当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学会考知识点总结1

高中数学会考知识点总结1


高中数学知识点复习资料
第一章 集合与简易逻辑
1、 集合 常用数集:自然数集:___ ;正整数集:____;整数集:____ ;有理数集:_____;实数集:_____。 2、子集 A ? B 时,A 有两种情况:A=______与 A≠______ 性质:若 A ? B, B ? C ,则 A___C ;若 A ? B, B ? A 则 A___B ; 3

、真子集 定义:A 是 B 的子集 ,且 B 中___________________________;记作:____________; 4、补集 定义:记作: CU A ? { x | __________ _____} ; 性质: A ? CU A ? ___,A ? CU A ? ___,CU (CU A) ? ___; 5、交集与并集 A B

CU A

A

_____} (1) 、交集: A ? B ? { x | __________
性质:①、 A ? A ? ___, A ? ? ? ___ ②、若 A ? B ? B ,则______ A B

__} (2) 、并集: A ? B ? { x | __________
性质:①、 A ? A ? ___, A ? ? ? ___ ②、若 A ? B ? B ,则______

6、一元二次不等式的解法: (二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系) 判别式:△=b2-4ac y 二次函数

??0
y

??0

??0
y

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 x1

O

x2

x O x1=x2

x O 没有实数根

x

一元二次方程

有两相异实数根

有两相等实数根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

1

一元二次不等式

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集
一元二次不等式

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集
不等式解集的____________是相应方程的解

7、绝对值不等式的解法: ( “>”取_________, “<”取_________) (1) 、当 a ? 0 时, | x |? a 的解集是 {x | x ? ?a, x ? a} , | x |? a 的解集是 {x | ?a ? x ? a} (2) 、当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? ax ? b ? ?c, ax ? b ? c , | ax ? b |? c ? ?c ? ax ? b ? c

8、简易逻辑: (1)逻辑联结词:______、______、______;构成三种形式的命题:p 或 q、p 且 q、非 p; 三种形式的命题(p 或 q、p 且 q、非 p)判断真假的方法: [1]、思路: ① 、确定复合命题的结构, ② 、判断构成复合命题的简单命题的真假, ③ 、利用真值表判断复合命题的真假; [2]、真值表:p 或 q,同假为假,否则为真; p 且 q,同真为真; 非 p,真假相反。 (2) 、四种命题: 原命题:若 p 则 q; 逆命题:__________________; 否命题:____________; 逆否命题:_____________; 互为逆否的两个命题是等价的。 (3) 、充分条件与必要条件: 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充分条件; 若 p ? q ,则 p 叫 q 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 叫 q 的充要条件; 原命题 若p则q 互 互 否 否命题 若? p 则? q 互逆 为逆 为 互 逆 否 逆否命题 若? q 则? p 互逆 否 互 否 逆命题 若q则p

2

第二章 函数
1、函数: (1) 、定义:设 A,B 是非空数集,若按某种确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个数 x, 集合 B 中都有_____________________,就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x) , (2) 、函数的三要素:_________,_________,_________;自变量 x 的取值范围叫函数的_________,函 数值 f(x)的范围叫函数的_________,定义域和值域都要用_________表示; (3) 、函数的表示法常用:_________,_________,_________; (4) 、求值域的一般方法:①、图象观察法: y ? 0.2| x| , y ? x 2 ? 4 x, x ? [1,5) , y ?

? x 2 ? 2x ? 2

②、单调函数:代入求值法: y ? log 2 (3 x ? 1), x ? [ ,3] ③、 “一次”分式: y ?

x 2 ? sin x ,y? 2x ? 1 2 ? sin x

1 3

(5) 、求 f(x)的一般方法: ①、待定系数法:一次函数 f(x) ,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f(x) ②、配凑法: f ( x ? ) ? x ?
2

1 x

1 , 求 f(x) x2

③、换元法: f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x) ④、解方程(方程组) :定义在(-1,0)∪(0,1)的函数 f(x)满足 2 f ( ? x ) ? f ( x ) ?

1 ,求 f(x) x

2、函数的单调性: (1) 、定义:区间 D 上任意两个值 x1 , x 2 ,若__________时有______________,称 f ( x) 为 D 上增函数; 若__________时有________________,称 f ( x) 为 D 上减函数。 (________________一致为增,不同为减) (2) 、区间 D 叫函数 f ( x) 的单调区间,单调区间 ? ____________; (3) 、判断单调性的一般步骤:①、设1 < 2 ,②、作差,③、变形,④、下结论 (4) 、复合函数 y ? f [h( x)] 的单调性:_______________为增,_________________为减;

3、指数及其运算性质: 当 n 为奇数时, n a n ? ____;当 n 为偶数时, n a n ? __________ __ 分数指数幂:正分数指数幂: a
m n

;负分数指数幂: a ? ________
3

?

m n

? ________

4、对数及其运算性质: (1) 、定义:如果 a b ? N (a ? 0, a ? 1) ,数 b 叫以 a 为底 N 的对数,记作____________,其中 a 叫底数, N 叫真数,以 10 为底叫常用对数:记为________,以 e=2.7182828?为底叫自然对数:记为________ (2) 、性质:①:1 的对数等于____:②、底的对数等于____:③、 loga ( MN ) ? __________ ______ ④、 log a

M ? __________ ______ :⑤ loga M n ? __________ __ ⑥ logam n b ? ________ N

5、指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 指数函数 对数函数

图象 (非奇非偶)



定义域 值域



单调性



定 点 图象

y ? a x 的图象与 y ? loga x 的图象关于________________对称



关系

第三章 数列
(一) 、数列: (1) 、递推公式:很多数列是用递推关系来定义的, 如等差数列是用: 如等比数列是用: (2) 、数列前 n 项和公式 Sn 与通项公式 an 的关系: an ? ?
4

n ? 1) ?______( n ? 2) ?______(

(二) 、等差数列 : (1) 、通项公式: an ? __________ ; _ (整理后是关于 n 的____________函数) (2) 、前 n 项和:1. Sn ? __________ 2. Sn ? __________ ____(整理后是关于 n 的没有__________的_______函数) (3) 、等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an、am、au、av 四项的关系为_____________________。

(4) 、等差数列的证明方法: ①、定义法:对于数列 ?an ? ,若_________________ (常数),则数列 ?an ? 是等差数列。 ②、任意连续三项成等差数列:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列。

(5) 、等差数列的性质: 若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k ,_________,_________成等差数列。
*

S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k 如图所示: ? ??? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

(三) 、等比数列: (1) 、通项公式: an ? a1q (2) 、前 n 项和] S n ? ?
n?1

(当 a1 >0 且 q >0 时,可类比于________函数)

,( q ? 1 ) ? _________ _, ( q ? 1) ?__________

(3) 、对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an、am、au、av 四项的关系为____________________

(4) 、等比数列的证明方法: ①、定义法:对于数列 ?an ? ,若________________,则数列 ?an ? 是等比数列。 ②、任意连续三项成等比数列:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an?1 ,则数列 ?an ? 是等比数列。
2

(5) 、等比数列的性质: 若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k ,_________,_________成等比数列。
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k 如图所示: ? ??? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

5

(四) 、求数列前 n 项和公式的方法: ① 、转化法: (2 ? 3 ? 5?1 ) ? (2 ? 3 ? 5?2 ) ? ? ? (2 ? 3 ? 5?n ) ?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n?1 n ?
1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 8 15 ( n ? 2 )n

② 、裂项相消法:

③ 、错位相减法: “差比之积”的数列: = 22 ,求前 n 项和.



(五) 、求数列通项公式的方法: ① 、迭加法:a1=3, an+1-an = 2 +

② 、迭乘法:a1=2,

a n ?1 1 ? n an 2

③ 、已知前 n 项和公式 S n 和通项 an 之间的递推关系时,怎么办? 已知数列 ,? ∈ ?,都有 = 5 + 1,求数列 的通项公式.

第四章 三角函数
1、弧度制: 1 弧度 ? _______
?

弧长公式: l ? ________ ( ? 是角的弧度数) 扇形面积: S ? _________ 2、三角函数 (1) 、定义: (如图) (2) 、各象限的符号: y y y

sin ? ? ___     tan ? ? ___    cos ? ? ___
O

x

O

x

O

x

sin ?
6

cos?

tan ?

(3) 、 特殊角的三角函数值

? 的角度 ? 的弧度

0? 0

30 ?

45 ?

60 ?

90 ?

120 ?

135 ?

150 ?

180 ?

270 ?

360 ? 2?

?
6

?
4

?
3

?
2

2? 3

3? 4

5? 6

?

3? 2

sin ?

cos?

tan ?

3、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系: (2)商数关系:

(3)同角三角函数的常见变形: (活用“1” ) ①、 sin
2

? ? 1 ? cos2 ? , sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ; cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? , cos? ? ? 1 ? sin2 ? ;
1 ? __________ __________ , tan ?
2

② tan ? ?

③ (sin ? ? cos ? ) ? __________ , __________ 4、诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)

1 ? sin 2? ? __________ ____|

cos(? ? k ? 360?) ? cos?  tan( ? ? k ? 360?) ? tan? 公式一: sin(? ? k ? 360?) ? sin ?  
公式二: 公式三: 公式四: 公式五:

sin(180 ? ? ? ) ? cos(180 ? ? ? ) ? tan(180 ? ? ? ) ?
? ??) ? 2 ? cos( ? ? ) ? 2 ? tan( ? ? ) ? 2 sin(

sin(180 ? ? ? ) ? cos(180 ? ? ? ) ? tan(180 ? ? ? ) ?
? ? ?) ? 2 ? cos( ? ? ) ? 2 ? tan( ? ? ) ? 2 sin(
7

sin( ?? ) ? cos( ?? ) ? tan(?? ) ?
3? ??) ? 2 3? cos( ? ? ) ? 2 3? tan( ? ? ) ? 2 sin(

sin( 360 ? ? ? ) ?    cos( 360 ? ? ? ) ?    tan(360 ? ? ? ) ?
3? ??) ? 2 3? cos( ? ? ) ? 2 3? tan( ? ? ) ? 2 sin(

5、两角和与差的正弦、余弦、正切

______ S(? ?? ) : sin( ? ? ? ) ? __________

______ S(? ?? ) : sin( ? ? ? ) ? __________

________ C(? ?? ) : cos( a ? ? ) ? __________ ______ C(? ?? ) : cos( a ? ? ) ? __________

T(? ?? ) : tan(? ? ? ) ? __________ _____

T(? ? ? ) : tan(? ? ? ) ? __________ ___

____ T(? ?? ) 的整式形式为: tan ? ? tan? ? tan(? ? ? ) ? __________
例:若 A ? B ? 45 ? ,则 ( 1 ? tan A )(1 ? tan B ) ? ______.

6、辅助角公式: sin x ? cos x ?

3 sin x ? cos x ? 3 cos x - sin x ?

cos x - sin x ?

3 sin x - 3 cos x ?
7、二倍角公式: (1) 、 S 2? :

1 3 cos x sin x ? 4 4
sin 2? ? _________
(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

C 2? :

cos 2? ? __________ _

sin ? cos ? ?

1 _________ 2

? _________ ? __________ _
T2? :

sin2 ? ? __________ ____

t a2? n ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ cos2 ? ? __________ ____
; 1 ? cos2? ? ________

(3) 、二倍角公式的常用变形:①、 1 ? cos2? ? _________ ,
4 4 4 4

②、 sin ? ? cos ? ? __________ _______, cos ? ? sin ? ? __________

9、三角函数的图象性质 (1) 、函数的奇偶性: ①、定义:对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,若都有:____________,则称 f(x)是奇函数, 若都有:________________,则称 f(x)是偶函数 ②、奇函数的图象关于________对称,偶函数的图象关于________对称; ③、奇函数,偶函数的定义域关于________对称;

8

(2) 、正弦、余弦、正切函数的性质( k ? Z ) 函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间

y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x

y ? sin x 图象的五个关键点:__________,__________,__________,__________,__________;

y ? cos x 图象的五个关键点:__________,__________,__________,__________,__________;

y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期 T ? _________ ; y ? A tan( ?x ? ? ) 的周期 T ? _________ ;

10、三角函数求值域 (1)一次函数型: y ? A sin x ? B , 例:① y ? ?2 sin( 3 x ?

? ) ? 5 ,x ∈ 0, ,② y ? sin x cos x , x ∈ ? , 3 6 3 6

(2)二次函数型: y ? sin x ? cos 2 x , x ∈ 0, 3



11、解三角形:

__________ (1)三角形的面积公式: S? ? __________
(2)在△ ABC 中: A ? B ? C ? 180 ? ,

sin( A ? B ) ? _____,

cos( A ? B ) ? _____, tan( A ? B ) ? ____
9

sin(

A? B A? B ) ? _____ , cos( ) ? ______ , 2 2 a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

tan(

A? B ) ? _______ 2

(3)正弦定理,余弦定理 ①正弦定理:

边用角表示: a ? 2R sin A, b ? _______ , c ? ________

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
②余弦定理: b ? a ? c ? 2ac ? cos B
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC) a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab
应用:若分别有: a ? b ? c ? ? 2ab ,则分别可得到结论:
2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 3ab

第五章、平面向量
1、空间向量: (1)单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量;与向量 a 平行的单位向量: e ? _______ ; (2)平行向量:方向__________的非零向量叫平行(共线)向量,记作 a // b ;规定 0 与任何向量______; 2、向量的运算: (1) 、向量的加减法: 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 向量的减法

a b b b

b a a?b b a
首位连结

a

b

a?b a

a

a ?b

指向被减数

(2) 、数乘(实数与向量的积) : ①、定义:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a ; ②:它的长度: | ?a |? __________ __ ; ③:它的方向:当 ? ? 0 , ? a 与向量 a 的方向_______;当 ? ? 0 , ? a 与向量 a 的方向_______. 3、平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个_________的向量,那么对平面内的任一向量 a ,
10

有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? __________ ___; _____________的向量 e1 , e2 叫这个平面内所有向量的一组基向量,{ e1 , e2 }叫___________。 4、平面向量的坐标运算:

? ________ (1)坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?________,

?

?

?

?

?. ________ 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 AB ? ?________,
__ , (3)实数与向量的积的运算律: 设 a ? ?x, y ? ,则λ a ? __________
(4)平面向量的数量积:
? ?

?

_ ? __________ _ , 0? a ? 0 ; | a |2 ? a ? a ? x 2 ? y 2 . ①、 定义: a ? b ? __________
①、平面向量的数量积的几何意义:向量 a 的模| a |与____在_____的方向上的投影__________的乘积; ③、 a ? b ? __________ _ ? __________

? ?

? ?

_____? __________ ___ , ④、设 ? 是向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? 的夹角,则 cos ? ? __________
5、重要结论: (1) 、两个向量平行的充要条件: a // b ? _________ (? ? R) 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a// b ? ______________
? ?
? ?

?

?

?

?

__ (2) 、两个非零向量垂直的充要条件: a ? b ? __________
?

?

?



a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? __________ __

?

?

?

(3) 、两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 的距离: | AB |? __________ _________

第六章:直线和圆的方程 1、倾斜角和斜率: (1)倾斜角: 范围: ? ? ________ (2)斜率: k ? _______ , k ? (??,??) (3)直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ,则斜率为 k ? ______ 2、直线方程:直线方程的五种形式 (1) 、点斜式:____________________; (2) 、斜截式:____________________;

o

? 2
tanα

?

(3) 、截距式:__________________(截距是直线与坐标轴的___________,可正可负可为零)

11

(4) 、一般式:__________________ 3、两直线的位置关系 (1)平行: l1 // l2 ? __________ ____

斜率 k ? ?

A C , y 轴截距为 ? B B

A1 B C ? 1 ? 1 A2 B2 C2

? l1 // l 2 ;

垂直: l1 ? l2 ? __________ ___

__________ __ ? l1 ? l2 ;

(2)使用公式的准备工作 点到直线的距离公式 d ? __________ _____(直线方程必须化为一般式)

两平行线间的距离公式: d ? __________ _ (即一条直线上任一点到另一条直线的距离)

4、圆的方程: (1)圆的标准方程 _____________________,圆心为 C (a, b) ,半径为 r

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4 1 当_________________时,表示一个以__________为圆心,半径为 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆 2
(2)圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (配方: ( x ?

(3)圆的参数方程为 ______________ (____为参数) ,圆心在原点时:__________(____为参数) (参数方程的实质是曲线上点的横、纵坐标) (4)直线与圆位置关系:已知直线 Ax ? By ? C ? 0 和圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

使用圆心到直线的距离 d 与 r 比较,相离 d ? r ,相切 d ? r ,相交 d ? r ;

(5)求圆的切线方程:设点斜式,用圆心到切线的距离等于半径,求斜率; ①、过圆 x ? y ? r 上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线只有一条,方程为: x0 x ? y0 y ? r
2 2 2

2

②、过圆外一点的切线一定有______条; (若只解出一个斜率,另一条没有斜率,切线方程为:______) ③、斜率为已知的某定值的切线一定有_______条(如图) 。

12

第七章:圆锥曲线 1、 圆锥曲线的定义、标准方程、图象、几何性质 曲线 第一定义 椭圆 双曲线 抛物线

横 标准方程 竖

y
图象

y
x

y

F
1

0 F
2

F
1

0

F
2

x

0

F

x

圆锥曲线的几何性质 曲线 图象
F1

椭圆
y 0 F x

双曲线
y
F1

抛物线
y

2

0

F2 x

0

F

x

焦点 顶点 对称轴 离心率 准线 渐近线

(?c,0), c ? a 2 ? b 2 (?c,0), c ? a 2 ? b 2

(

(? a,0), (0,?b)
x轴,y轴
e? c ? (0,1) a
x??

(? a,0)
e?
a2 c

(0,0)

p ,0) 2

x轴
c ? (1,??) a
b x a

e ?1
x?? p 2

y ??
13

由双曲线求渐进线:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ?0? a 2 b2 a 2 b2

2、求离心率 e :方法一:用 e 的定义 e ? 3、直线和圆锥曲线的位置关系:

c c ;法二:得到与 a、b、c 有关的方程,解方程,求 ; a a

(1) 、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法(基本思路)

?直线方程 →消元→一元二次方程→判别式 Δ 联立? ?圆锥曲线方程 (方程的思想)
(2) 、求弦长的方法: ①求交点,利用两点间距离公式求弦长; ②弦长公式

l? ?

1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1? 1 | y1 ? y 2 |? k2

(1 ? k 2 )[(x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]  (消y) (1 ? 1 )[(y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ]    (消x) 2 k

(3) 、与弦的中点有关的问题常用“点差法” : 把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程,作差→弦的斜率与中点的关系; (弦的中点与弦的斜率可以相互表示) (4) 、与抛物线只有一个交点的直线:一相切,二与对称轴平行 4、圆锥曲线的最值问题: (1) 、结合曲线上的点的坐标,利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值; 在 y ? 2 px 上的点常设 (
2

y2 x2 , y) ,在 x 2 ? 2 py 上的点常设 ( x, ) 2p 2p

(2) 、利用数形结合求最值;基本思路:与直线平行,与曲线相切. (椭圆中,长轴是最长的弦;双曲线中,实轴是最短的弦。 )

第八章 直线 平面 简单的几何体 1、 平面的性质:

?

A

l

B

公理 1:如果有一条直线的________在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么________________________________________ 公理 3:________________的三点确定一个平面。

a P
2、 两条直线的位置关系:平行,相交,异面 ________________________的两条直线叫异面直线
14

?

?

空间平行直线:公理 4:____________________________ α

a A a∩α =A a α a//α

3、直线与平面的位置关系: 直线在平面内.记作__________ 直线在平面外

直线与平面_____,记作 a∩α =A 直线与平面_____,记作_________

4、直线与平面平行: 定义:直线和平面没有公共点。 (1) 、判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. (线线平行 ? 线面平行)

l ? ? , m ? ? , 且l // m ? l // ?

(2) 、性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 这条直线和交线平行. (线面平行 ? 线线平行) l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m 5、两个平面平行:定义:两个平面没有公共点。 (1) 、判定定理:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面, 那么这两个平面平行。 (线面平行 ? 面面平行) β α l m

推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行。 (2) 、 性质定理: ①两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线平行。 (面面平行 ? 线线平行) ②两个平面平行,其中一个平面内的直线,平行于另一个平面; (面面平行 ? 线面平行) ③夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。 平行间的相互转化关系:线线平行 线面平行 面面平行

6、直线和平面垂直:定义:如果一条直线和一个平面相交,且和这个平面内的任意一条直线都垂直,叫 直线和平面垂直。 (常用于证明线线垂直:线面垂直 ? 线线垂直) (1) 、判定定理:一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则直线和这个平面垂直。 (线线垂直 ? 线面垂直) (2) 、性质定理:①过一点和已知平面垂直的直线只有一条,过一点和已知直线垂直的平面只有一条。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面。 ③线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。 (3)正射影:自一点 P 向平面 ? 引垂线,垂足 P 叫点 P 在 ? 内的正射影(简称射影)


斜线在平面内的射影: 过斜线上斜足外一点, 作平面的垂线, 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影。 (4)三垂线定理:在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线垂直。 逆定理:在平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,则它和这条斜线的射影垂直。 P
15

?
a A D E A

O a

?

B

7、两个平面垂直:定义:平面角是直角的二面角叫直二面角,相交成直二面角的两个平面垂直。 (1) 、 判定定理: 一个平面过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直。 (线面垂直 ? 面面垂直) (2) 、性质定理:两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,垂直于另一个平面。 (面面垂直 ? 线面垂直) 垂直间的相互转化关系:线线垂直 线面垂直 面面垂直

8、空间向量:在空间具有大小和方向的量,空间任意两个向量都可用同一平面内的有向线段表示。 (1) 、共线向量定理:空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ) , a // b ? a ? ? b ( ? ? R ) 空间直线的向量参数表达式(P 在面 MAB 内的充要条件) : P

OP ? OA ? t a 或 OP ? OA ? t AB ? (1 ? t )OA ? tOB
当t ?

B

a
A

( a 叫直线 AB 的方向向量) O

1 1 时,点 P 是线段 AB 的中点,则 OP ? (OA ? OB ) 2 2

(2) 、共面向量定理:两个向量 a , b 不共线,则向量 p 与 a , b 共面 ? p ? xa ? yb ( x, y ? R ) 平面的向量表达式(P 在面 MAB 内的充要条件) : MP ? xMA ? y MB 或 OP ? OM ? xMA ? y MB O 为空间任一点,当 OP ? xOA ? yOB ? zOC 且 x ? y ? z ? 1 时,P、A、B、C 四点共面。 (3) 、空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个的唯一有 序实数组 x,y,z,使 p ? xa ? yb ? zc , { a , b , c }叫基底, a 、 b 、 c 叫基向量。 如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么空间向量组成的集合为 { p | p ? xa ? yb ? zc,  x , y, z ? R} 。 (4) 、两个向量的数量积: a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? ,向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a 向量 a 在单位向量 e 方向的正射影是一个向量,即 a ? e ?| a | cos ? a, e ? , a ? b ? a ? b ? 0 (5) 、 共线向量或平行向量:所在的直线平行或重合的向量; 直线的方向向量:和直线平行的向量; 共面向量:平行于同一平面的向量; 平面的法向量:和平面垂直的向量。 z

法向量的求法:设是 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) 平行于平面的两个不共线向量,

? ?a ? n ? 0 。 n ? ( x, y, z) 是平面的法向量,则: ? ? b ? n ? 0 ?
9、 空间直角坐标系:单位正交基底常用 {i, j, k} 来表示。 (如图)
16

y x

i ? (1,0,0) j ? (0,1,0) k ? (0,0,1)其中: i ? 1 , j ? 1 , k ? 1 , i ? j ? 0 , i ? k ? 0 ,

2

2

2

j ? k ? 0,
1、空间向量的坐标运算:设 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则 (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2) a ? b ? ((a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3) ? a ? ? ? (a1 , a2 , a3 ) ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ) ( ? ? R ) ; (4) a ∥ b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (即

a1 a 2 a3 ; ? ? ??) b1 b2 b3

(5) a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0 . (6) a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ;∵

a · b =| a || b |cos< a , b >

2 2 2 2 2 2 ∴ a · b = a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 = a1 ? a 2 ? a3 · b1 ? b2 ? b3 ·cos< a , b >

由此可以得出:两个向量的夹角公式 cos< a , b >=

a1b1 ? a 2 b2 ? a3 b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 同向;当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 反向;当 cos<a、b>=0 时,a⊥b. 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z 2 ) , AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) A、B 两点间的距离公式: d A、B ? A、 B 中点 M 坐标公式: OM ? 10、角 (1) 、等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相同。 (2) 、最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的 角中最小的.公式: cos? ? cos?1 ? cos? 2 ; (3) 、角的范围: ①、异面直线所成的角的范围: 0 ? ? ? 两条直线所成的角的范围: 0 ? ? ?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

1 x ? x 2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 (OA ? OB ) = ( 1 , , ) 2 2 2 2

?

O

?

2

2

两个向量所成的角的范围: 0 ? ? ? ? ②、斜线与平面所成的角的范围: 0 ? ? ?

?
2
17

?1 ? A ?2

B C

?

直线与平面所成的角的范围: 0 ? ? ? ③、二面角的范围: 0 ? ? ? ? (4) 、定义及求法:

?
2

①、异面直线所成的角:已知两条异面直线 a 、 b ,经过空间任一点 O 作 a ' ∥ a , b ' ∥ b , a ' 与 b ' 所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) .范围: ? ? (0,

?
2

].

求法一:作平行线;求法二: (向量)两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。 ②、 斜线和平面所成的角: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角; 斜线和平面不垂直, 不平行。 如果直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是 0 的角。 求法一:公式 cos? ? cos?1 ? cos? 2 ;求法二:解直角三角形,斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形; 求法三:向量法:已知 PA 为平面?的一条斜线,n 为平面?的一个法向量,过 P 作平面?的垂线 PO,连结 OA 则?PAO 为斜线 PA 和平面?所成的角为?,则


?
P n O B O ? A O ’ B ’ A A ’

sin ? ?| sin(

?
2

? ? OP , AP ?) |
| n ? PA | | n || PA |
?

?| cos ? OP, AP ?|?| cos ? n, AP ?|?

?

③、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角,直线叫二面角的棱; 二面角的平面角:垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线所成的角。 求法一:几何法:一作二证三计算.利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角,再解直角三角形; 求法一:向量法:二面角的两个半平面的法向量所成的角(或其补角) n1 和 n2 分别为平面?和?的法向量,记二面角 ? ? l ? ? 的大小为?, 则?

?
A

?? n1 , n2 ? 或 ? ? ? ? ? n1 , n2 ? (依据两平面法向量的方向而定)
n

总有 | cos?

|?| cos ? n1 , n2 ?| =

| n1 ? n2 | | n1 || n2 |


O n2

A



B

?

1

若该二面角为锐二面角 则 ?

| n ?n | ? arccos 1 2 | n1 || n 2 |

?
l

?

?

A A


若二面角 ? ? l ? ? 为钝二面角则 ? 11、距离(满足最小值原理)

? ? ? arccos | n1 || n2 |
n P

| n1 ? n2 |

O

B

?

(1) 、点到平面的距离:一点到它在平面内的正射影的距离;
18

?

O

? A

求法一:解直角三角形;求法二:等积法,利用体积相等; 求法三:向量法:如图点 P 为平面外一点,点 A 为平面内的任一点, 平面的法向量为 n,过点 P 作平面?的垂线 PO,记 PA 和平面?所成的角为?, 则点 P 到平面的距离 d

?| PO |?| PA | sin ? ?| PA |

| n ? PA | | n ? PA | ? | n || PA | |n|

(2) 、 直线到平行平面的距离: 直线上任一点到与它平行的平面的距离; 求法: 转化为点到平面的距离求。 (3) 、两个平行平面的距离:两个平行平面的共垂线段的长度;求法:转化为点到平面的距离来求。 (4) 、异面直线的距离:两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分; (公垂线是唯一的,必须垂直相 交) 求法一:解直角三角形;求法二:异面直线上任意两点的距离公式: l ? d ? m ? n ? 2mncos?
2 2 2 2

求法三:向量法:先求两条异面直线的一个公共法向量,再求两条异面直线上两点的连线在公共法向量上

的射影长。设 E、F 分别是两异面直线上的点, n 是公共法向量,则异面直线之间的距离 d ? 第十章 排列 组合 二项式定理 1、计数原理:分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? 分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ?

EF ? n n

? mn .(每步都能完成) ? mn . (多步才能完成)

2、 排列: (1)定义:从 n 个不同元素中取出 m(n≤m)个元素,按照一定的顺序排成一列,与顺序有关。 (2) 、排列数公式: An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =
m

n! .( n , m ∈N*,且 m ? n ). (n ? m)!
n n n?1

(3) 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列; An ? n!; An ? nAn?1

; nAn ? An?1 ? An
n

n?1

n

(4) 、价乘:正整数 1 到 n 的连乘积; n!? n(n ? 1)(n ? 2) ? ?? 3 ? 2 ? 1 ? n ? (n ? 1)! ;0!=1 3、组合: (1)定义:从 n 个不同元素中取出 m(n≤m)个元素,并成一组,与顺序无关; (组合完成了排列的第一步: An ( 2) 、组合数公式: C n =
m
m m m 。 ? Cn ? Am )

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! 0 * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ); Cn ? 1; m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
m n?m

(3)组合数的两个性质: C n = C n

; C n + Cn
n 0 n

m

m?1

= Cn?1 ;例如 Cr ? Cr ?1 ? Cr ?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 .
m

r

r

r

r

r ?1

4、二项式定理 : (1) 、定理: (a ? b) ? Cn a ? Cn a
1
1 2

n?1

2 n ?2 2 r n ?r r n n b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;
n

例: (1 ? x) n ? 1 ? Cn x ? Cn x 2 ? ? ? Cn x r ? ? ? Cn x n ;熟练公式的顺用和逆用。 (2) 、二项展开式的通项公式(第 r+1 项) : Tr ?1 ? Cn a
r n ?r

r

1, 2?,n) ,处理常数项等有关的问 b r (r ? 0,

19

题。 (3) 、二项式系数:①、定义:二项展开式中的系数 Cn (r ? 0,1,2,?, n) 叫二项式系数; ②、性质:对称性:Cn
m

r

=Cnn-m; ,直线 r ? 是函数 f (r ) ? Cn r (r ? 0,1,2,?, n) 的对称轴;
n n ?1 2

n 2

增减性与最大值: (当 n 为偶数时,中间一项最大:C n 2 ;当 n 为奇数时,中间两项最大:C n

? Cn

n ?1 2 )

各二项式系数和: Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+?+Cnr+?+Cnn=2n (表示含 n 个元素的集合的所有子集的个数) 。
奇数项二项式系数的和=偶数项二项式系数的和:Cn +Cn +Cn + Cn +?=Cn +Cn +Cn + Cn +?=2
n 2 3 n
0 2 4 6 1 3 5 7 n -1

(4) 、 多项式各项系数 (赋值法) :f ( x) ? (ax ? b) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ? ? an x , 则 a0 ? f (0) , 各项系数和: a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? f (1) ,另外 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? (?1) an ? f (?1)
n

偶数项系数和: a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ?

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ,奇数项系数和: a1 ? a3 ? a 5 ? ? ? 2 2

第十一章:概率: 1、概率(范围) :必然事件: P(A)=1,不可能事件: P(A)=0,随机事件: 0<P(A)<1。 2、等可能性事件的概率: P ( A) ?

m . n

3、互斥事件有一个发生的概率:互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B).

n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An).
“ 至 少 有 一 个 发 生 ”: P( AB ? AB ? AB) ? 1 ? P( AB) , “ 至 多 有 一 个 发 生 ”

事件 A、 B 不可能同时发生, 但 A、 B 中必然有一个发生; 即 A、 P( AB ? AB ? AB) ? 1 ? P( AB) 对立事件: B 对立:P(A)+ P(B)=1 4、独立事件同时发生的概率:独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P n (k ) ? Cn P (1 ? P)
k k n ?k

.

20


更多相关文档:

高中数学会考复习知识点汇总

高中数学会考复习知识点汇总_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学会考复习知识点汇总第一章 集合与简易逻辑 1、子集: 如果集合 A 的任意一个元素都是集合...

2014高中数学会考知识点总结

2014高中数学会考知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学会考知识点总结第一章 集合与简易逻辑 第二章 函数 1、含 n 个元素的集合的所有子集有 2 个 ?...

高中数学会考复习知识点汇总

高中数学会考复习知识点汇总_数学_高中教育_教育专区。高中数学会考知识点汇总 2016 年高中数学会考复习知识点汇总第一章 集合与简易逻辑 1、含 n 个元素的集合的...

高中数学会考知识点总结

高中数学会考知识点总结_数学_高中教育_教育专区。数学复习要点 1 数学学业水平复习提纲第一章 集合与简易逻辑 1、 集合 (1) 、定义:某些指定的对象集在一起叫...

高中数学会考知识点总结_(超级经典)

高中数学会考知识点总结_(超级经典)_数学_高中教育_教育专区。数学学业水平复习知识点第一章 集合与简易逻辑 1、 集合 (1)、定义:某些指定的对象集在一起叫集合...

高中数学会考复习知识点汇总

高中数学会考复习知识点汇总_数学_高中教育_教育专区。2、对数:①:负数和零没有对数,②、1 的对数等于 0: loga 1 ? 0 ,③、底的对数等于 1: loga a ? ...

高中数学会考复习必背知识点

高中数学会考复习必背知识点_数学_高中教育_教育专区。高中数学会考复习必背知识点 高中数学会考复习必背知识点章 集合与简易逻辑 1、含 n 个元素的集合的...

高中数学会考知识点总结

高中数学会考知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学会考知识点...公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个...

2015年高中数学会考复习必背知识点

2015 年高中数学会考复习必背知识点章 集合与简易逻辑 第二章 函数 的定义域; 2、对数:①:负数和零没有对数,②、1 的对数等于 0: loga 1 ? 0 ,...

高中数学会考复习必背知识点

高中数学会考复习必背知识点_数学_高中教育_教育专区。2010 年高中数学会考复习必背知识点章 集合与简易逻辑 1、含 n 个元素的集合的所有子集有 2 个 第...
更多相关标签:
高中数学会考知识点 | 高中会考知识点总结 | 高中数学知识点总结 | 高中数学知识点全总结 | 初高中数学知识点总结 | 高中数学知识点总结图 | 高中数学圆知识点总结 | 高中地理会考知识点 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com