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高中数学必修五教学设计:等比数列教案1


等比数列
(一)教学目标 1`.知识与技能:理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型 应用. 2.过程与方法:通过丰富实例抽象出等比数列模型,经历由发现几个具体数列的等比关 系,归纳出等比数列的定义,通过与等差数列的通项公式的推导类比, 探索等比数列的通项公式. 3.情态与价值:培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力. (二)教学重、难点 重点:

等比数列的定义和通项公式 难点:等比数列与指数函数的关系 (三)学法与教学用具 学法:首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型,从而归纳出等比数列的定义;与 等差数列通项公式的推导类比,推导等比数列通项公式。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 分析书上的四个例子,各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是①1, 2, 4, 8, ? ②1,

1 1 1 , , ,? 2 4 8
2 3

③1,20 ,20 ,20 ,? 2 3 ④ 10000 × 1.0198,10000 × 1.0198 ,10000 × 1.0198 4 5 10000×1.0198 ,10000×1.0198 观察四个数列: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 2 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于

1 2

对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 20 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 1.0198 可知这些数列的共同特点:从第 2 项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数. 于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这 个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0) 因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是 2,

1 ,20,1.0198. 2

与等差中项类似,如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 2 a 与 b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G =ab 在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳 ,类比这个过程,归 纳如下:a2=a1q 2 a3=a2q=(a1q)q=a1q 2 3 a4=a3q=(a1q )q=a1q ? ?

可得

an=a1q

n-1

上式可整理为 an=

a1 n a x a x q 而 y= 1 q (q≠1)是一个不为 0 的常数 1 与指数函数 q 的乘积, q q q a1 n a x q }中的各项的点是函数 y= 1 q 的图象上的孤立点 q q

从图象上看,表示数列 {

[注意几点] n ① 不要把 an 错误地写成 an=a1q ② 对于公比 q,要强调它是“从第 2 项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比 的次序颠倒 ③ 公比 q 是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为 0 [例题分析] 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%.这 种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的 n-1 本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 an=a1q 例2 根据图 2.4-2 中的框图,写出所打印数列的前 5 项,并建立数列的递推公式.这个数列 是等比数列吗? 评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数 n,

a n ?1 是一个常数就行了 an

例3 一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第 2 项. 评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{a n }{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什

么结论?证明你的结论. 评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第 59 页第 1、2、3 题 [课堂小结] (1) 首项和公比都不为 0 (2) 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列 (五)评价设计 (1)课后思考:课本第 59 页[探究] (2)课后作业:第 60 页第 1、2、6 题


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