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辽宁省沈阳二中2012届高三10月月考数学(理)试题


沈阳二中高三(12 届)上学期 10 月月考 数学试题(理科)
命题:赵贤忠 校对:刘锐
一、选择题:本大题共 l2 小题.每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是满足题目要求的. 1.在复平面内,复数 z ? A 第一象限
5i 2?i

对应的点位于(

) D 第四象限 )

B 第二象限

C 第三象限

2. 如果命题“ ? ( p ? q ) ”是真命题,则正确的是( A p , q 均为真命题 C p , q 均为假命题 3. 设集合 A ? ? x
? ? x ?1

B p , q 中至少有一个为假命题 D p , q 中至多有一个为假命题

? ? 0 ? , B ? x x ? 1 ? a ,则“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的( x ?1 ?

?

?



A.充分不必 要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x , y ? 3 所围成的平面图形的面积为 A.
32 9





B. 2 ? ln 3
? 2

C. 4 ? ln 3
, x ? R)

D. 4 ? ln 3

5.函数 y ? A sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , ? ?
? 8
? 8

的部分图象如图所示,则函数表达式为( ) A C
y ? ? 4 sin(
y ? ? 4 sin(

x?
x?

? 4
? 4

)
)

B y ? 4 sin( D

? 8

x?

? 4

)
? 4
2

y ? 4 sin(

? 8

x?

)

6.已知函数 f ( x ) ? sin x ? 3 x , x ? ( ? 1,1), ,如果 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ? 0 ,则实数 a 的取值 范围是( ) A

? ? ? , ? 2 ? ? ? 1, ? ? ?

B

(1,

2)

C

(?? , ?2)

D

(1, ? ? )

7. 如图,圆弧型声波 DFE 从坐标原点 O 向外传播. 若 D 是 DFE 弧与 x 轴的交点,设 OD = x ( 0 ? x ? a ), 圆弧型声波 DFE 在传播过程中扫过平行四边形 OABC 非菱形) ( 的面积为 y (图 中阴影部分),则函数 y ? f ( x ) 的图象大致是( ).

y y y y y
E C F D 第 7 题图 A

B

O A

a x

O B

a x

O C

a

x

O D

a x

O

ax

8.已知△ABC 的三个顶点的 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB , 下 列结论中正确的是 A.P 在△ABC 内部 C.P 在 AB 边所在直线上 9. tan 2 0 ? ? 4 sin 2 0 ? ? A. 2 B. 1 C. 3
??? ?

( B.P 在△ABC 外部 D.P 是 AC 边的一个三等分点



( D.2
??? ?

)

10. 已知由 ? O A B 的三条边所围成 的区域内有一动点 P , 则向量 O P 可以用向量 O A 和 O B 表 示为 ①OA ? ④
??? ? ??? ? 2O B

??? ?





? 1 ??? ? 3 ??? OA ? OB 4 3

; ⑤

? 1 ??? ? 1 ??? OA ? OB 2 3 ? 1 ??? ? 3 ??? OA ? OB 4 5

; .



? 1 ??? ? 3 ??? OA ? OB 4 5



A.①②
2

B.

①④

C.②③

D.⑤

11.函数 y ? x ? 2 x 在区间 ? a , b ? 上的值域是 ? ? 1, 3 ? , 则点 ( a , b ) 的轨迹是图中的( ) A.线段 AC 和线段 BD C.线段 AD 和线段 BC
? 12 . 已 知 曲 线 C : y
g ( x) ?
?x

B.线段 AB 和线段 CD D.线段 AB 和线段 AD
4 ?
2

x( - 2 ?

x ?与 函 数 0 )

f ( x ) ? lo g a ( ? x )

及 函 数

a 其(中

? a

1 )
2 2

的图像分别交于 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 的值为 A.16 B.8 C.4 D.2

二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 z 1 ? a ? 2 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,且 14. ?
2 0

z1 z2

为 纯 虚 数,则 实 数 a的值为



C .o k x Z : 源 来 [] m

?

4 ? x ? x d x ? _________.
2

?

15.已知 O P ? ( ? 1, 2 ), O Q ? ( ? 2, ? 3) ,则 ? P O Q 的面积为 16.如右图为大观览车主架示意图,点 O 为轮轴的中心,距

??? ?

????

. P’

M’

O

P

地面高度为 32 米(即 O M ? 3 2 m ) 。巨轮的半径为 30 米, 点 P 为吊舱与轮的 连接点,吊舱高 2 米(即 P M ? 2 m ) , 巨轮每分钟转动 3 0 。某游人从即 M 点进入吊舱后,巨轮 开始转动, 求转动到 4 分钟时,该游人所乘吊舱的底部 (即 M ' 点)距地面的高度是 米.
?

三 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) 已知 m ? ( 4 s in x , ? 1), n ? (c o s ( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期:
?

??

?

?
6

?? ? ), ? 1) ,函数 f ( x ) ? m ? n 。

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值。 ? 8 4?

?

? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中 ,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的倾斜角为 |OB|=2, 设 ? A O B
q, q ( p 3p , ). 2 4 3p 4

, y

[来源:Z,xx,k.Com]

B

(Ⅰ)用 q 表示点 B 的坐标及 | O A | ; (Ⅱ)若 ta n q = 4 3

,求 O A ×O B 的值.

uur uuu r

O

A

x

19. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 且 4 cos
2

C 2

? cos 2 C ?

7 2



a ? b ? 5, c ?

7 , (I)求角 C 的大小;

(II)求 ? ABC 的面积.

20. (本小题满分 12 分) 学习三角函数一章时,课堂上老师给出这样一个结论:当 0 ? x ?
s i nx ? x ? t a n 恒成立,当老师把这个证明完成时, x

?
2

时,有

(Ⅰ) 学生甲提出问题:能否在不等式 sin x ? x 的左边增加一个量,使不等号的方向得以改 变? 下面请同学们证明:若 0 ? x ?
?
2

,则 s in x ?

x

3

? x 成立。

6

(Ⅱ) 当学生甲的问题完成时,学生乙提问:对于不等式 x ? tan x 是否也有相似的结论? 下面请同学们探讨:若 0 ? x ?
?
2

,是否存在实数 m ,使 x ? m x ? ta n x 恒成立?如果
3

存在,求出 m 的一个值;如果不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?
1? x 1? x e
? ax

( a ? 0 ),讨论 y ? f ? x ? 的单调性;

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?
1 2 ax ? bx (a ? 0) .
2

(Ⅰ) 若 b ? 2 ,且 y ? f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ) 若函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x 0 ,证明:
f '( x 0 ) ? 0



沈阳二中高三(12 届)上学期 10 月月考 数学试题(理科)

一 选择题 ABADA BBDDC BC 二 填空题 13.
8 3

14. ? ? 2

15.

7 2

16. 45

三 解答题 17.解: (Ⅰ)因为
f ( x ) ? 4 s in x c o s ( x ?

?
6

) ? 1 ? 2 s in x (

3 2

cos x ?

1 2

s in x ) ? 1 ? 2 (

3 2

s in 2 x ?

1 2

cos 2 x)

? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

------- ------------------- ---------------------------------------------------4

所以 f ( x ) 的最小正周期为 ? 。----------------------------------------5 (Ⅱ)因为 ?
?
8 ? x ? ?

?
4

,则 ?

?
12

? 2x ?

?
6

?

2? 3

------------------------6

于是,当 2 x ?
?
6

?
6

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x ) 取得最大值 2;--------------------------8
6 ? 2 2

当2x ?

? ?

?
12

,即 x ? ?

?
8

时, f ( x ) 取得最小值

.---------------------10 -----------------1 分

18. (Ⅰ)解:由三角函数的定义,得点 B 的坐标为 ( 2 co s q , 2 sin q ) . 在 V A O B 中,|OB|=2, ? B A O
p 4
2 由正弦定理,得 | O B | = | O A | ,即 =
s in p s in ? B

, ? B

p-

p 4

- q=

3p 4

- q ,

| OA | s in ( 3p 4 - q)



2 2

4

所以 | O A |= 2 2 s in (

3p 4

- q)

.
uur uuu r | O A | 鬃O B | c o s q = 4 |

-------------------------6
2 s in ( 3p 4 - q ) c o s q , --------8

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 O A ?O B
? 4 (c o s ? ? c o s ? sin ? )
2

uur uuu r

? 4 ? ?

1 ? ta n ? 1 ? ta n ?
2

------------------------------------------------12

12 25

19.解:① 4
2

1 ? cos C 2

? 2 cos

?

2

C ?1 ?

?

7 2

-------------------------

4

4 c o s C ? 4 c o sC ? 1 ? 0

cos C ? C ?
2

1 2

,0 ? C ? ?

?
3
1 2

---- ---------------- -----2 2

6

② ? 7 ? ? a ? b ? 2 ab ?
7 ? ? a ? b ? ? 3 ab
2
[来源:学&科&网]

---------------------------- 8

3 ab ? 18 , ab ? 6

------------------------3 2 3 3 2

10

s ?

1 2

ab s i nC ?

1 2

?6?

?

-------------------------- 12
x
2

20.解: (Ⅰ)证明:设 f ( x ) ? s in x ?
x
2

x

3

? x ,则 f '( x ) ? c o s x ?

? 1 …………………1

6

2

设 g ( x ) ? cos x ?
?
2

? 1 ,则 g '( x ) ? ? sin x ? x ? 0

2

故当 0 < x <

时,函数 y ? g ( x ) 单调递增,

且曲线 y ? g ( x ) 在 x ? 0 处连续不断而 g (0 ) ? 0 ,……………………………5 所以, 当 0 < x <
?
2

?
2

时, g ( x ) ? 0, 即 f '( x ) ? 0 .

故当 0 < x <

时,函数 y ? g ( x ) 单调递增,

且曲线 y ? g ( x ) 在 x ? 0 处连续不断而 g (0 ) ? 0 , 所以, 当 0 < x <
?
2

时, f ( x ) ? 0 .即原不等式得证. ……………………………9

(Ⅱ)不存在.解析如下: 设 f ( x ) ? x ? m x ? tan x ,
3

① 若 m ? 0 ,由结论可知, f ( x ) ? 0 ;……………………………10 ② 若 m ? 0 ,当 x 趋近于 不可能 使 x ? m x ? tan x 恒成立.
3

?
2

时, x ? m x 接近于某一个常数,而 tan x 趋近于 ? ? ,
3

综上所述, 不存在实数 m 使 x ? m x ? tan x 恒成立. ……………………12
3

21.解: f ? x ? 的定义域为( ? ? ,1) ? (1, ? ? )

? 1 ? x ? ? ax ?1? x ? ? ax f '? x ? ? ? ? '? ? ??e ? '? e ?1? x ? ?1? x ?

?

2 ? 1 ? x ? ? ax ? ax ? ?a ? ? e ?e 2 ?1? x ? ?1 ? x ? ?
? ax 2

e

? ax 2

?1 ? x ?

? ?ax ? ? 2 ? a ?? ? ?
2

……………………………5
2

因为

e

(1 ? x )

? 0 (其中 x ? 1 )恒成立,所以 f ' ? x ? ? 0 ? a x ? ? 2 ? a ? ? 0

(1)当 0 ? (2)当 a (3)当 a

a? 2

时, f '( x ) ? 0 在( ? ? ,0) ? (1, ? ? )上恒成立,

所以 f ( x ) 在( ? ? ,1) (1, ? ? )上为增函数; ……………………7 ,
? 2

时, f '( x ) ? 0 在( ? ? ,0) ? (0,1) ? (1, ? ? )上恒成立, 时, a x ? ( 2 ? a ) ? 0 的解为: ? ? , ? t ) ? (t,1) ? (1,+ ? ) (
2

所以 f ( x ) 在( ? ? ,1) (1, ? ? )上为增函数;……………9 ,
? 2

(其中 t ?

1?

2 a



所以 f ( x ) 在各区间内的增减性如下表: 区间
f '? x ?

( ?? , ?t ) + 增函数

( ? t ,t)
?

(t,1) + 增函数

(1,+ ? ) + 增函数

的符号

f

? x ? 的单调性

减函数

所以 f ( x ) 在( ? ? , ? t )(t,1)(1,+ ? )上为增函数; , , 在( ? t ,t)上为减函数。…………………………………………………………12 22.解: (I)当 b ? 2 时, f ( x ) ? ln x ? 则 f '( x ) ?
1 x
2

1 2

ax ? 2 x
2

? ax ? 2 ? ?

ax ? 2 x ? 1 x

. …………………………………………2

因为函数 f ( x ) 存在单调递减区间,所以 f '( x ) <0 有解. 又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,若 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则需△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此 时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). ……………………5 (II) 设点 A,B 的坐标分别是(x1, 0)(x2, 0) , ,0<x1<x2. 则点 AB 的中点横坐标为 x 0 ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ln x 2 ? ln x1 ? ? ln x 2 ? ln x1 ?
x1 ? x 2 2 ,

1 2

a ( x 2 ? x1 ) ? b ( x 2 ? x1 )
2 2

?1 ? a ( x 2 ? x1 ) ? b ( x 2 ? x1 ) ? 0 ?2 ? ? ?

则 ln x 2 ? ln x1 ? ? a ( x 2 ? x1 ) ? b ? ( x 2 ? x1 ) …………………………………………7 ?2 ?
f '( x 0 ) ? 1 x0 ? a x0 ? b ? 2 x1 ? x 2 ? a 2 ( x 2 ? x1 ) ? b ? 2 x1 ? x 2 x2 x1 1? x2 x1
2( x2 x1 1? x2 x1
2 ( t ? 1) 1? t

?1

?

?

ln x 2 ? ln x1 x 2 ? x1

?

1 x 2 ? x1

[

2 ( x 2 ? x1 ) x1 ? x 2

2( ? (ln x 2 ? ln x1 )] ? 1 x 2 ? x1 [

? 1) ? ln x2 x1 ]

……………………9

设t ?

x2 x1

? 1) ? ln x2 x1 ?

,则y ?

2 ( t ? 1) 1? t

? ln t , t ? 1 .

令 r (t ) ?

? ln t , t ? 1 . 则 r ? ( t ) ?

4 ( t ? 1)
2

?

1 t

? ?

( t ? 1)

2 2

t ( t ? 1)

.

因为 t ? 1 时, r ? ( t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1, ?? )上单调递减. 故 r ( t ) ? r (1) ? 0 . 而
1 x 2 ? x1 ? 0 . 故 f '( x 0 ) ? 0 …………………………………………12


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