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第三部分函数与导数


09 北京各区一模汇编第 3 部分:函数与导数
一、选择题: 1.(石一模理 2)设 f ? x ? ?

1? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2,?, 则 f 2009 ( x) ? 1? x
( )

? 1 x ? 9

.(东理 4)若函数 f ( x) ? ( 4 ), x ? ?? 1,0?,则 f (log4 3) ? ? ?4 x , x ? ?0,1? ?





x ?1 1 C. x D. ? x ?1 x 2.(朝一模理 7)已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ?1 . 如果 f ( f (a)) ? f (9) ? 1 ,则实数 a 等于
A. B. A. ?

1? x 1? x 1 4

1 D. 4 4 10 . ( 东 理 7) 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 是 ?? ?,??? , 若 对 于 任 意 的 正 数 a , 函 数 g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) 都是其定义域上的增函数,则函数 y ? f (x) 的图象可能是 ( )
A. B. 3 C. y y
y
y

1 3





B. ?1

C. 1

D.

3 2
O x O x
O x
O x

3.(西理 8)函数 f (x)的定义域为 D,若对于任意 x1, x2 ? D ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数 . 设函数 f (x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: f (0) = 0 ;

x 1 1 1 f ( ) = f ( x) ; f (1- x) = 1- f ( x) 则 f ( ) + f ( ) 等于 ( ) 3 2 3 8 3 1 2 A. B. C. 1 D. 4 2 3 2 4 . ( 西 理 4) 设 a 为 常 数 , 函 数 f ( x) = x - 4x + 3 . 若 f ( x + a ) 为 偶 函 数 , 则 a 等 于
( A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 5.(崇理 4)若函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? log2 )

A. B. C. D. 2 11. (丰理 5)已知函数 y ? f (x) 的图像与函数 y ? x ( x ? 0) 的图像关于直线 y ? x 对称, 那么下列情 形不可能出现的是 ( ) (A)函数 y ? f (x) 有最小值 (B)函数 y ? f (x) 过点(4,2) (C)函数 y ? f (x) 是偶函数 (D)函数 y ? f (x) 在其定义域上是增函数

x ? 1 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x ? 1) ?

( ) x x ?1 x x ?1 A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 6.(崇理 7)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 k(k∈ N*) 个格点,则称函数 f ? x ? 为 k 阶格点函数.下列函数:
x ① f ? x ? =sinx; ② f ? x ? =π(x-1)2+3; ③ f ( x) ? ( ) ; ④ f ( x) ? log0.6 x .

g 12.(丰文 8) 已知 f (x) , g (x) 都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件:① f (x) = a x · (x) f (1) f (?1) 5 ( a ? 0, a ? 0 ) g (x) ? 0 ;若 ;② ( ) ? ? ,则 a 等于 g (1) g (?1) 2
A.

1 2

B.2

C.

5 4

D. 2 或

1 2

二、填空题:

1 3

13.(石理 13)函数 ( ) 范围是

7.(崇理 8)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数 x, y ? R,等式

其中是一阶格点函数的有 A.① ② B.① ④

C.① ④ ②

D.① ③ ② ④

? x ? 2 ( x ? ?1) ,则 ? f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ?2 x ( x ? 2) ?

1 3 f (? ) ? ________ ,若 f (a ) ? ,则实数 a 的取值 2 2



f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) 成立.若数列 {an } 满足 a1 ? f (0) ,且 f (an ?1 ) ?

1 ( n?N*),则 a2009 f (?2 ? an )

14.(朝一模理 14)定义映射 f : A ? B ,其中 A ? (m, n) m, n ? R , B ? R .已知对所有的有序正 整数对 (m, n) 满足下述条件:① f (m,1) ? 1 ;② m ? n , f (m, n) ? 0 ; 若 ③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ?1)] ,则 f (3, 2)的值是_________; f (n, n) 的表达式为 _________(用含 n 的代数式表示). 15.(西理)13 给出下列四个函数: ① y = sin x + cos x ; ② y = sin x - cos x ; ③ y = sin x cos x ; 其中在 (0, ④ y?

?

?

的值为 ( ) A. 4016 B.4017 C.4018 D.4019 8.(崇文 6)定义在 R 上的函数 f (x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f (x ) 在区间[0,1]上是增函数,则

f (x)
A.在区间[ ? 2, ? 1 ]上是增函数,在区间[ 5, 6 ]上是增函数 B.在区间[ ? 2, ? 1 ]上是增函数,在区间[ 5, 6 ]上是减函数 C.在区间[ ? 2, ? 1 ]上是减函数,在区间[ 5, 6 ]上是, D.在区间[ ? 2, ? 1 ]上是减函数,在区间[ 5, 6 ]上是减函数

(

)

?
2

sin x . cos x

) 上既无最大值又无最小值的函数是_________________.(写出全部正确结论的序号)

1

16.(西理 14)已知函数 f ( x ) 由下表给出: x 0 1

2

3

4

22.(石一模理 20 题)(本题满分 13 分) 已知 P( x, y) 为函数 y ? ln x 图象上一点, O 为坐标原点.记直线 OP 的斜率 k ? f (x) . (Ⅰ )同学甲发现:点 P 从左向右运动时, f (x) 不断增大,试问:他的判断是否正确? 若正确,请说明理由;若不正确,请给出你的判断; (Ⅱ )求证:当 x ? 1 时, f ( x ) ? x ? 1 ;
3

f ( x)

a0

a1

a2

a3

a4

其中 ak (k = 0,1, 2,3, 4) 等于在 a0 , a1, a2 , a3 , a4 中 k 所出现的次数. 则 a4 =______________; a0 + a1 + a2 + a3 = ___________. 17. (西一模文 11)设 a 为常数, f ( x) = x2 - 4x + 3 .若函数 f ( x + a ) 为偶函数,则 a =__________; f ( f (a)) =_______. 18.(崇文 10)若把函数 y ? log2 ( x ? 2) ? 3 的图象按向量 a 平移,得到函数 y ? log2 ( x ? 1) ? 1 的图象, 则向量 a 的坐标为 . 19.(东理 14)已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f ?(x ) 为 f (x)的导函数,函数

x2

(Ⅲ )同学乙发现:总存在正实数 a 、 b (a ? b) ,使 a ? b .试问:他的判断是否正 确?若不正确,请说明理由;若正确,请求出 a 的取值范围. .答案: ) f (x) 在 (0, e) 上递增,在 (e,??) 上递减 (Ⅲ 1 ? a ? e (Ⅰ )
b a

y ? f ?(x) 的图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则
y -2 O

b?3 的取值范围是 a?3



x

20.(丰理 13) 已知函数 f1 ( x) ? sin x ? cos x , f 2 ( x) ? sin x , f 3 ( x) ? cos x ? 1 , f 4 ( x) ? 2 cos x ,则它们的 图像经过平移后能够重合的是函数 与函数 。 (注: 填上你认为正确的两个函数即可, 不必考虑所有可能的情形). f 2 ( x ) 与 f 3 ( x) 或 f 1 ( x) 与 f 4 ( x ) 参考答案:A A A B A C B B B A C A 13. 1 , (??,? 3 ) ? (? 2 , 2 ) 14. 6 n ! 15.② 16. 0 , 5 17. 2, 8 18. (-3,-4) 19. ? , ? ④ 2 2 2 2 ?5 3? 三、解答题: 21.(海一模文 19 题)(本小题共 14 分) 已知函数 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x? ? 2x ? mx ? ?1 ? m?x .
3 2

?3 7?
23.(丰文 19 题)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的图像如图所示。 (Ⅰ c, d 的值; )求 (Ⅱ )若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f (x) 的 解析式; (Ⅲ )若 x0 =5,方程 f ( x) ? 8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范围。 参考:(Ⅰ )c=0,d=3. (Ⅱ f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3 (Ⅲ ) )当 方程 f ( x) ? 8a 有三个不同的根.

(I)当 m ? 2 时,求 f ?x ? 的解析式; 围.
3 2 ì ? 答案: (I) f ( x) = ? 2 x + 2 x - x, í 3 ? 2 x - 2 x2 - x ? ?

(II)设曲线 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的切线斜率为 k,且对于任意的 x0 ?? ?1,1? -1≤k≤9,求实数 m 的取值范
( x …0) ( x < 0)

(II) 实数 m 的取值范围是 {m | ?8 剟m

0 2}

1 ?a?3时 , 11

.

2

24.(朝理 18 题)(本小题满分 13 分)

1 4 ? x2 . 2 (Ⅰ )写出函数 f ? x ? 的定义域,并求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ )设过曲线 y ? f ( x) 上的点 P 的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 S ,求 S 的最小值,并 求此时点 P 的坐标. 答案: )函数 f ( x ) 的递增区间是 ? ?2,0 ? ,函数 f ( x ) 的递减区间是 ? 0, 2 ? . (Ⅰ
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ )△ ABO 面积的最小值为 2. 此时,点 P 的坐标是 (? 2, 2 ) .
2

26.(西一模文 20 题)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b(a, b ?R). (Ⅰ )若 a=1,函数 f ( x ) 的图象能否总在直线 y ? b 的下方?说明理由; (Ⅱ )若函数 f ( x ) 在(0,2)上是增函数,求 a 的取值范围; (Ⅲ )设 x1 , x2 , x3 为方程 f ( x) ? 0 的三个根,且 x1 ? (?1,0) , x2 ? (0,1) , x3 ? (??, ?1) ? (1, ??) , 求证: | a |? 1 . 答案:略

25.(西一模理 18 题)(本小题满分 14 分) 设 a ?R,函数 f ( x) ? ?( x ?1)2 ? 2(a ?1)ln( x ?1) . (Ⅰ )若函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = 4 x - 1,求 a 的值; (Ⅱ )当 a<1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. 答案: )a ? 2 . Ⅱ 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (- 1, + (Ⅰ ( ) 上为减函数、在 ( a , + (Ⅱ 当 ) 上是减函数; ) 0<a<1 时, f ( x ) 在 (- 1, 27.(崇理 18 题) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? (ax ? 2x ? 2) , a ?R 且 a ? 0 . (Ⅰ )若曲线 y ? f (x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值;
x 2

a)

(Ⅱ a ? 0 时,求函数 f ( cos x ) 的最大值和最小值. )当 答案:(Ⅰ a ? 2 ) (Ⅱ ,当 0 ? a ? 2 时, f (| cos x |) 的最小值为 (a ? 4)e ,最大值为 ?2 ; )
2

) 上为减函数; f ( x) 在 (-

a , a ) 上为增函数.

当 2 ? a ? 4 ? 2 时, f (| cos x |) 的最小值为 ?2e a ,最大值为 ?2 ;

e 2 2 时, f (| cos x |) 的最小值为 ?2e a ,最大值为 (a ? 4)e . 当a ? 4? e

.

3

28.(崇文 17 题)(本小题满分 13 分)

30.(东文 18 题)(本小题满分 13 分) 已知:函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c (I)若函数 f (x) 的图像上存在点 P ,使点 P 处的切线与 x 轴平行,求实数 a, b 的关系式; (II)若函数 f (x) 在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值且图像与 x 轴有且只有 3 个交点,求实数 c 的取 值范围. 答案: (I) a 2 ? 3b (II) c ? (?5,27)

a 3 a ?1 2 x ? x ? x ? b ,其中 a, b ? R. 3 2 (Ⅰ )若曲线 y ? f (x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 5 x ? 4 ,求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ )当 a ? 0 时,讨论函数 f (x) 的单调性. 答案: ) f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 4 (Ⅱ (Ⅰ )当 0 ? a ? 1 时, 1 ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 (? ?, 1) 及 ( 1 ,
已知函数 f ( x) ?
a

a

? ?)

上为增函数;在区间 (1, 1 ) 上为减函数;当 a ? 1 时, 1 ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 (? ?, ? ?) 上为增函数;
a
a

1 当 a ? 1 时, 1 ? 1 ,函数 f ( x ) 在区间 (? ?, ) 及 (1, ? ?) 上为增函数;在区间 ( 1 , 1) 上为减函数. a a a

29.(东理 18 题)(本小题满分 13 分)
x 已知函数 f ( x) ? ln(e ? 1) ? ax (a ? 0) .

31. (丰理 20 题)(本小题共 14 分) 函 数 y ? f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数,且 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) , 当x ?[?2 ,?1] 时,

(I)若函数 y ? f (x) 的导函数是奇函数,求 a 的值; (II)求函数 y ? f (x) 的单调区间. 答案: (I)a ? 1 (II) a ? 1 时, f (x) 为 R 上的单调减函数; 0 ? a ? 1 时, f (x) 当 当 2 在 (ln a ,?? ) 上单调递增;在 ( ?? , ln a ) 上单调递减 1? a 1? a

1 1 1 f ( x) ? t ( x ? 2) 3 ? t ( x ? 2) (t ? R) ,记函数 y ? f (x) 的图像在 ( , f ( ) ) 处的切线为 l , f ' ( ) ? 1 。 2 2 2 (Ⅰ 求 y ? f (x) 在 [0 , 1] 上的解析式;(Ⅱ 点列 B1 ( b1 ,2 ) , B2 ( b2 ,3 ), ? , Bn (bn , n ? 1) 在 l 上, ) )
A1 ( x1 ,0) , A2 ( x2 ,0 ), ? , An ( xn ,0) 依次为 x 轴上的点,如图,当 n ? N ? 时,点 An , Bn , An?1 构成以 An An ?1 为底边的等腰三角形。若 x1 ? a(0 ? a ? 1) ,求数列 ?xn ? 的通项公式;(Ⅲ )在 (Ⅱ )的条件下, 是否存在实数 a 使得数列 ?xn ? 是等差数列?如果存在, 写出 a 的一个值; 如果不存在,请说明理由。
? n ? 1 ? a, 答案:(Ⅰ f ( x) ? ?4x 3 ? 4x , x ?[0 ,1] (Ⅱ x n ? ? ) ) ? n ? a, n为奇数 (Ⅲ 假设 ?xn ? 是等差数列 , ) n为偶数

则 ? a ? ?1 ? a ? a ?

1 2

故存在实数 a 使得数列 ?xn ? 是等差数列。

4


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