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第7篇 第4讲 基本不等式及其应用


第4讲

基本不等式及其应用

知 识 梳 理 a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. a+b (3)其中 2 称为正数 a,b 的算术平均数, ab称为正数 a,b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)重要不等式:a2+b2

≥2ab(a,b∈R).当且仅当 a=b 时取等号. ?a+b?2 ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤? ? 2 ? a2+b2 ?a+b?2 ? (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (3) 2 ≥? ? 2 ? b a (4)a+b≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p(简记:积 定和最小). s2 (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 (简记:和定积 最大). 辨 析 感 悟 1.对基本不等式的认识 a+b (1)当 a≥0,b≥0 时, 2 ≥ ab.(√) a+b (2)两个不等式 a2+b2≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是相同的.(×) 2.对几个重要不等式的认识 (3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).(√)

(4)

a+b 2ab 2 =1 1≤ ab≤ 2 ≤ a+b a+b

a2+b2 2 .(×)

(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).(√) 3.利用基本不等式确定最值 π? 4 ? (6)函数 y=sin x+sin x,x∈?0,2?的最小值为 4.(×) ? ? (7)(2014· 福州模拟改编)若 x>-3,则 x+ 4 的最小值为 1.(√) x+3

a (8)(2013· 四川卷改编)已知函数 f(x)=4x+ x(x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值, 则 a=36.(√) [感悟·提升] 两个防范 一是在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就 是“一正——各项均为正; 二定——积或和为定值; 三相等——等号能否取得”, ?a+b?2 ? ,要弄 若忽略了某个条件,就会出现错误.对于公式 a+b≥2 ab,ab≤? ? 2 ? 清它们的作用、使用条件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关 系.如(2)、(4)、(6). 二是在利用不等式求最值时, 一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次 使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.

考点一

利用基本不等式证明简单不等式

【例 1】 已知 x>0,y>0,z>0. ?y z??x z??x y? 求证:?x+x??y+y??z +z ?≥8. ? ?? ?? ? 证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz x z 2 xz ∴x+x≥ x >0,y+y≥ y >0, x y 2 xy z +z ≥ z >0, ?y z??x z??x y? ∴?x+x??y+y??z +z ?≥ ? ?? ?? ?

8

yz· xz· xy =8. xyz

当且仅当 x=y=z 时等号成立. 规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思 路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过 逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. 【训练 1】 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证:a+b+ c≥9. 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+ c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+ c+c ?b a? ? c a? ? c b? =3+?a+b?+?a+ c?+?b+ c? ? ? ? ? ? ? ≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 考点二 利用基本不等式求最值

z 【例 2】 (1)(2013· 山东卷改编)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当xy 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为________. 2 2 (2)(2014· 广州一模)已知 x+ y=1,(x>0,y>0),则 x+y 的最小值为________. z 审题路线 条件: x2-3xy+4y2-z=0?变形得: z=x2-3xy+4y2?代入xy?变形 后利用基本不等式?取等号的条件把 x+2y-z 转化关于 y 的一元二次函数?利 用配方法求最大值. 解析
2 2 z x -3xy+4y x 4y (1)xy= =y-3+ x ≥2 xy

x 4y x 4y y· 3 -3=1,当且仅当y= x ,即 x

=2y 时等号成立. 此时 z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3· 2y· y+4y2=2y2. ∴x+2y-z=2y+2y-2y2=-2(y-1)2+2,

∴当 y=1,x=2,z=2 时,x+2y-z 取最大值,最大值为 2. ?2 2? ? x + y ?= (2)∵x>0,y>0,∴x+y=(x+y)· ? ? ?x y? 4+2?y+x?≥4+4 ? ? xy y· x=8.

x y 当且仅当y=x,即 x=y=4 时取等号. 答案 (1)2 (2)8

规律方法 条件最值的求解通常有两种方法:一是消元法,即根据条件建立两个 量之间的函数关系, 然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变 形, 利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最 值. 【训练 2】 (1)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________. (2)(2014· 浙江十校联考)若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是 ________. 1 3 解析 (1)由 x+3y=5xy 可得5y+5x=1, 3x 12y ? 1 3 ? 9 4 3x 12y 13 12 ∴3x+4y=(3x+4y)?5y+5x?=5+5+5y+ 5x ≥ 5 + 5 =5(当且仅当5y= 5x 即 x ? ? 1 =1,y=2时,等号成立), ∴3x+4y 的最小值是 5. (2)由 x>0,y>0,得 4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等 号成立),∴12xy+3xy≤30,即 xy≤2,∴xy 的最大值为 2. 答案 (1)5 (2)2 考点三 基本不等式的实际应用

【例 3】 (2014· 济宁期末)小王大学毕业后, 决定利用所学专业进行自主创业. 经 过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件, 1 需另投入流动成本为 W(x)万元, 在年产量不足 8 万件时, W(x)=3x2+x(万元). 在 100 年产量不小于 8 万件时,W(x)=6x+ x -38(万元).每件产品售价为 5 元.通过 市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.

(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销 售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是 多少? 解 (1)因为每件商品售价为 5 元, 则 x 万件商品销售收入为 5x 万元, 依题意得, 当 0<x<8 时, 1 ?1 ? L(x)=5x-?3x2+x?-3=-3x2+4x-3; ? ? 100 ? ? ? 100? 当 x≥8 时,L(x)=5x-?6x+ x -38?-3=35-?x+ x ?. ? ? ? ? 1 2 - ? ? 3x +4x-3,0<x<8, 所以 L(x)=? ? 100? x+ x ?,x≥8. ? ?35-? ? ? 1 (2)当 0<x<8 时,L(x)=-3(x-6)2+9. 此时,当 x=6 时,L(x)取得最大值 L(6)=9 万元, ? 100? 当 x≥8 时,L(x)=35-?x+ x ?≤35-2 ? ? 100 x· =35-20=15, x

100 此时,当且仅当 x= x 时,即 x=10 时,L(x)取得最大值 15 万元. ∵9<15, 所以当年产量为 10 万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大. 最 大利润为 15 万元. 规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题 意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用 基本不等式求解. (2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调 性求解. 【训练 3】 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2013 年举行促销活动,经 调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t≥0)万元满 足 x=4- k (k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万 2t+1

件.已知 2013 年生产该产品的固定投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再

投入 12 万元,厂家将每件产品的 销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部 分). (1)将该厂家 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数; (2)该厂家 2013 年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? k 3 解 (1)由题意有 1=4-1,得 k=3,故 x=4- . 2t+1 ∴y=1.5× 6+12x x ×x-(6+12x)-t

3 ? 18 ? =3+6x-t=3+6?4-2t+1?-t=27- -t(t≥0). 2t+1 ? ? ? 9 1? 18 + ? ?t+2? 1 (2)由(1)知:y=27- -t=27.5-? ? ? ? t+ 2t+1 2 ? 9 ? 1? 由基本不等式 1+?t+2?≥2 ? ? t+2 9 1 当且仅当 1=t+2, t+2 即 t=2.5 时等号成立, ? 9 1? 18 + ? ?t+2? 1 故 y=27- -t=27.5-? ? ? ? t+ 2t+1 2 ? ≤27.5-6=21.5. 9 1 当且仅当 1=t+2时,等号成立,即 t=2.5 时,y 有最大值 21.5.所以 2013 年的 t+2 年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润最大,最大利润为 21.5 万元. ? ? ? ? 9 ? 1? ?t+2?=6, 1· ? ? t+2 ? ?. ? ?

1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的 放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不 等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点. 2.连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存

在且一致.

教你审题 7——如何挖掘基本不等式中的“相等” 1 |a| 【典例】 (2013· 天津卷)设 a+b=2,b>0,则2|a|+ b 取得最小值为________. [审题] 一审条件:a+b=2,b>0,转化为条件求最值问题;

1 |a| 二审问题:2|a|+ b 转化为“1”的代换; 三审过程:利用基本不等式时取等号的条件. 1 |a| a+b |a| a b |a| a 解析 因为 a+b=2,所以2|a|+ b = 4|a| + b =4|a|+4|a|+ b ≥4|a|+2 b |a| 4|a|· b

a 1 3 b |a| =4|a|+1≥-4+1=4,当且仅当4|a|= b ,a<0,即 a=-2,b=4 时取等号,故 1 |a| 3 2|a|+ b 的最小值为4. 3 答案 4 [反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变 量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求 最值的代数式乘上常数, 再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最 值. 【自主体验】 (2013· 福建卷改编)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是________. 解析 因为 2x>0,2y>0,所以 1=2x+2y≥2 2x· 2y=2 2 2
x+y x+y

,故 2

x+y

1 ≤2,即

1 ≤4=2-2,所以 x+y≤-2.

答案 (-∞,-2]

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题

1 1.(2014· 泰安一模)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式①a+b≥2 ab;②a+ 1 2 b a 2 2 > ;③ b a+b≥2;④a +b >2ab 中,恒成立的是________. ab b a b a 解析 因为 ab>0,即a>0,b>0,所以a+b≥2 答案 ③ 1 1 2.(2014· 杭州一模)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则a+b的最小值是______. 解析 1 1 a+b a+b b a 由题意 + = + = 2 + + ≥2 + 2 a b a b a b b a b a × =4,当且仅当 = , a b a b b a a×b=2.

1 即 a=b=2时,取等号,所以最小值为 4. 答案 4 1 3.(2013· 金华十校模拟)已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+a, 1 n=a+b,则 m+n 的最小值是________. 1 1 解析 由题意知:ab=1,∴m=b+a=2b,n=a+b=2a, ∴m+n=2(a+b)≥4 ab=4. 答案 4 4.(2012· 陕西卷改骗)小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平 均时速为 v,则 a、v、 ab的大小关系为________. 解析 设甲、乙两地之间的距离为 s. ∵a<b,∴v= s 2sab 2ab 2ab s =?a+b?s=a+b<2 ab= ab. a+b 2s

又 v-a=

ab-a2 a2-a2 2ab -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b

答案 a<v< ab 5.(2014· 兰州模拟)已知函数 y=x-4+ b,则 a+b=________. 9 (x>-1),当 x=a 时,y 取得最小值 x+1

解析 y=x-4+

9 9 9 =x+1+ -5,由 x>-1,得 x+1>0, >0,所以 x+1 x+1 x+1 9 -5≥2 x+1 ?x+1?× 9 -5=1,当且仅当 x+1= x+1

由基本不等式得 y=x+1+

9 ,即(x+1)2=9,所以 x+1=3,即 x=2 时取等号,所以 a=2,b=1,a+b x+1 =3. 答案 3 6.(2014· 广州模拟 )若正实数 a, b 满足 ab =2 ,则(1 + 2a)· (1+ b) 的最小值为 ________. 解析 (1+2a)(1+b)=5+2a+b≥5+2 2ab=9.当且仅当 2a=b,即 a=1,b=2 时取等号. 答案 9 x y 7.已知 x,y∈R+,且满足3+4=1,则 xy 的最大值为______. x y 解析 ∵x>0,y>0 且 1=3+4≥2 答案 3 8. 函数 y=a1-x(a>0, a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn 1 1 >0)上,则m+n的最小值为________. 解析 ∵y=a1-x 恒过点 A(1,1),又∵A 在直线上, 1 1 m+n m+n n m 1 ∴m+n=1.而m+n= m + n =2+m+ n ≥2+2=4,当且仅当 m=n=2时, 1 1 取“=”,∴m+n的最小值为 4. 答案 4 二、解答题 1 1 1 9.已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:a+b+ab≥8. 1 1 1 1 1 a+b ?1 1? 证明 a+b+ab=a+b+ ab =2?a+b?, ? ? ∵a+b=1,a>0,b>0, xy x y ,∴ xy ≤ 3. 当且仅当 12 3=4时取等号.

1 1 a+b a+b a b ∴a+b= a + b =2+b+a≥2+2=4, 1 1 1 1 ? ? ∴a+b+ab≥8?当且仅当a=b=2时等号成立?. ? ? 10.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20. (1)求 u=lg x+lg y 的最大值; 1 1 (2)求 x+ y的最小值. 解 (1)∵x>0,y>0, ∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy. ∵2x+5y=20,∴2 10xy≤20,xy≤10,当且仅当 2x=5y 时,等号成立.因此 ?2x+5y=20, ?x=5, 有? 解得? ?2x=5y, ?y=2, 此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. 5y 2x? 1 ? 1 1 ?1 1? 2x+5y 1 ? (2)∵x>0,y>0,∴ + =?x+y ?· = ?7+ x + y ?≥ ?7+2 x y ? 20? ? 20 ? 20? 7+2 10 5y 2x ,当且仅当 20 x = y 时,等号成立. 2x+5y=20, ? ? 由?5y 2x = , ? ?x y 10 10-20 ? ?x= 3 , 解得? 20-4 10 ? y = . ? 3 5y 2x? · ?= x y?

7+2 10 1 1 ∴x+y的最小值为 20 . 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、填空题 1 1.(2014· 郑州模拟)已知正实数 a,b 满足 a+2b=1,则 a2+4b2+ab的最小值为 ________.

1 1 解析 因为 1=a+2b≥2 2ab,所以 ab≤8,当且仅当 a=2b=2时取等号.又因 1? 1 1 1 1 ? 为 a2+4b2+ab≥2 a2· 4b2+ab=4ab+ab.令 t=ab, 所以 f(t)=4t+ t 在?0,8?单调 ? ? 1 ?1? 17 递减,所以 f(t)min=f?8?= 2 .此时 a=2b=2. ? ? 答案 17 2

2 1 2.已知 x>0,y>0,且 x+ y=1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范 围是________. 2 1 解析 ∵x>0,y>0 且 x+ y=1, 4y x ?2 1? ∴x+2y=(x+2y)?x+y ?=4+ x +y ? ? ≥4+2 4y x 4y x x· y=8,当且仅当 x =y,

即 x=4,y=2 时取等号, ∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立, 即 8>m2+2m,解得-4<m<2. 答案 (-4,2) 3. (2014· 南昌模拟)已知 x>0, y>0, x+3y+xy=9, 则 x+3y 的最小值为________. ?x+3y?2 ? ,令 x+3y 解析 由已知,得 xy=9-(x+3y),即 3xy=27-3(x+3y)≤? ? 2 ? =t,则 t2+12t-108≥0,解得 t≥6,即 x+3y≥6. 答案 6 二、解答题 4. (2013· 泰安期末考试)小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各 种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该车 每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将 大货车作为二手车出售, 若该车在第 x 年年底出售, 其销售价格为(25-x)万元(国 家规定大货车的报废年限为 10 年).

(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计 收入+销售收入-总支出) 解 (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元, 则 y=25x-[6x+x(x-1)]-50(0<x≤10,x∈N), 即 y=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N), 由-x2+20x-50>0,解得 10-5 2<x<10+5 2. 而 2<10-5 2<3,故从第 3 年开始运输累计收入超过总支出. (2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年 平均利润为 1 1 ? 25? ? 25? y =x[y+(25-x)]= x(-x2+19x-25)=19-?x+ x ?,而 19-?x+ x ?≤19- ? ? ? ? 2 25 x·x =9,当且仅当 x=5 时等号成立,即小王应当在第 5 年将大货车出售,

才能使年平均利润最大. 方法强化练——不等式 (建议用时:75 分钟) 一、填空题 1.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的________条件. 解析 不等式|x|<2 的解集是(-2,2),而不等式 x2-x-6<0 的解集是(-2,3), 于是当 x∈(-2,2)时,可得 x∈(-2,3),反之则不成立. 答案 充分不必要 b 2.(2014· 青岛一模)若 a,b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式①a2>b2;②a< ?1? ?1? 1;③lg(a-b)>0;④?3?a<?3?b 成立的是________. ? ? ? ? 1 ?1? 解析 ∵0<3<1,∴y=?3?x 是减函数,又 a>b, ? ? ?1? ?1? ∴?3?a<?3?b.经验证①②③均错误,∴④对. ? ? ? ? 答案 ④

3.(2013· 郑州调研)不等式

x-1 ≤0 的解集为________. 3x+1

1 1 解析 原不等式等价为(x-1)(3x+1)≤0 且 3x+1≠0, 解得-3≤x≤1 且 x≠-3,
? 1 ? ? 1 ? 所以原不等式的解集为?x|-3<x≤1?,即?-3,1?. ? ? ? ?

? 1 ? 答案 ?-3,1? ? ? 1? ? 1? ? 4.若 x,y 是正数,则?x+2y?2+?y+2x?2 的最小值是________. ? ? ? ? 解析 1? ? 1? 1 1 ? 由?x+2y?2+?y+2x?2≥x2+4x2 +y2+4y2+2≥2 ? ? ? ? 1 x2· 4x2+2 1 y2· 4y2 +

2 2=4.当且仅当 x=y= 2 时取等号. 答案 4

?2x-y≥0, 5. (2014· 长沙诊断)已知实数 x, y 满足不等式组?x+2y≥0, ?3x+y-5≤0,
大值是________.

则 2x+y 的最

解析 设 z=2x+y,得 y=-2x+z,作出不等式对应的区域,平移直线 y=-2x ?2x-y=0, +z,由图象可知当直线经过点 B 时,直线的截距最大,由? 解 ?3x+y-5=0, ?x=1, 得? 即 B(1,2),代入 z=2x+y,得 z=2x+y=4. ?y=2, 答案 4 6.(2013· 北京海淀一模)设 x,y∈R+,且 x+4y=40,则 lg x+lg y 的最大值是 ________. 解析 ∵x,y∈R+,∴40=x+4y≥2 4xy=4 xy,当 x=4y=20 时取等号, ∴ xy≤100,lg x+lg y=lg xy≤lg 100=2.

答案 2 7.某种生产设备购买时费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生 产设备的维修费为第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,而且以后以每 年 2 千元的增量逐年递增,则这种生产设备最多使用________年报废最合算(即 使用多少年的年平均费用最少). 解析 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元. 0.2x2+0.2x 10+0.9x+ 2 10 x * 由已知,得 y= ,即 y = 1 + x x +10(x∈N ). 由基本不等式知 y≥1+2 10 x 10 x x· 10=3,当且仅当 x =10,即 x=10 时取等号.因

此使用 10 年报废最合算,年平均费用为 3 万元. 答案 10

?x≥1, 8.(2014· 天水一模)实数 x,y 满足?y≤a?a>1?, ?x-y≤0,
值 4,则实数 a 的值为________. 解析

若目标函数 z=x+y 取得最大

作出可行域,由题意可知可行域为△ABC 内部及边界,y=-x+z,则 z 的几何 意义为直线在 y 轴上的截距, 将目标函数平移可知当直线经过点 A 时, 目标函数 取得最大值 4,此时 A 点坐标为(a,a),代入得 4=a+a=2a,所以 a=2. 答案 2

?3x-y-6≤0, 9.(2014· 湖州模拟)设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ?x≥0,y≥0.

若目标函数 z=ax+

2 3 by(a>0,b>0)的最大值为 12,则a+b的最小值为________.

解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.当直线 ax+by=z(a>0,b> 0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a >0,b>0)取得最大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6. 2 3 ?2 3? 2a+3b 所以a+b=?a+b?· 6 ? ? 13 ?b a? = 6 +?a+b? ? ? 13 25 ≥ 6 +2= 6 . 答案 25 6

10.(2014· 金丽衢十二校联考)已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy≤λ(x2+y2) 恒成立,则实数 λ 的最小值为________. 3x2+4xy 解析 依题意,得 3x +4xy≤3x +[x +(2y) ]=4(x +y ),因此有 2 2 ≤4, x +y
2 2 2 2 2 2

3x2+4xy 3x2+4xy 当且仅当 x=2y 时取等号,即 2 2 的最大值是 4,结合题意得 λ≥ 2 2 , x +y x +y 故 λ≥4,即 λ 的最小值是 4. 答案 4 ? 1 1? 11.(2013· 烟台模拟)已知关于 x 的不等式 ax2+2x+c>0 的解集为?-3,2?,则不 ? ? 等式-cx2+2x-a>0 的解集为________. 1 1 ? 1 1? 解析 由 ax2+2x+c>0 的解集为?-3,2?知 a<0,且-3,2为方程 ax2+2x+c= ? ? 1 1 2 ? 1? 1 c 0 的两个根,由根与系数的关系得-3+2=-a,?-3?×2=a,解得 a=-12,c ? ? =2,∴-cx2+2x-a>0,即 2x2-2x-12<0,其解集为(-2,3). 答案 (-2,3)

3x,x≥0, ? ? 12 . (2014· 武汉质检 ) 已知 f(x) = ??1?x ? ? ,x<0, ? ??3? ________. 解析 当 x≥0 时,由 3x<9 得 0≤x<2. ?1? 当 x<0 时,由?3?x<9 得-2<x<0. ? ? 故 f(x)<9 的解集为(-2,2). 答案 (-2,2)

则不等式 f(x) < 9 的解集是

?x+2y≤8, 13.(2013· 湖南卷)若变量 x,y 满足约束条件?0≤x≤4, ?0≤y≤3,
________. 解析 设 z=x+y,则 y=-x+z.作出可行域如图.

则 x+y 的最大值为

平移直线 y=-x+z,由图象可知当直线 y=-x+z 经过点 A 时,直线 y=-x+z ?x+2y=8, ?x=4, 的截距最大,此时 z 最大.由? 得? 即 A(4,2),代入 z=x+y, ?x=4, ?y=2, 得 z=4+2=6. 答案 6 14.(2013· 湘潭诊断)已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9x+3y 的最 小值为________. 解析 由 a⊥b 得:a· b=4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2.所以,9x+3y≥2 9x· 3y= 2 32x+y=6. 答案 6

a2 15.(2013· 上海卷)设常数 a>0,若 9x+ x ≥a+1 对一切正实数 x 成立,则 a 的 取值范围为________. a2 解析 当 x>0 时,f(x)=9x+ x ≥2 ?1 ? 答案 ?5,+∞? ? ? 二、解答题 16.(2014· 镇江模拟)已知 f(x)= 2x . x2+6 a2 1 9x· x =6a≥a+1,解得 a≥5.

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求实数 t 的范围. 解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0, 由已知其解集为{x|x<-3 或 x>-2}, 得 x1=-3,x2=-2 是方程 kx2-2x+6k=0 的两根, 2 2 所以-2-3=k,即 k=-5. (2)∵x>0,f(x)= 2x 2 6 = ≤ , 6 6 x +6 x+x
2

? 6 ? 由已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立,故实数 t 的取值范围是? ,+∞?. ?6 ? 17.(2013· 广州诊断)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定, 它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米 长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元,求:仓库面积 S 的最大允许值是多少? 为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? 解 设铁栅长为 x 米,一侧砖墙长为 y 米,则顶部面积 S=xy,依题设,得 40x +2×45y+20xy=3 200, 由基本不等式, 得 3 200≥2 40x· 90y+20xy=120 xy+

20xy=120 S+20S, 则 S+6 S-160≤0, 即( S-10)( S+16)≤0, 故 0< S≤10, 从而 0<S≤100, 所以 S 的最大允许值是 100 平方米, 取得此最大值的条件是 40x =90y 且 xy=100,解得 x=15,即铁栅的长应设计为 15 米. 18.(2014· 泉州调研)已知函数 f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)当 a=- 2时,讨论 f(x)的单调性;

(2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 解 (1)当 a=- 2时,f(x)=x3-3 2x2+3x+1. f′(x)=3x2-6 2x+3. 令 f′(x)=0,得 x= 2-1 或 2+1. 当 x∈(-∞, 2-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2-1)上是增函数; 当 x∈( 2-1, 2+1)时,f′(x)<0,f(x)在( 2-1, 2+1)上是减函数; 当 x∈( 2+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2+1,+∞)上是增函数. (2)法一 ∵当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,

x 1 1 ∴3ax2≥-x3-3x-1,∴a≥-3-x-3x2, x 1 1 1 1 2 设 g(x) =- 3 - x - 3x2 ,∴求 g(x) 的最大值即可,则 g′(x) =- 3 + x2 + 3x3 = -x3+3x+2 , 3x3 设 h(x)=-x3+3x+2, 则 h′(x)=-3x2+3,当 x≥2 时,h′(x)<0, ∴h(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴g′(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴g′(x)≤g′(2)=0,∴g(x)在(2,+∞)上单调递减, 5 ∴g(x)max=g(2)=-4, 5 ∴a≥-4. 5 法二 因为 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,所以由 f(2)≥0,得 a≥-4. 5 当 a≥- ,x∈(2,+∞)时,f′(x)=3(x2+2ax+1)≥ 4 5 ? ? ? 1? 3?x2-2x+1?=3?x-2?(x-2)>0, ? ? ? ? 所以 f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当 x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0. ? 5 ? 综上,a 的取值范围是?-4,+∞?. ? ?


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