹣2015 年北京市职工年平均工资(税前:单位:元) 时间 平均年薪 2011 56061 2012 62677 2013 69521 2014 77560 2015 85038 (1)根据上表所给信息估计:到 2020 年,北京市职工税前平均年薪能否比 2011 年翻翻?, 并简要说明. (2)使用你所学的概率统计知识,解释大多数人认为自己工资为达到平均值的理由:
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(3)你能否向人社局提出一些建议来改进统计方案,是大部分人认为公布的结果与自己的 实际工资水平相差不大. 四、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分. 18. b, c}的子集中任意选出两个不同集合 A, B, 从集合 U= (a, 要求 A? B, 那么, 有______ 种不同的选法. 19.已知函数 f(x)=x2﹣cosx,则 f(﹣0.5) ,f(0) ,f(0.6)这三个函数值从小到大分别 为______. 20.某地采用摇号买车的方式,共有 20 万人参加摇号,每个月有 2 万个名额,如果每个月 摇上的退出摇号, 没有摇上的继续进行下月摇号, 则每个人摇上号平均需要______个月的时 间. 五、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分. 21.设函数 (1)若函数 f(x)在 x=﹣1 处取得极值﹣2,求 a,b 的值. (2)若函数 f(x)在区间(﹣1,1)内单调递增,求 b 的取值范围. 22.已知函数 h(x)=aex 的一条切线为 y=ex. (1)求 a 的值 (2)设 x>0,求证:h(x)>1+x+ x2. 23.已知 Sn={A|A=(a1,a2,a3,…an)},ai={0 或 1},i=1,2,??,n(n≥2) ,对于 U, V∈Sn,d(U,V)表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U=(0,0,0,0) ,存在 m 个 V∈S5,使得 d(U,V)=2,写出 m 的值; (Ⅱ)令 ,U,V∈Sn,求证:d(U,W)+d(V,W)≥d(U,V) ;

(Ⅲ)令 U=(a1,a2,a3,…an) ,若 V∈Sn,求所有 d(U,V)之和.

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2015-2016 学年北京师大附中高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.数字 0,1,2,3,4 可以组成( )个无重复数字的五位数. A.96 B.120 C.625 D.1024 【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】利用乘法原理,即可求出结果. 【解答】解:用 0、1、2、3、4 组成一个无重复数字的五位数共有 4×4×3×2×1=96 种不 同情况. 故选:A. 2.二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中 x2 的系数为 15,则 n=( A.7 B.6 C.5 D.4 【考点】二项式定理的应用. 【分析】由题意可得 = =15,解关于 n 的方程可得. )

【解答】解:∵二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中 x2 的系数为 15, ∴ =15,即 =15,解得 n=6,

故选:B. 3.抛掷一枚均匀的硬币 4 次,则恰有 2 次正面向上的概率( A. B. C. D. )

【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 【分析】判断事件是独立重复试验,然后求解即可. 【解答】解:抛掷一枚均匀的硬币 4 次,满足独立重复试验,X~B(4, ) , 则恰有 2 次正面向上的概率: 故选:C. 4. 抛掷一枚均匀的骰子 2 次, 在下列事件中, 与事件“第一次得到 6 点”不相互独立的是 ( ) A.“第二次得到 6 点” B.“第二次的点数不超过 3 点” C.“第二次的点数是奇数” D.“两次得到的点数和是 12” 【考点】相互独立事件. 【分析】投掷抛掷一枚均匀的骰子 2 次,利用独立事件的概念即可判断. 【解答】解:“第二次得到 6 点”,“第二次的点数不超过 3 点”,“第二次的点数是奇数”与事 件“第一次得到 6 点”均相互独立,
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= .

而对于“两次得到的点数和是 12”则第一次一定是 6 点,第二次也是 6 点,故不是相互独立, 故选:D. 5. 在兴趣小组的 4 名男生和 3 名女生中选取 3 人参加某竞赛, 要求男生女生都至少有 1 人, 则不同的选取方法有( A.20 B.30 C.35 )种. D.60

【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】这 3 人中必须既有男生又有女生的选法有两种:2 男 1 女和 1 男 2 女,分别求出这 两种情况下的选法的数量,相加即得所求. 【解答】解:这 3 人中必须既有男生又有女生的选法有两种:2 男 1 女和 1 男 2 女, ∴不同的选法共有: 故选:B. 6.一个口袋中装有 4 个红球,2 个白球.每次从袋中随机摸出一个球,不放回地摸两次, 在摸出的第一个是红球的条件下,摸出的第二个球是白球的概率是( A. B. C. D. ) =30(种) .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】设 A 表示“第一次取到红球”,B 表示“第一次取到白球”,求出 P(A)和 P(AB) , 利用条件概率计算公式能求出在摸出的第一个是红球的条件下, 摸出的第二个球是白球的概 率. 【解答】解:一个口袋中装有 4 个红球,2 个白球.每次从袋中随机摸出一个球,不放回地 摸两次, A 表示“第一次取到红球”,B 表示“第一次取到白球”, 则 P(A)= ,P(AB) =

在摸出的第一个是红球的条件下,摸出的第二个球是白球的概率是:

p(B|A)=

=

= .

∴在摸出的第一个是红球的条件下,磨出的第二个球是白球的概率是 . 故选:D. 7.设某一随机变量 X~N(0,1) ,记 P1=P(﹣2≤X≤﹣1) ,P2=P(0≤X≤1) ,则 P1P2 的 关系是( ) A.P1<P2 B.P1>P2 C.P1=P2 D.无法确定 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据变量符合正态分布,和所给的 μ 和 ? 的值,根据 3? 原则,结合对称性得到结 果. 【解答】解:∵随机变量 X 服从正态分布 X~N(0,1) ,

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= × =0.1359, P2=P = ×0.6826=0.3413, ∴P1=P (﹣2≤X≤﹣1) (0.9544﹣0.6826) (0≤X≤1) ∴P1<P2, 故选:A.

8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C1: (θ 为参数,r>0)有一个公共点在 y 轴上,则 r=( A. B.2 C. D.1 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】由曲线 C1: 点为(0,2) .代入曲线 C2: 【解答】解:由曲线 C1: 2=2.∴其公共点为(0,2) . 由曲线 C2: + =1,解得 r= .

(t 为参数) 与曲线 C2: )

(t 为参数) ,令 x=0,则 1﹣t=0,解得 t,可得 y,其公共

(θ 为参数,r>0) ,即可解出.

(t 为参数) ,令 x=0,则 1﹣t=0,解得 t=1,∴y=4﹣

(θ 为参数,r>0) ,可得 2+rcosθ=0,1+rsinθ=2,消去 θ 可得:

故选:A. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.二项式(3 ﹣1)6 的展开式中各项系数的和是 64 . 【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用赋值法,令 x=1,即可求出二项式展开式的各项系数和. 【解答】解:令 x=1,得二项式(3 ﹣1)6 的展开式中各项系数的和是: (3﹣1)6=64. 故答案为:64. 10. 某次联欢会的抽奖规则如下: 观众从一个装有 8 个红球和 2 个白球的箱子中一次摸出两 个球,若都是白球,则为一等奖,若恰有一个白球,则为二等奖.那么,这名观众中奖的概 率是 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】根据互斥事件、古典概型概率计算即可. 【解答】解:中一等奖的概率为 = ,中二等奖的概率为 = ,

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∴这名观众中奖的概率是 故答案为:

+

=

11.极坐标系(ρ,θ) (0≤θ<2π)中,点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的极坐标是 ( , ) .

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】求出点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的直角坐标,再把它化为极坐标. 【解答】解:直线 2ρsinθ=1 即 y= ,点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的直角坐标为 (1,1) , 故对称点的极坐标为( 故答案为: ( , ) . , ) ,

12.已知圆的极坐标方程 ρ=2cosθ,直线的极坐标方程为 ρcosθ﹣2ρsinθ+7=0,则圆心到直 线距离为 .

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行代 换即得圆和直线的直角坐标方程,再在直角坐标系中算出圆心到直线距离即可. 【解答】解:由 ρ=2cosθ? ρ2=2ρcosθ? x2+y2﹣2x=0? (x﹣1)2+y2=1, ρcosθ﹣2ρsinθ+7=0? x﹣2y+7=0, ∴圆心到直线距离为: .

故答案为:



13.如图,AB 是圆 O 的直径,且 AB=6,CD 是弦,BA、CD 的延长线交于点 P,PA=4, PD=5,则∠COD= 60° .

【考点】弦切角. 【分析】直接利用圆的割线定理求出弦 CD 的长,利用 AB 的长确定三角形 OCD 为正三角 形,进一步求出结果. 【解答】解:AB 是圆 O 的直径,CD 是弦,BA、CD 的延长线交于点 P,
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利用割线定理得:PA?PB=PD?PC, 由于:AB=6,PA=4,PD=5, 所以:PA?(PA+AB)=PD?(PD+CD) , 解得:CD=3, 所以:△OCD 为正三角形, 则:∠COD=60°. 故答案为:60°. 14.已知集合 A={1,2,3,4},函数 f(x)的定义域、值域都是 A,且对于任意 i∈A,f (i)≠i.设 a1,a2,a3,a4 是 1,2,3,4 的任意一个排列,定义数表 , 若两个数表的对应位置上至少有一个数不同, 就说这是两 张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为 216 . 【考点】计数原理的应用;函数的概念及其构成要素. 【分析】本题需要分步计数,首先排列 a1,a2,a3,a4,是 1,2,3,4 的任意一个排列,共 有 A44 种结果,再排列 a1,a2,a3,a4,对应的函数值,根据 f(i)≠i.得到第一个函数值 有 3 种结果,后面几个函数值依次是 3,1,1,根据分步计数原理得到结果. 【解答】解:由题意知本题需要分步计数来解, 首先排列 a1,a2,a3,a4,是 1,2,3,4 的任意一个排列,共有 A44=24,种结果, 再排列 a1,a2,a3,a4,对应的函数值, ∵f(i)≠i. ∴第一个函数值有 3 种结果,后面几个函数值依次是 3,1,1,共有 3×3=9 种结果, 根据分步计数原理知共有 24×9=216 种结果, 故答案为:216 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 15.某篮球运动员在上赛季的三分球命中率为 25%,场均三分球出手 10 次,教练建议他在 新赛季减少三分球出手次数, 若在新赛季的第一场比赛中该球员计划出手 3 次, 每次出手均 X 相互独立,设其命中 次. (1)若将频率视为概率,求 X 的分布列; (2)请给该队员一些建议,如何才能提高他在一场比赛中的三分球得分的期望? 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)设 X 可以取 0,1,2,3.求出概率,得到分布列. (2)该队员应减少三分出手次数,以提高得分期望,当出手次数 1 个增加时,导致总得分 期望会持续降低. 【解答】 (1)解:设 X 可以取 0,1,2,3. P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= = = , = ,

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P(X=3)= 所以 X 的分布列为 X 0 P (2)该队员应减少三分出手次数,以提高得分期望. 通过球员命中率以及得分期望来看,球员命中率为 0.25,当出手次数 1 个增加时,其命中零 次的概率需要乘以 0.75,而与得分乘以零,导致总得分期望会持续降低. 16.在某校开展的“阳光体育”系列活动中,甲、乙两班之间进行了一次 200 米跑的团体比 赛.每个班各派出 5 名同学比赛,讲每名同学的 200 米成绩记录以后(单位:秒,且已知每 个成绩都是整数) ,总用时少的班级获胜, 成绩记录如表所示: 1 2 3 4 5 队员编号 31 34 33 29 28 甲班成绩 27 31 30 X 31 乙班成绩 表格中的 x∈[30,40) (1)若 x=36,从甲班的 5 名同学中任取 3 名,记这 3 人中用时少于乙队平均用时的人数为 随机变量 η,求 η 的分布列; (2)若最终乙班获胜,那么当乙班同学的成绩方差最大时,x 的取值是多少(直接写出结 果,不用证明)? 【考点】离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)先求出乙队平均用时,从而得到随机变量 η 可取 0,1,2,分别求出相应的概 率,由此能求出 η 的分布列. (2)利用离散型随机变量的分布列的性质,能求出当乙班同学的成绩方差最大时,x 的取 值. 【解答】解: (1)乙队平均用时为: 则随机变量 η 可取 0,1,2, P(η=0)= = , =31,

1

2

3

P(η=1)=

= ,

P(η=2)=

=



则 η 的分布列为: η 0 P (2)35.

1

2

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17.北京市人社局今日发布了“关于公布 2015 年度北京市职工平均工资的通知”,透露 2015 年度全市职工平均工资为 85038 元, 月平均工资 7086 元, 某网站整理了 2011﹣2015 年北京 市职工年平均工资,如表,网友纷纷吐槽:“对不起,我又拖后腿了”“还没赶上去年的平均 值,你们又涨了…”“我周围很多人这 5 年工资都没变过,这数据肯定有问题” 2011﹣2015 年北京市职工年平均工资(税前:单位:元) 时间 平均年薪 2011 56061 2012 62677 2013 69521 2014 77560 2015 85038 (1)根据上表所给信息估计:到 2020 年,北京市职工税前平均年薪能否比 2011 年翻翻?, 并简要说明. (2)使用你所学的概率统计知识,解释大多数人认为自己工资为达到平均值的理由: (3)你能否向人社局提出一些建议来改进统计方案,是大部分人认为公布的结果与自己的 实际工资水平相差不大. 【考点】收集数据的方法. 【分析】 (1)2011 至 2020 年,共 9 年所以到 2020 年工资相对增长 65421 元,肯定可以翻 倍; (2)工资少的人占大部分群体,则会觉得离年平均工资差的很远; (3)建议将所有收入分层计算工资月收入一万以下计算平均数,月收入 1 至 3 万计算平均 数,五万以上计算平均数.然后按照约为比例 6:3:1 比例相乘再相加,再除以 10 即可. 【解答】解: (1)可以.每年平均工资增长约 =7269,

2011 至 2020 年,共 9 年所以到 2020 年工资相对增长 65421 元,肯定可以翻倍. (2)因为平均值是整体除以个数来计算的,当某些人工资特别高, 也计算在内的时候会平均值把平均值拉高很多.而工资少的人占大部分群体, 则会觉得离年平均工资差的很远. (3)我建议将所有收入分层计算工资月收入一万以下计算平均数, 月收入 1 至 3 万计算平均数,五万以上计算平均数. 然后按照约为比例 6:3:1 比例相乘再相加,再除以 10 即可. 四、填空题:本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分. 18.从集合 U=(a,b,c}的子集中任意选出两个不同集合 A,B,要求 A? B,那么,有 19 种不同的选法. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】A? B;故不妨设元素少的为 A,元素多的为 B,A 为 B 的真子集;从而解得. 【解答】解:由题意知, 不妨设元素少的为 A,元素多的为 B, A 为 B 的真子集, ①若 B={a,b},A 为 B 的真子集,共 22﹣1=3 种, ②B={a,b,c},A 为 B 的真子集,共 23﹣1=7 种, ③B={a,c},A 为 B 的真子集,共 22﹣1=3 种,
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④B={b,c},A 为 B 的真子集,共 22﹣1=3 种, ⑤B={a},A=?,A 为 B 的真子集,共 1 种, ⑥B={b},A=?,A 为 B 的真子集,共 1 种, ⑦B={c},A=?,A 为 B 的真子集,共 1 种, 共有 3+7+3+3+1+1+1=19 种. 故答案为:19. 19.已知函数 f(x)=x2﹣cosx,则 f(﹣0.5) ,f(0) ,f(0.6)这三个函数值从小到大分别 为 f(0.6)>f(﹣0.5)>f(0) . 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数与方程的综合运用. 【分析】判断 f(x)=x2﹣cosx 的奇偶性,转化 f(﹣0.5)=f(0.5) ,判断函数的单调性, 由 f(x)在(0,1)为增函数,知 f(0)<f(0.5)<f(0.6) ,由此能比较 f(﹣0.5) ,f(0) , f(0.6)的大小关系. 【解答】解:∵f(x)=x2﹣cosx 为偶函数, ∴f(﹣0.5)=f(0.5) , ∵f′(x)=2x+sinx, 由 x∈(0,1)时,f′(x)>0, 知 f(x)在(0,1)为增函数, 所以 f(0)<f(0.5)<f(0.6) 所以 f(0)<f(﹣0.5)<f(0.6) ,即 f(0.6)>f(﹣0.5)>f(0) . 故答案为:f(0.6)>f(﹣0.5)>f(0) . 20.某地采用摇号买车的方式,共有 20 万人参加摇号,每个月有 2 万个名额,如果每个月 摇上的退出摇号,没有摇上的继续进行下月摇号,则每个人摇上号平均需要 5 个月的时 间. 【考点】根据实际问题选择函数类型. 【分析】需要 10 次完成摇号操作,少则 0 多则 10 月即对应每个人平均为 5 个月,即可得出 结论. 【解答】解:需要 10 次完成摇号操作, 少则 0 多则 10 月即对应每个人平均为 5 个月, 故答案为:5. 五、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分. 21.设函数 (1)若函数 f(x)在 x=﹣1 处取得极值﹣2,求 a,b 的值. (2)若函数 f(x)在区间(﹣1,1)内单调递增,求 b 的取值范围. 【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)对 f(x)进行求导,根据已知条件函数 f(x)在 x=﹣1 处取得极值﹣2,可得 f′(﹣1)=0,和 f(﹣1)=2,分别解出 a,b 的值; (2)需要对 b 进行讨论:b≤0 和 b>0 两种情况,利用导数研究函数的单调性,根据 f′(x) >0 在区间(﹣1,1)内大于 0,求出 b 的范围; 【解答】 (1)∵函数
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函数 f(x)在 x=﹣1 处取得极值﹣2,

依题意:



(2)



∵a>0, ∴当 b≤0 时 f'(x)≤0,函数 f(x)在(﹣1,1)内不可能增,舍去; 当 b>0,时 若 f'(x)>0, f(x)递增, ∴ ∴ , 时

故所求范围为[1,+∞)… 22.已知函数 h(x)=aex 的一条切线为 y=ex. (1)求 a 的值 (2)设 x>0,求证:h(x)>1+x+ x2. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)设切点,利用函数 h(x)=aex 的一条切线为 y=ex,求 a 的值 (2)即证明 1>(1+x+ x2)e﹣x(x>0) ,构造函数,即可证明. 【解答】 (1)解:根据题意可设切点为(x0,y0) 则 =ex0, =e,

故 a=1; (2)证明:当 x>0 时,h(x)>1+x+ x2,即 ex>1+x+ x2, 则 1>(1+x+ x2)e﹣x(x>0) 令 g(x)=(1+x+ x2)e﹣x,并求其最大值. 则 g′(x)=(﹣ x2)e﹣x.
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所以在 x>0,g(x)恒减,所以 g(x)<g(0)=1, 故 h(x)>1+x+ x2.

23.已知 Sn={A|A=(a1,a2,a3,…an)},ai={0 或 1},i=1,2,??,n(n≥2) ,对于 U, V∈Sn,d(U,V)表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U=(0,0,0,0) ,存在 m 个 V∈S5,使得 d(U,V)=2,写出 m 的值; (Ⅱ)令 ,U,V∈Sn,求证:d(U,W)+d(V,W)≥d(U,V) ;

(Ⅲ)令 U=(a1,a2,a3,…an) ,若 V∈Sn,求所有 d(U,V)之和. 【考点】计数原理的应用. 【分析】 (Ⅰ)根据 d(U,V)可知 m=C52; (Ⅱ)根据 ai=0 或 1,i=1,2,??,n,分类讨论 ai=0,bi=0 时,|ai|+|bi|=0=|ai﹣bi|;当 ai=0,bi=1 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi|;当 ai=1,bi=0 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi|; 当 ai=1,bi=1 时,|ai|+|bi|=2≥|ai﹣bi|=0,可证,|ai|+|bi|≥|ai﹣bi|,再相加即可 证明结论; (Ⅲ)易知 Sn 中共有 2n 个元素,分别记为 vk(k=1,2,3,…,2n,v=(b1,b2,b3,…bn) bi=0 的 vk 共有 2n﹣1 个,bi=1 的 vk 共有 2n﹣1 个然后求和即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵V∈S5,d(U,V)=2, 2 C =10 ∴ 5 ,即 m=10; (Ⅱ)证明:令 U=(a1,a2,a3,…an) ,V=(b1,b2,b3,…bn) ∵ai=0 或 1,bi=0 或 1; 当 ai=0,bi=0 时,|ai|+|bi|=0=|ai﹣bi| 当 ai=0,bi=1 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi| 当 ai=1,bi=0 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi| 当 ai=1,bi=1 时,|ai|+|bi|=2≥|ai﹣bi|=0 故,|ai|+|bi|≥|ai﹣bi| ∴d(U,W)+d(V,W)=(a1+a2+a3+…+an)+(b1+b2+b3+…+bn) =(|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|)+(|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|) ≥|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+…+|an﹣bn|=d(U,V) ; (Ⅲ)解:易知 Sn 中共有 2n 个元素,分别记为 vk(k=1,2,3,…,2n,v=(b1,b2,b3,…bn) ∵bi=0 的 vk 共有 2n﹣1 个,bi=1 的 vk 共有 2n﹣1 个. ∴d(U,V)=2n﹣1(|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|an﹣0|+|an﹣ 1|=n2n﹣1 ∴d(U,V)=n2n﹣1.

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2016 年 9 月 29 日

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