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人教A版必修5:第一章1.1第1课时正弦定理 Word版含解析


第一章 1.1

解三角形

正弦定理和余弦定理 正弦定理

第 1 课时
A级 一、选择题

基础巩固

1.在△ABC 中,已知 2B=A+C,则 B=( A.30° B.45° C.60° D.90°

)

解析:由 2B=A+C?3B=A+B+C=180° ,即 B=60° . 答案:C 2.在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 3 2 )

解析:利用正弦定理解三角形. 在△ABC 中, AC BC = , sin B sin A 3 2× 3 2 2 2

所以 AC=

BC·sin B = sin A

=2 3.

答案:B 3.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B 等于( 2 2 2 2 6 6 A.- B. C.- D. 3 3 3 3 15 10 3 a b 解析:利用正弦定理: = , = ,所以 sin B= ,因为大 sin A sin B 3 3 sin B 2 )

边对大角(三角形中),所以 B 为锐角,所以 cos B= 1-sin2 B= 答案:D

6 . 3

4.在△ABC 中,a=5,b=3,C=120° ,则 sin A∶sin B 的值是( 5 3 3 5 A. B. C. D. 3 5 7 7 解析:由正弦定理得: sin A a a b = ,所以 = , sin A sin B sin B b 因为 a=5,b=3, 所以 sin A∶sin B=5∶3. 答案:A 5.在△ABC 中,a=bsin A,则△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形 )

)

a b 解析:由正弦定理得: = =2R, sin A sin B 由 a=bsin A 得: 2Rsin A=2Rsin B·sin A, 所以 sin B=1,所以 B= 答案:B 二、填空题 6. (2015· 北京卷)在△ABC 中, a=3, b= 6, ∠A= a b 解析:由正弦定理,得 = , sin A sin B 即 π 3 6 2 = ,所以 sin B= ,所以∠B= . 2 4 3 sin B 2 2π , 则∠B=________. 3 π . 2

π 答案: 4 7.(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a π 1 = 3,sin B= ,C= ,则 b=________. 2 6 π 5π π 1 解析:因为 sin B= 且 B∈(0,π),所以 B= 或 B= ,又 C= ,所 2 6 6 6 π 2π a b 以 B= , A=π-B-C= , 又 a= 3, 由正弦定理得 = , 即 6 3 sin A sin B b 3 2π sin 3



,解得 b=1. π sin 6 答案:1 8. 在△ABC 中, 若 B=30° , AB=2 3, AC=2, 则 AB 边上的高是________. 解析:由正弦定理, 所以 sin C= AC AB = , sin B sin C

AB·sin 30° 2 3· sin 30° 3 = = , AC 2 2

所以 C=60° 或 120° , (1)当 C=60° 时,A=90° ,AB 边上的高为 2; (2)当 C=120° 时,A=30° ,AB 边上的高为 2sin 30°=1. 答案:1 或 2 三、解答题 9.在△ABC 中,若 acos A=bcos B,试判断△ABC 的形状. 解: 由正弦定理得, a=2Rsin A, b=2Rsin B, 由 acos A=bcos B 得, sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B. 因为 2A、2B∈(0,2π), 所以 2A=2B 或 2A+2B=π.

即 A=B 或 A+B=

π , 2

所以△ABC 为等腰或直角三角形. cos A b 4 10.在△ABC 中,已知 c=10, = = ,求 a、b 及△ABC 的内切圆 cos B a 3 半径. 解:由正弦定理知 cos A sin B 所以 = . cos B sin A 则 sin A cos A=sin B cos B, 所以 sin 2A=sin 2B. 又因为 a≠b,所以 2A=π-2B, 即 A+B= π . 2 sin B b = , sin A a

所以△ABC 是直角三角形,且 C=90° ,

?a +b =10 , 由?b 4 得 a=6,b=8. = , ?a 3
故内切圆的半径为 r= a+b-c 6+8-10 = =2. 2 2 B级 能力提升 )

2

2

2

1 1.在△ABC 中,若 tan A= ,C=150° ,BC=1,则 AB 等于( 3 A.2 B. 10 10 C. D.4 3 2

1 解析:因为 tan A= ,A∈(0° ,180°), 3 所以 sin A= 10 . 10 BC AB = , sin A sin C

由正弦定理知

所以 AB=

BC sin C 1×sin 150° 10 = = . sin A 2 10 10

答案:C 2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a= 2, b=2,sin B+cos B= 2,则角 A 的大小为________. π 解析:由 sin B+cos B= 2,得 sin (B+ )=1, 4 由 B∈(0,π),得 B= 由正弦定理, 得 sin A= π , 4

a b = , sin A sin B

asin B 1 = , b 2 π . 6

又 a<b,所以 A= π 答案: 6

3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A-C=90° ,a+ c= 2b,求 C. 解:由 A-C=90° ,得 A 为钝角且 sin A=cos C,利用正弦定理 a+c= 2b 可变形为 sin A+sin C= 2sin B, 又因为 sin A=cos C,所以 sin A+sin C=cos C+sin C= 2sin (C+45° )= 2sin B, 又 A,B,C 是△ABC 的内角, 故 C+45° =B 或(C+45° )+B=180° (舍去), 所以 A+B+C=(90° +C)+(C+45° )+C=180° , 所以 C=15° .


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