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2015解步步高大一轮讲义(理)8.1


§ 8.1

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

1. 空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形. 多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到, 其上、 下底面是相似多 边形. (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. 旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、 下底中 点连线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2. 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与 平面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 3. 空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用斜二测画法,基本步骤: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对 应的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45° (或 135° ). (2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于 x′轴、y′轴. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段,长度变

为原来的一半. (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′平面,已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变. 4. 柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 V =Sh 1 V = Sh 3 1 V = (S 上+S 下+ 3 S上S下 )h 球 S=4πR 2 4 V = πR 3 3 表面积 体积

台体(棱台和圆台)

S 表面积=S 侧 +S 上+S 下

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( ( × × ) )

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A =90° , 则在直观图中,∠A =45° . (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同. (5)圆柱的侧面展开图是矩形. (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算. 2.(2013· 四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( ( ( ( ( × × √ √ ) ) ) ) )

答案 解析

D 由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选 D.

3.(2013· 课标全国Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接 触水面时测得水深为 6 cm, 如果不计容器的厚度, 则球的体积为( A. C. 500π cm3 3 1 372π cm3 3 A 作出该球轴截面的图象如图所示,依题意 BE =2,AE =CE =4, B. 866π cm3 3 2 048π cm3 3 )

D.

答案 解析

设 DE =x,故 AD=2+x,因为 AD2 =AE2 +DE 2 ,解得 x=3,故该球 的半径 AD=5, 4 500π 所以 V = πR 3 = . 3 3 4. 一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形,原三角形的面积为________. 答案 解析 6 2 由斜二测画法,知直观图是边长为 1 的正三角形,其原图是一个底为 1,高为 6的 6 . 2

三角形,所以原三角形的面积为

5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为________. 答案 解析 3 π 3 侧面展开图扇形的半径为 2,圆锥底面半径为 1,

∴h= 22 -1= 3, 1 3 ∴V = π×1× 3= π. 3 3

题型一 例1

空间几何体的结构特征 (1)下列说法正确的是 ( )

A. 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;

②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

思维启迪 从多面体、旋转体的定义入手,可以借助实例或几何模型理解几何体的结构特征. 答案 解析 (1)B (2)A (1)A 错,如图 1;B 正确,如图 2,其中底面 ABCD 是矩形,可证明∠PAB ,∠PCB

都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C 错,如图 3;D 错,由棱台的定义知,其侧 棱必相交于同一点.

(2)①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三 角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图 1 所示;③不一定, 当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图 2 所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平 行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

思维升华

(1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱.

(2)既然棱台是由棱锥定义的,所以在解决棱台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略. (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转得到,还要看旋转轴是哪条直线. 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A ,B ,C 是展 开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC 的值为 A.30° C.60° 答案 C B.45° D.90° ( )

解析

还原正方体,如图所示,连接 AB ,BC,AC,可得△ABC 是正三

角形,则∠ABC=60° . 题型二 例2 空间几何体的三视图和直观图 1 (1)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何 2 ( )

体的俯视图可以是

(2)正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直角坐标系 xOy,则它 的直观图的面积是________. 思维启迪 1 (1)由正视图和侧视图可知该几何体的高是 1, 由体积是 可 2

求出底面积. 由底面积的大小可判断其俯视图是哪一个. (2)按照直观图画法规则确定平面图形和其直观图面积的关系. 答案 解析 (1)C (2) 6 2 a 16

1 (1)由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体, 且其高为 1, 由其体积是 可 2

1 π 1 知该几何体的底面积是 ,由图知 A 的面积是 1,B 的面积是 ,C 的面积是 ,D 的面积是 2 4 2 π ,故选 C. 4 (2)画出坐标系 x′O′y′,作出△OAB 的直观图 O′A ′B ′(如 图). D′为 O′A ′的中点. 1 易知 D′B ′= DB (D 为 OA 的中点), 2 1 2 2 3 6 ∴S△O ′A ′B ′= × S△OAB = × a2 = a2 . 2 2 4 4 16 思维升华 (1)三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视

图一样宽. 即“长对正,宽相等,高平齐”. (2)解决有关“斜二测画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用图形中 原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键 线段长度的关系. (1)(2013· 湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该

正方体的正视图的面积不可能等于 A.1 B. 2 C. 2-1 2 D. 2+1 2

(

)

(2)如图,矩形 O′A ′B ′C′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中 O′A ′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是 A. 正方形 C. 菱形 答案 解析 (1)C (2)C (1)由俯视图知正方体的底面水平放置,其正视图为矩形,以正方体的高为一边长, 2-1 . 2 B. 矩形 D. 一般的平行四边形 ( )

另一边长最小为 1,最大为 2,面积范围应为[1, 2],不可能等于 (2)如图,在原图形 OABC 中, 应有 OD=2O′D′=2×2 2 =4 2 cm, CD=C′D′=2 cm. ∴OC= OD +CD
2 2

= ?4 2?2 +22 =6 cm, ∴OA =OC, 故四边形 OABC 是菱形. 题型三 例3 空间几何体的表面积与体积 (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

(2)已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成,俯 视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得几何体的体积为 ( )

A. C.

2π 1 + 3 2 2π 1 + 6 6

B.

4π 1 + 3 6 2π 1 + 3 2

D.

思维启迪 答案 解析

先由三视图确定几何体的构成及度量,然后求表面积或体积.

(1)C (2)C (1)由三视图知该几何体的直观图如图所示, 该几何体的下底面是

边长为 4 的正方形;上底面是长为 4、宽为 2 的矩形;两个梯形侧面垂 直于底面,上底长为 2,下底长为 4,高为 4;另两个侧面是矩形,宽为 1 2 2 2 4,长为 4 +1 = 17. 所以 S 表 =4 +2×4+ ×(2+4)×4×2+4× 17×2=48+8 17. 2 (2)由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体,如 图,其中 AP ,AB ,AC 两两垂直,且 AP =AB =AC=1,故 AP ⊥平 1 1 1 面 ABC,S△ABC= AB ×AC= ,所以三棱锥 P -ABC 的体积 V 1 = 2 2 3 1 1 1 ×S△ABC×AP = × ×1= ,又 Rt△ABC 是半球底面的内接三角形, 3 2 6 所以球的直径 2R =BC= 2,解得 R = 2 1 4π 23 2π ,所以半球的体积 V 2 = × ×( ) = ,故 2 2 3 2 6

1 2π 所求几何体的体积 V =V1 +V 2 = + . 6 6 思维升华 解决此类问题需先由三视图确定几何体的结构特征,判断是否为组合体,由哪

些简单几何体构成,并准确判断这些几何体之间的关系,将其切割为一些简单的几何体, 再求出各个简单几何体的体积,最后求出组合体的体积. (2012· 课标全国)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是 边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 A. 2 6 A 由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△ABC,O 是 SC 的中点,因此三 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 ( )

答案 解析

棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高的 2 倍,

所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍.

在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示, S△ABC= 3 3 2 ×AB = , 4 4 6 12 -? 3 ?2 = , ?3 ? 3

高 OD=

1 3 6 2 ∴V S -ABC=2V O- ABC=2× × × = . 3 4 3 6

转化思想在立体几何计算中的应用

典例:(12 分)如图,在直棱柱 ABC—A ′B ′C′中,底面是边长为 3 的 等边三角形,AA ′=4,M 为 AA ′的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′到 M 的最短路线长为 29,设这条最短路线 与 CC′的交点为 N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长; (3)三棱锥 C—MNP 的体积. 思维启迪 (1)侧面展开图从哪里剪开展平;(2)MN+NP 最短在展开图上呈现怎样的形式;

(3)三棱锥以谁做底好. 规范解答 解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形, 故对角线长为 42 +92 = 97. [2 分] (2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB ′展开,如下图,设 PC=x,则 MP 2 =MA 2 +(AC+x)2 .

∵MP = 29,MA =2,AC=3, ∴x=2,即 PC=2. PC NC 2 NC 又 NC∥AM,故 = ,即 = . PA AM 5 2

4 ∴NC= . [8 分] 5 1 1 4 4 (3)S△PCN= ×CP ×CN= ×2× = . 2 2 5 5 在三棱锥 M—PCN 中,M 到面 PCN 的距离, 即 h= 3 3 3 ×3= . 2 2

1 ∴V C—MNP =V M —PCN= · h· S△PCN 3 1 3 3 4 2 3 = × × = . 3 2 5 5 温馨提醒 [12 分]

(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”,即将空间几何体

的“面”展开后铺在一个平面上,将问题转化为平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体,则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中 某条棱或者两个面的交线展开,把不在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开,把曲面上的问题转化为平面上的问题. (3)本题的易错点是, 不知道从哪条侧棱剪开展平, 不能正确地画出侧面展开图. 缺乏空间图 形向平面图形的转化意识.

方法与技巧 1. 棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决. 2. 旋转体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状. 3. 三视图画法:(1)实虚线的画法:分界线和可见轮廓线用实线,看不见的轮廓线用虚线; (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”. 4. 直观图画法:平行性、长度两个要素. 5. 求几何体的体积,要注意分割与补形. 将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的 几何体求解. 6. 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接. 解题时要认真分析图形,明确切点和接 点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点 为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均 在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径. 失误与防范 1. 台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 2. 注意空间几何体的不同放置对三视图的影响.

3. 几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系.

A组

专项基础训练

(时间:40 分钟) 一、选择题 1. 五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个 五棱柱对角线的条数共有 A.20 答案 解析 D 如图,在五棱柱 ABCDE -A 1B 1 C1 D1 E 1 中,从顶点 A 出发的对 B.15 C.12 D.10 ( )

角线有两条:AC1 ,AD1 ,同理从 B ,C,D,E 点出发的对角线均有两 条,共 2×5=10(条). 2.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个 几何体不可以是 A. 球 C. 正方体 答案 解析 D 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小,分析可得. B. 三棱锥 D. 圆柱 ( )

球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等,首先排除选项 A 和 C. 对于如图所示三棱锥 O-ABC, 当 OA 、OB 、OC 两两垂直且 OA =OB =OC 时, 其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项 B. 不论圆柱如何设置,其三视图的形状都不会完全相同, 故答案选 D. 3.(2013· 重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.

560 3

B.

580 3

C.200

D.240

答案 解析

C 由三视图知该几何体为直四棱柱,其底面为等腰梯形,上底长为 2,下底长为 8,高

?2+8?×4 为 4,故面积为 S= =20. 又棱柱的高为 10,所以体积 V =Sh=20×10=200. 2 4. 如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是 ( )

答案 解析

D 由俯视图可知是 B 和 D 中的一个,由正视图和侧视图可知 B 错. ( )

5. 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的表面积为

3 A. π 2 3 C. π+ 3 2 答案 解析 C

B.π+ 3 5 D. π+ 3 2

由三视图可知该几何体为一个半圆锥,底面半径为 1,高为 3,∴ 表面积 S =

1 2

1 1 3π ×2× 3+ ×π×12 + ×π×1×2= 3+ . 2 2 2

二、填空题 6. 如图所示,E 、F 分别为正方体 ABCD—A 1B 1 C1 D1 的面 ADD1A 1 、面 BCC1 B 1 的中心, 则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1 D1 上的投影 是________.( 填序号)

答案 解析

② 四边形在面 DCC1 D1 上的投影为②: B 在面 DCC1 D1 上的投影为 C, F、 E 在面 DCC1 D1

上的投影应在边 CC1 与 DD1 上,而不在四边形的内部,故①③④错误. 7. 已知三棱锥 A —BCD 的所有棱长都为 2,则该三棱锥的外接球的表面积为________. 答案 解析 3π 如图,构造正方体 ANDM—FBEC. 因为三棱锥 A —BCD 的所有

棱长都为 2,所以正方体 ANDM —FBEC 的棱长为 1. 所以该正方体的 外接球的半径为 3 . 2

易知三棱锥 A —BCD 的外接球就是正方体 ANDM—FBEC 的外接球,所以三棱锥 A —BCD 的外接球的半径为 3 ? 3?2 =3π. . 所以三棱锥 A —BCD 的外接球的表面积为 S 球 =4π ?2? 2

8.(2013· 江苏)如图,在三棱柱 A1 B 1 C1 -ABC 中,D,E ,F 分别是 AB ,AC,AA 1 的中点,设 三棱锥 F -ADE 的体积为 V 1 ,三棱柱 A1 B 1 C1 -ABC 的体积为 V2 ,则 V 1 ∶V2 =________.

答案 解析

1∶24 设三棱锥 F -ADE 的高为 h,

1 ?1 h AD· AE · sin∠DAE ? ? V1 3 ?2 1 则 = = . V2 1 24 ?2h? ?2AD??2AE?sin∠DAE 2 三、解答题

9. 一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,求这个几何体的表面积.



这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.

根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1,下底面半径为 2,高为 3,母线长为 2,几何体 的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和,故这个几何体的表 1 1 1 1 11π 面积为 S= π×12 + π×22 + π×(1+2)×2+ ×(2+4)× 3= +3 3. 2 2 2 2 2 10. 已知一个上、 下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别 为 30 cm 和 20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 解 如图所示,三棱台 ABC—A 1B 1 C1 中,O、O1 分别为两底面中心,

D、D1 分别为 BC 和 B 1 C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高. 由题意知 A 1B 1 =20,AB =30, 10 3 则 OD=5 3,O1 D1 = , 3 由 S 侧 =S 上 +S 下 ,得 1 3 ×(20+30)×3DD1 = ×(202 +302 ), 2 4 13 解得 DD1 = 3, 3 在直角梯形 O1 ODD1 中,
2 O1 O= DD1 -?OD-O1 D1 ?2 =4 3,

所以棱台的高为 4 3 cm. B组 专项能力提升

(时间:30 分钟)

1. 在四棱锥 E —ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB ∥CD, 2AB =3CD,M 为 AE 的中点,设 E —ABCD 的体积为 V ,那么三棱锥 M—EBC 的体积为 2 A. V 5 答案 解析 D 设点 B 到平面 EMC 的距离为 h1 ,点 D 到平面 EMC 的距离为 h2 . 1 B. V 3 2 C. V 3 D. 3 V 10 ( )

连接 MD. 因为 M 是 AE 的中点, 1 所以 V M —ABCD = V . 2 1 所以 V E —MBC= V -V E —MDC. 2 而 V E —MBC=V B —EMC,VE —MDC=V D —EMC, 所以 V E —MBC V B —EMC h1 = = . V E —MDC V D —EMC h2

因为 B ,D 到平面 EMC 的距离即为到平面 EAC 的距离,而 AB ∥CD,且 2AB =3CD,所 h1 3 以 = . h2 2 3 所以 V E —MBC=V M -EBC= V . 10 2. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 ( )

A.28+6 5 C.56+12 5 答案 解析 B

B.30+6 5 D.60+12 5

由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示,

其中 AE ⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4,BD=5,BE =2,ED=3, AE =4. ∵AE =4,ED=3,∴AD=5. 又 CD⊥BD,CD⊥AE , 则 CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥AD, 所以 AC= 41且 S△ACD =10. 在 Rt△ABE 中,AE =4,BE =2,故 AB =2 5. 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4, 故 S△BCD =10,且 BC= 41.

在△ABD 中,AE =4,BD=5,故 S△ABD =10. 在△ABC 中,AB =2 5,BC=AC= 41, 1 则 AB 边上的高 h=6,故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. 3. 表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 答案 解析 2 1 设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r. 则 πl2 +πr2 =3π,πl=2πr,∴r=1,即圆锥的 2

底面直径为 2. 4. 如图,在四棱锥 P -ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直, 图为该四棱锥的正视图和侧视图, 它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角 三角形.

(1)根据图所给的正视图、俯视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA . 解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线),边长为 6 cm 的正方形,如图,

其面积为 36 cm2. (2)由侧视图可求得 PD= PC2 +CD2 = 62 +62 =6 2. 由正视图可知 AD=6,且 AD⊥PD,所以在 Rt△APD 中, PA = PD +AD = ?6 2? +6 =6 3 cm. 5. 已知一个圆锥的底面半径为 R ,高为 H,在其内部有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大? 解 (1)作圆锥的轴截面,如图所示.
2 2 2 2

r H-x R 因为 = ,所以 r=R - x,所以 S 圆柱 侧 =2πrx R H H =2πRx- 2πR 2πR (0<x<H).(2)因为- <0, H H 2πR H = 时,S 圆柱侧 最大. 4πR 2 H

所以当 x=

H 故当 x= ,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大. 2


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