当前位置:首页 >> 数学 >> 等差数列典型例题及分析

等差数列典型例题及分析


第四章 数列
§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首 项),第 2 项,?,第 n 项,?. 3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项

数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系 可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一 种重要方法,其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d表示. 8.等差中项:如果a, b这三个数成等差数列, A, 那么A= 叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相 同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数 列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,?,n})的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{an}的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系: a n ? ?

a?b a?b . 我们把A= 2 2

? S1 ?S n ? S n ?1

(n ? 1), (n ? 2).

若 a1 适合

an(n>2),则 an 不用分段形式表示,切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的 一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n, an )均匀排列在一条直线上,由两点确定 一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解:等差数列的前 n 项之和公式可变形为

Sn ?

d 2 d d d n ? (a1 ? )n ,若令 A= ,B=a1- ,则 S n =An2+Bn. 2 2 2 2

6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。

三、经典例题导讲 [例 1]已知数列 1,4,7,10,?,3n+7,其中后一项比前一项大 3.(1)指出这个数列的通 项公式; (2)指出 1+4+?+(3n-5)是该数列的前几项之和.

13

错解: (1)an=3n+7; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n 项之和. 错因: 误把最后一项 (含 n 的代数式) 看成了数列的通项. (1) 若令 n=1,a1=10 ? 1,显然 3n+7 不是它的通项. 正解: (1)an=3n-2; (2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前 n-1 项的和. [例 2] 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和为① S n ? 2n 2 ? n 求数列 ?an ? 的通项公式。 错解: ① an ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 ② an ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n 错因:在对数列概念的理解上,仅注意了 an=Sn-Sn-1 与的关系,没注意 a1=S1. 正解: ①当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? 2n 2 ? n ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4n ? 3 经检验 n ? 1 时 a1 ? 1 也适合,? an ? 4n ? 3 ②当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 当 n ? 2 时, an ? n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2n ∴ an ? ? ② Sn ? n2 ? n ? 1

?3 ?2n

( n ? 1) ( n ? 2)


[例 3] 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于 错解:S30= S10·2d. ? d=30, ? S40= S30+d =100. 错因:将等差数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列.

10 ? 9 ? ?10a1 ? 2 d ? 10 2 2 ? 正解:由题意: ? 得 a1 ? , d ? 5 15 ?30a ? 30 ? 29 d ? 70 ? 1 2 ?
代入得 S40 = 40 a1 ?

40 ? 39 ? 40 d ? 120 。 2

[例 4]等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若

Sn a 7n ? 1 ? (n ? N ? ), 求 7 ; Tn 4n ? 27 b7

错解:因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27.

13

?

a7 7 ? 7 ? 1 10 ? ? b7 4 ? 7 ? 27 11

错因:误认为

Sn a n ? bn Tn

正解:?

a7 a7 ? a7 S13 7 ? 13 ? 1 92 ? ? ? ? b7 b7 ? b7 T13 4 ? 13 ? 27 79

[例 5]已知一个等差数列 ?an ? 的通项公式 an=25-5n,求数列 ? an |? 的前 n 项和; | 错解:由 an ? 0 得 n ? 5

? ?an ? 前 5 项为非负,从第 6 项起为负,

? Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n ? 5)
当 n ? 6 时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+?+|an|=

( 20 ? 5n)( n ? 5) 2

, n?5 ?50 ? ? Sn= ? (20 ? 5n)(n ? 5) , n?6 ? 2 ?
错因:一、把 n ? 5 理解为 n=5,二、把“前 n 项和”误认为“从 n ? 6 起”的和.

? n(45 ? 5n) , n?5 ? ? 2 正解: ? ? (20 ? 5n)(n ? 5) ? 50, n ? 6 ? 2 ?
[例 6]已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220, 由此可以确定求其前 n 项和的公式吗? 解:理由如下:由题设: S10 ? 310 得: ?

S 20 ? 1220

? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 ?? 1 ?20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6

∴ S n ? 4n ?

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2
1?n

[例 7]已知: an ? 1024? lg 2

( lg 2 ? 0.3010) n ? N ?

(1) 问前多少项之和为最

大?(2)前多少项之和的绝对值最小? 解: 1) (

?a n ? 1024? (1 ? n) lg 2 ? 0 1024 1024 ? ?n? ? 1 ? 3401? n ? 3403 ? lg 2 lg 2 ?a n ?1 ? 1024? n lg 2 ? 0

∴ n ? 3402

13

(2) S n ? 1024 n ?

n(n ? 1) (? lg 2) ? 0 2

当 S n ? 0或S n 近于 0 时其和绝对值最小 令: S n ? 0 得: n ? 即 1024+

n(n ? 1) ( ? lg 2) ? 0 2

2048 ? 1 ? 6804 99 . lg 2
∴ n ? 6805

∵ n ? N?

[例 8]项数是 2 n 的等差数列,中间两项为 an 和an?1 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,求证此 数列的和 S 2 n 是方程 lg x ? (lg n ? lg p ) lg x ? (lg n ? lg p) ? 0 的根。 ( S 2n ? 0 )
2 2 2 2

证明:依题意 an ? an?1 ? p ∵ a1 ? a2n ? an ? an?1 ? p ∴ S 2n ?

2n(a1 ? a 2 n ) ? np 2

∵ lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 ∴ (lg x ? lg np) ? 0
2

∴ x ? np ? S 2 n

(获证) 。

四、典型习题导练 1.已知 a1 ? 3且an ? S n?1 ? 2 n ,求 an 及 S n 。 2.设 an ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) ,求证: 3.求和: 1 ?

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 。 2 2

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n
2 2 2 2 2 2 2 2

4.求和: (100 ? 99 ) ? (98 ? 97 ) ? ? ? (4 ? 3 ) ? (2 ? 1 ) 5.已知 a, b, c 依次成等差数列,求证: a ? bc, b ? ac, c ? ab 依次成等差数列.
2 2 2

6.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? a13 ? 40 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? ( A.72 B.60 C.48 D.36

) 。

7. 已知 ?an ? 是等差数列,且满足 am ? n, an ? m(m ? n) ,则 am? n 等于________。 8.已知数列 ?

?

11 13 1 ? ? 成等差数列,且 a3 ? ? , a5 ? ? ,求 a8 的值。 6 7 ? an ? 2 ?
13

§4.2 等比数列的通项与求和 一、知识导学 1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数, 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列, 那 这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母q表示. 2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.

?n ? a1 ? 3.等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a 1 (1 ? q n ) a 1 ? a n ? q ? 1? q ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起, 而是从第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数, 此数列不是等比数 列,这时可以说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列. n-1 4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下,利用通项公式 an=a1q ,可求出等比数列中的任 一项. n-m 5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用 an=amq 可求等比数列中任意一项. 6.等比数列{an}的通项公式 an=a1q 可改写为 a n ?
n-1

a1 n ? q .当 q>0,且 q ? 1 时,y=qx q

是一个指数函数,而 y ?

a1 x ? q 是一个不为 0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an} q

的图象是函数 y ?

a1 x ? q 的图象上的一群孤立的点. q

7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。

三、经典例题导讲 [例 1] 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和 Sn=aq ( a ? 0, q ? 1, q 为非零常数) ,则 ?an ? 为( ) 。
n

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 错解:? an?1 ? S n?1 ? S n ? aq
n?1

? aqn ? aqn (q ? 1)

? an ? S n ? S n?1 ? aqn?1 (q ? 1)

13

?

a n ?1 ? q (常数) an

? ?an ? 为等比数列,即 B。
错因:忽略了? an ? S n ? S n?1 中隐含条件 n>1. 正解:当 n=1 时,a1=S1=aq; 当 n>1 时,? an ? S n ? S n?1 ? aqn?1 (q ? 1)

?

a n ?1 ? q (常数) an a2 ? q ?1 ? q a1

但?

? ?an ? 既不是等差数列,也不是等比数列,选 C。
[例 2] 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于. 错解:S30= S10·q . ? q =7,q= ?
2 2

7 ,? S40= S30·q = ? 70 7 .

错因:是将等比数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数列.

? a1 (1 ? q 10 ) ? 10 ? a1 ? ? ?10 ? ? 1? q 正解:由题意: ? 得 ?1 ? q , 30 ? a1 (1 ? q ) ? 70 ?q 10 ? 2或q 10 ? ?3(舍去) ? ? 1? q ?

? S40=

a1 ( ? q 40) 200 . 1 ? 1? q
2 3 n

[例 3] 求和:a+a +a +?+a . 错解: a+a +a +?+a =
n 2 3 n

1? an . 1? a

错因:是(1)数列{a }不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前 n 项和公式(2)用 等比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1. 2 3 n 正解:当 a=0 时,a+a +a +?+a =0; 2 3 n 当 a=1 时,a+a +a +?+a =n; 当 a ? 1 时,

1? an a+a +a +?+a = . 1? a
2 3 n

[例 4]设 a, b, c, d 均为非零实数, a ? b d ? 2b?a ? c?d ? b ? c ? 0 ,
2 2 2 2 2

?

?

13

求证: a, b, c 成等比数列且公比为 d 。 证明: 证法一:关于 d 的二次方程 a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 有实根, ∴ ? ? 4b 2 ?a ? c? ? 4 a 2 ? b 2 (b 2 ? c 2 ) ? 0 ,∴ ? b 2 ? ac
2
2 2

?

?

?

?

?

?

2

?0

则必有: b ? ac ? 0 ,即 b ? ac ,∴非零实数 a, b, c 成等比数列 设公比为 q ,则 b ? aq , c ? aq2 代入

?a

2

? a 2 q 2 d 2 ? 2aq a ? aq2 d ? a 2 q 2 ? a 2 q 4 ? 0

?

?

?

∵ q 2 ? 1 a 2 ? 0 ,即 d 2 ? 2qd ? q 2 ? 0 ,即 d ? q ? 0 。 证法二:∵ a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 ∴ a 2 d 2 ? 2abd ? b 2 ? b 2 d 2 ? 2bcd ? c 2 ? 0 ∴ ?ad ? b? ? ?bd ? c? ? 0 ,∴ ad ? b ,且 bd ? c
2 2

?

?

?

?

?

? ?

?

∵ a, b, c, d 非零,∴

b c ? ?d。 a b

[例 5]在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前 7 项之积。 解: b1b2 b3b4b5b6 b7 ? ?b1b7 ??b2 b6 ??b3b5 ?b4 ∵ b4 ? b1b7 ? b2b6 ? b3b5 ,∴前七项之积 32
2

? ? ?3 ? 3
3

7

? 2187

1 } 前 n 项和 2n 1 1 1 1 解: S n ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ???? ? n ? n ① 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 ② 2 4 8 16 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? n 两式相减: S n ? ? ? ? ?? ? n ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2 n?1 1? 2 1 n 1 n ? S n ? 2(1 ? n ? n ?1 ) ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2
[例 6]求数列 {n ? [例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水,然后加入 1kg 水,以后每 次都倒出 1kg 盐水,然后再加入 1kg 水, 问:(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg?

13

(2)经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的 质量分数为多少? 解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

1 1 ×0.2(kg), a3= ( )2×0.2(kg) 2 2 1 n1 1 51 1 4 由此可见:an= ( ) ? ×0.2(kg), a5= ( ) ? ×0.2= ( ) ×0.2=0.0125(kg) 。 2 2 2 1 (2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q= 2
a1= 0.2 (kg), a2=

1 ) a1 (1 ? q ) 2 6 ? 0.39375 kg ) ? S6 ? ? ( 1 1? q 1? 2 0.4 ? 0.39375? 0.00625 kg ) (
6

0.2(1 ?

0.00625? 2 ? 0.003125kg ) (
答:第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg;6 次倒出后,一共倒出 0.39375kg 盐,此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式: 1) a1=?2, a3=?8 2) a1=5, 且 2an+1=?3an 3) a1=5, 且

an?1 n ? an n ?1

2.在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 . 3.已知无穷数列 10 ,10 ,10 ,??10
0 5 1 5 2 5 n ?1 5

,?? ,
1 , 10

求证: (1)这个数列成等比数列 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的

(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列 ?an ? 为 1,2x,3x ,4x ??nx
2 3 n?1

? ?x ? 0? 求此数列前 n 项的和。

5.已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 6.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同? 7.在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400,求 n 的范围。 §4.3 数列的综合应用 一、知识导学

13

1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问 题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利 用数列知识建立数学模型. 2. 应用题成为热点题型,且有着继续加热的趋势,因为数列在实际生活中应用比较广 泛,所以数列应用题占有很重要的位置,解答数列应用题的基本步骤:(1)阅读理解材料, 且对材料作适当处理;(2)建立变量关系,将实际问题转化为数列模型;(3)讨论变量性 质, 挖掘题目的条件, 分清该数列是等差数列还是等比数列, 是求 Sn 还是求 an.一般情况下, 增或减的量是具体体量时,应用等差数列公式;增或减的量是百分数时,应用等比数列公 式.若是等差数列,则增或减的量就是公差;若是等比数列,则增或减的百分数,加 1 就是 公比 q. 二、疑难知识导析 1.首项为正(或负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题, 转化为解不等式 ?an ? 0 ? 或?an ? 0 ? 解决; ? ? ? ? ? ?
?an ?1 ? 0? ? a n ?1 ? 0 ?

2.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,在用等比数列前 n 项和公 式时,勿忘分类讨论思想;

a n-m n?m 3.等差数列中, am=an+ (n-m)d, d ? a m ? a n ; 等比数列中,an=amq ; q ? n
m?n

am

4.当 m+n=p+q(m、n、p、q∈ N ? )时,对等差数列{an}有:am+an=ap+aq;对等比数列 {an}有:aman=apaq; 5.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(k、b 是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn} 是等比数列,则{kan} nbn}等也是等比数列; 、{a 6.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” (如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9?)仍是等差(或等比)数列; 7.对等差数列{an},当项数为 2n 时,S 偶-S 奇=nd;项数为 2n-1 时,S 奇-S 偶=a 中 (n∈ N ? ) ; 8.若一阶线性递推数列 an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形 式: an ? b ? k (an ?1 ? b ) (n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式; k ?1 k ?1 三、经典例题导讲 [ 例 1] 设 ?an ? 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn 是 其 前 n 项 和 . 证 明 :

log 1 S n ? log 1 S n? 2
2 2

2
错解:欲证

>log 1 S n?1 。
2

log 1 S n ? log 1 S n? 2
2 2

2
2

>log 1 S n?1
2

只需证 log 1 S n ? log 1 S n? 2 >2 log 1 S n ?1
2 2

13

2 即证: log1 (S n ? S n?2 ) > log 1 S n ?1
2

2

2 由对数函数的单调性,只需证 (S n ? S n? 2 ) < S n?1

? S n ? S n?2 - S
2 =- a1 q n ? 0

2 n?1

a12 (1 ? q n )(1 ? q n? 2 ) a12 (1 ? q n?1 ) 2 = ? (1 ? q) 2 (1 ? q) 2

?

2 S n ? S n?2 < S n?1

原不等式成立. 错因:在利用等比数列前 n 项和公式时,忽视了 q=1 的情况.

?

log 1 S n ? log 1 S n? 2
正解:欲证
2 2

2
2

>log 1 S n?1
2

只需证 log 1 S n ? log 1 S n? 2 >2 log 1 S n ?1
2 2

即证: log1 (S n ? S n?2 ) > log 1 S
2

2 n ?1

2

2 由对数函数的单调性,只需证 (S n ? S n? 2 ) < S n?1

由已知数列 ?an ? 是由正数组成的等比数列,

? q >0, a1 ? 0 .
若 q ? 1,
2 则 S n ? S n?2 - S n?1 = na1 (n ? 2)a1 ? [(n ? 1)a1 ]
2

=- a1 <0;

2

若 q ? 1,
2 S n ? S n?2 - S n?1 =

a12 (1 ? q n )(1 ? q n? 2 ) a12 (1 ? q n?1 ) 2 ? (1 ? q) 2 (1 ? q) 2

=- a1 q ? 0
2 n

?

2 S n ? S n?2 < S n?1

? 原不等式成立. [例 2] 一个球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回至原高度的一半落下,当它 第 10 次着地时,共经过了多少米?(精确到 1 米) 错解:因球 每次着地后又跳回至原高度的一半,从而每次着地之间经过的路程形

13

成了一公比为

1 的等比数列,又第一次着地时经过了 100 米,故当它第 10 次着地时, 2

共经过的路程应为前 10 项之和.

1 100[1 ? ( )10 ] 2 即 S10 ? =199(米) 1 1? 2
错因:忽视了球落地一次的路程有往有返的情况. 正解:球第一次着地时经过了 100 米,从这时到球第二次着地时,一上一下共经过 了2?

100 =100(米)?因此到球第 10 次着地时共经过的路程为 2 100 100 100 100 100 ? 100 ? ? 2 ? 3 ??? 8 2 2 2 2 1 9 100[1 ? ( ) ] 2 = 100 ? ? 300(米) 1 1? 2

答:共经过 300 米。 [例 3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一出生就在每 年生日,到银行储蓄 a 元一年定期,若年利率为 r 保持不变,且每年到期时存款(含利息) 自动转为新的一年定期,当孩子 18 岁上大学时,将所有存款(含利息)全部取回,则取回 的钱的总数为多少? 错解:? 年利率不变,每年到期时的钱数形成一等比数列,那 18 年时取出的钱数应为以 a 18 为首项,公比为 1+r 的等比数列的第 19 项,即 a19=a(1+r) . 错因: 只考虑了孩子出生时存入的 a 元到 18 年时的本息, 而题目要求是每年都要存入 a 元. 正解:不妨从每年存入的 a 元到 18 年时产生的本息 入手考虑,出生时的 a 元到 18 年时变 18 为 a(1+r) , 17 1 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r) , 16 2 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r) , ?? 1 17 岁生日时的 a 元到 18 岁时成为 a(1+r) , ? a(1+r)18+ a(1+r)17+ ?+ a(1+r)1 =

a(1 ? r )[1 ? (1 ? r )18 ] 1 ? (1 ? r )
a [(1 ? r )19 ? (1 ? r )] r



a [(1 ? r )19 ? (1 ? r )] 。 r 1 1 1 1 [例 4]求数列 1 ? 1 , ? 4 , 2 ? 7 , 3 ? 10 , ??, n ?1 ? (3n ? 2) , ?? 的前 n 项和。 a a a a 1 解:设数列的通项为 an,前 n 项和为 Sn,则 a n ? n ?1 ? (3n ? 2) a
答:取出的钱的总数为

13

? S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ?? ? n ?1 ) ? [1 ? 4 ? 7 ? ?? ? (3n ? 2)] a a a

当 a ? 1 时, S n ? n ?

(1 ? 3n ? 2)n 3n 2 ? n ? 2 2

1 n a n ? (1 ? 3n ? 2)n ? a ? 1 ? (3n ? 1)n a ? 1 时, S n ? 当 1 2 2 a n ? a n?1 1? a 1?
[例 5]求数列

6 6 6 6 , , ,??, ,?? 前 n 项和 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ? 1 1 ? 6( ? ) n(n ? 1) n n ?1

解:设数列的通项为 bn,则 bn ?

1 1 1 1 1 ? S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 6[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] 2 2 3 n n ?1 ? 6(1 ? 1 6n )? n ?1 n ?1
an ? 1 2 ) (n ? N ? ) , 2

[例 6]设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? ( 求数列{an}的前 n 项和 解:取 n =1,则 a1 ? (

a1 ? 1 2 ) ? a1 ? 1 2

又由 S n ?

n(a1 ? a n ) n(a1 ? a n ) a ?1 2 ?( n ) 可得: 2 2 2

? an ? ?1 (n ? N * )

? an ? 2n ? 1

? S n ? 1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1) ? n 2
[例 7]大楼共 n 层,现每层指定一人,共 n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会,问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。 (假定相邻两层楼梯长 相等) 解:设相邻两层楼梯长为 a,则

S ? a (1 ? 2 ? ?? ? k ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ?? ? (n ? k )] n2 ? n ] 2 n ?1 当 n 为奇数时,取 k ? S 达到最小值 2 ? a[k 2 ? (n ? 1)k ?
13

当 n 为偶数时,取 k ?

n n?2 或 2 2

S 达到最大值

四、典型习题导练 1.在[1000,2000]内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个? 2 2.某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m ,如果该城市每年人口平均增长率 2 2 为 1%,每年平均新增住房面积为 30 万 m ,求 2000 年底该城市人均住房面积为多少 m ?(精 确到 0.01) 3.已知数列 ?an ? 中, S n 是它的前 n 项和,并且 S n?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 (1) 设 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2) 设 c n ?

an ,求证数列 ?cn ? 是等差数列。 2n

4.在△ABC 中, 三边 a, b, c 成等差数列, a , b , c 也成等差数列, 求证△ABC 为正三角形。 5. 三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个 数减去 4,则又成等比数列,求原来三个数。 6. 已 知 是一次函数,其图象过点 ,又 成等差数列,求

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 的值.

13


更多相关文档:

等差数列典型例题及分析

等差数列典型例题及分析_数学_高中教育_教育专区。一、【经典例题导讲 】 [例 1]等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若 Sn a 7n ? 1 ...

等差数列典型例题及分析(必看)

等差数列典型例题及分析(必看) 隐藏>> 第四章 数列§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一...

等差数列典型例题

等差数列典型例题_数学_高中教育_教育专区。等差数列典型例题类型一:直接利用等差...2 解析: 方法一:利用等差数列的前 n 项和公式 S n ? na1 ? n(n ? 1...

等差等比数列经典例题以及详细答案

等差等比数列经典例题以及详细答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【本讲教育...( 1.008 ? 1.1) 12 分析:这是一个分期付款问题,关键是计算各期付款到...

等差数列典型例题及分析

等差数列典型例题及分析_数学_高中教育_教育专区。第四章 数列 [例 1]已知数列 1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大 3.(1)指出这个数列的 通项公式...

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析_数学_高中教育_教育专区。等差数列及其前 n 项和【考纲说明】 1、理解等差数列的概念,学习等差数列的基本性质. ...

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析

等差数列及其前n项和知识点总结、经典高考题解析_理化生_高中教育_教育专区。等差数列及其前 n 项和【考纲说明】 1、理解等差数列的概念,学习等差数列的基本性质....

等差数列典型例题及分析

等差数列典型例题及分析_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第四章 数列§4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2...

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前 n 项和·例题解析 一、等差数列前 n 项和公式推导: (1) Sn=a1+a2+...an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+...a2+a1 两式相加得 2Sn=(a1...

等差数列典型例题

1, a3 ? 3, 则S 4=((A)12 (B)10 (C)8 (D)6 2.已知{an}为等差...等差数列典型例题及分析... 4页 免费 Borrhqw高一数学典型例题... 11页 免费...
更多相关标签:
等差数列性质典型例题 | 等差等比数列典型例题 | 等差数列典型例题 | 等差数列例题 | 等差数列经典例题 | 证明等差数列例题 | 等差数列求和例题 | 高阶等差数列例题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com