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第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动:《曲线与方程》教学设计(新疆兵团农二师华山中学陶述兵)


“曲线与方程”教学设计
新疆兵团农二师华山中学 陶述兵
一、教学内容:人教版选修 2—1 第二章第一节:曲线与方程 二、教材分析 曲线属于“形”的范畴,方程则属于“数”的范畴,它们通过直角坐标系而联系在一起,曲线的方 程是曲线几何的一种代数表示,方程的曲线则是代数的一种几何表示。在直角坐标系中,点可由它的坐标 来表示,而曲线是点的轨迹,所以曲线可用含 x、y

的方程来表示。“曲线和方程”这节教材,揭示了几 何中的“形”与代数中的“数”的统一,为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础, 对解析几何教学有着深远的影响,曲线与方程的相互转化,是数学方法论上的一次飞跃。 由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容,因而学生用解析法研究几何图形的性质时,只有 透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。求曲线与方程的问题,也贯穿了 这一章的始终, 所以应该认识到, 本节内容是解析几何的重点内容之一。 本节中提出的曲线与方程的概念, 它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化,又是学习圆锥曲线的理论 基础,它贯穿于研究圆锥曲线的全过程,根据曲线与方程的对应关系,通过研究方程来研究曲线的几何性 质,是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合,在本章中得到了充分体现。 ●教学目标: 1.通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程,初步理解曲线的方程和方程的曲线的概 念。 2.理解曲线的方程与方程的曲线的概念和集合相等的关系、渗透转化与化归的思想与数形结合的思 想 。 3.培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质,以及主动参与、勇于探 索、敢于创新的精神。 ●教学重点 理解曲线的方程和方程的曲线的概念。 ●教学难点 对曲线与方程对应关系的理解。 ●学情分析 新课标强调返璞归真,努力揭示数学概念、结论的发展背景,过程和本质,揭示人们探索真理的道路。 本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上,使学生理解数学概念、结论产生的背景 和逐步形成的过程,体会孕育在其中的思想,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。为突破 曲线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”,“ 圆的方程” 入手,以集合相等,辅助理解 “曲线的方程”与“方程的曲线”,进一步强化了概念理解的深刻性。无 论是判断、证明,还是求解曲线的方程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两条为准 则。

教学过程设计 教学步骤 一、情景引入 幻灯片展示:现实生活中飞逝的流 星,雨后的彩虹,古代的石拱桥和 教师活动 学生活动 设计意图 激发兴趣, 将课件中 的图片抽象成曲线,

教师引出课题

观看图片并回

现代繁华都市的立交桥的图片



体现出“数”控制 “形”的变化

二、探究问题,引出概念 问题一 (1)平面直角坐标系中,第一、三 象限角平分线方程是 y ? 吗 ? x 为什么?你能用集合的知识加以 阐述吗? (2)方程|y|=|x|是上述直线的方 程吗? (3) 以 上 两 个 方 程 不 是 直 线 的 方 程,那么你们能找出第一、三象限 角平分线的方程吗? 问题二 圆心在 C(1,2),半径为 2 的圆的方 程是 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 吗?
2 2

引导学生回顾 直线的方程, 圆 的方程和集合 的相关知识

学生思考问 题,并回答

从学生已学知识为 切入点, 引起学生的 关注,引发数学思 考, 鼓励学生发现数 学的规律和问题解 决的途径, 使他们经 历知识形成的过程。 使学生不断地经历 直观感知、观察发 现、归纳类比、空间 想像、抽象概括、反 思与建构等思维过 程。

三、归纳,生成概念 曲线的方程、方程的曲线的定义: 一般地,在平面直角坐标系中,如 鼓 励 学 生 归 纳 果某曲线 C(看作点的集合或适合 出曲线的方程、 某种条件的点的轨迹)上的点与一 方 程 的 曲 线 的 定义 个二元方程 f ( x, y ) ? 0 的实数解 建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是方程 的解; (2)以这个方程的解为坐标的点 都是曲线上的点; 那么,这个方程叫做曲线的方程, 这条曲线叫做方程的曲线。 四、通过运用,巩固概念 练习 1、过点 A(2,0)平行于 y 轴的直 线方程是|x|=2 吗?为什么? 2、到两坐标轴等距离的点的轨迹 方程是 y=x 吗?为什么? 例 1:证明与两条坐标轴的距离的 积是常数 k(k>0)的点的轨迹方程 是 xy ? ? k

结合问题一、 问题二 尝试归纳,生 成概念

由特殊到一般, 从简 单到复杂, 使新知的 建构顺畅和自然, 既 体现在教师引导下 学生自我建构, 又使 学生感到知识之间 并不是孤立的, 而是 相互联系的, 他们是 一个相互联系的、 密 切相关的整体。

学生回答, 老师 点评。 学生思考、回 答,学生之间 互相补充。 数学概念是要在运 用中得以巩固, 通过 练习, 可以纠正错误 的认识, 促使对概念 的正确理解,

五、课堂小结 1、曲线的方程和方程的曲线的概 念 通过本节学习,要理解曲线的方程 和方程的曲线的概念,曲线 C 和方 程 f(x,y)=0 必须满足两个条件。 曲线的方程和方程的曲线是同一 个概念,相对不同角度的两种说 法,曲线与方程的这种对应关系, 提问 是通过平面直角坐标系建立的,曲 线和方程之间的对应关系,实质上 是曲线 C 上点的坐标与方程的解之 间的对应关系问题。以及用集合相 等来辅助理解曲线的方程和方程 的曲线的概念。 2、基本思想与方法 数形结合的思想 , 转化与化归的 思想 六、布置作业 1.举出一个曲线的方程的例子. 2.举出一个方程与一条曲线,使 它们之间符合关系(1)而不符合关 系(2). 3.举出一个方程与一条曲线,使 它们间符合关系(2)而不符合关系 (1).

学生归纳整理 并回答 学生补充

让学生回顾、总结、 联系、整合、提高认 识、理解。

幻灯片展示 巩固所学知识


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